Учет скин-эффекта в задачах о потоках самоиндукции и взаимоиндукции, наводимых током, протекающим в проводнике с прямоугольным поперечным сечением

Планарные (полосковые) системы соединений обеспечивают воспроизводимость электрофизических параметров твердотельных ВЧ и СВЧ усилителей
мощности и максимально пригодны для автоматизации процессов сборки. Однако формулы, применяемые для расчетов индуктивностей полосковых и балочных соединений
в конструкциях СВЧ-транзисторов [1–3],
не отличаются высокой точностью, так как
получены с учетом упрощений для некото
рых предельных случаев и не учитывают конечные размеры контуров, в которых наводятся потоки самоиндукции и взаимоиндукции. В то же время, на частоте свыше 300 МГц
индуктивные составляющие импедансов ВЧ-и СВЧ-транзисторов оказывают определяющее влияние на их усилительные и частотные свойства. Поэтому повышение точности расчетов малосигнальных параметров
транзисторов, связанных с явлениями самоиндукции и взаимоиндукции в системах соединений, обеспечивает в конечном итоге повышение достоверности прогнозирования
коэффициентов усиления по мощности и оптимальное проектирование согласующих цепей усилительных каскадов.

Рассмотрим проводник в виде тонкой металлической полоски длиной l ишириной w,
по которой протекает ток с комплексной амплитудой

, наводящий поток взаимоиндукции в плоском прямоугольном контуре площадью h _l (рис. 1), параллельном плоскости
полоски. В общем случае плоскости проводника и контура расположены на расстоянии
h₂ одна от другой; h₀ — расстояние между
проекцией проводника на плоскость контура и смежным краем контура.

Рис. 1. Расчет потока взаимоиндукции от тока,
протекающего по тонкой металлизированной полоске

Полоска может быть представлена рядом
N параллельных проводников квадратного
сечения, а величина магнитного потока в контуре вычисляется как сумма потоков, наводимых каждым проводником:

при условии равномерного распределения
плотности тока по сечению проводника [4] (2),

где r₀ = d/2 — радиус проводника круглого сечения, «вписанного» в проводник квадратного
сечения; h₀ — расстояние между смежными краями проводника и контура; μ₀ =4π×10^–7 Гн/м—
магнитная постоянная в СИ;

Произведение третьего и четвертого сомножителей в левой части (2) представляет
собой геометрический индуктивный фактор
(ГИФ) F_i прямолинейного проводника круглого сечения по отношению к прямоугольному контуру, расположенному по отношению к проводнику в соответствии с рис. 1.
ГИФ проводника ρ_n по отношению к участку площади контура S_k определяется отношением [4]:

где Ф_ξ(S_k ; ρ_n )— величина магнитного потока, наведенного в участке площади S_k некоторого замкнутого контура током I_ξ, протекающим по отрезку ρ_n того же или другого
замкнутого контура.

Как следует из определения ГИФ, он не зависит от величины тока I_ξ. И при равенстве

S_k всей площади рассматриваемого контура,
а ρ_n — всей совокупности проводников контура, ГИФ имеет физический смысл индуктивности контура L (если Ф (S_k ; ρ_n)) — поток самоиндукции) или коэффициента взаимоиндукции М_nk двух контуров. При этом Ф (S_k ; ρ_n)—
поток взаимоиндукции. Таким образом, ГИФ
объединяет в себе понятия индуктивности
и коэффициента взаимоиндукции, являясь по
отношению к ним обобщающим понятием.

Вначале рассмотрим случай, когда высота
сечения проводника d не превышает удвоенной толщины скин-слоя σ. Таким образом,
в первом приближении можно считать, что
высокочастотный ток, протекающий по проводнику прямоугольного сечения шириной w,
сосредоточен в пределах тонкой полоски
с высотой сечения d = 2σ<<w. Устремим высоту сечения полоски к нулю: d→0. Тогда дискретная координата i-го проводника становится непрерывной: (2i –1)×r₀→y, h₂+r₀→h₂,
а суммирование в (1) заменяется интегрированием по переменной у. В результате аналитическое выражение для геометрического индуктивного фактора тонкой металлической
прямоугольной полоски длиной l и шириной w будет выглядеть следующим образом (4).

Для компактной записи результата интегрирования введем алгебраический оператор (5).

Тогда выражение (4) можно записать в компактном виде:

На рис. 2 приведены рассчитанные по формуле (6) значения зависимости ГИФ полоски металлизации длиной l = 5 мм, шириной
w = 0,4 мм, от ширины контура при условии
d<<w.

Рис. 2. ГИФ проводников прямоугольного сечения: 1) h2 = 0,5 мм, h0 = 0 мм;
2) h2 = 1 мм, h0 = 0 мм; 3) h2 = 1 мм, h0 = 0,5 мм; 4) h2 = 1,5 мм, h0 = 0,5 мм

Частным случаем взаиморасположения
проводника и контура является их нахождение в одной плоскости, при этом h₂ = 0. Тогда выражение (5) упростится:

а выражение (4) можно записать в таком виде:

На рис. 3 приведена зависимость ГИФ полосок металлизации, рассчитанных по формуле (8).

Рис. 3. ГИФ проводников прямоугольного сечения:
1) h0 = 0 мм; 2) h0 = 2 мм; 3) h0 = 5 мм; 4) h0 = 10 мм

В случае примыкания магнитного контура к проводнику (h₀ = 0), β(0) = 0, тогда выражение (8) упростится:

Рассмотрим случай, когда плоскость прямоугольного контура, расположенного в створе тонкого проводника, перпендикулярна
плоскости проводника и делит сечение проводника на две одинаковые половины высотой d/2 (рис. 4).

Рис. 4. Схема, иллюстрирующая получение формулы для расчета ГИФ
прямоугольной полоски фольги по отношению к прямоугольному контуру,
расположенному в перпендикулярной плоскости

Величина ГИФ при представлении проводника набором N проводников круглого сечения диаметром d = 2r₀ = w c учетом симметрии относительно плоскости XOY:

где F_i определяется выражением (2);

Устремив толщину фольги w к нулю, перейдем в выражении (9) от суммирования
к интегрированию по переменной z. В результате получим:

где (11).

Частным случаем взаиморасположения
проводника и контура является h₁ = 0. Тогда
выражение (10) можно записать в виде:

На рис. 5 приведены значения зависимости от ширины контура ГИФ полосок металлизации, рассчитанных по формулам (10–12),
l = 5,0 мм, d = 0,2 мм. В отличие от графиков,
представленных на рис. 2–3, ГИФ проводника, плоскость которого перпендикулярна плоскости контура, характеризуется большей величиной и большей зависимостью от ширины контура при h>>d.

Рис. 5. ГИФ прямоугольной полоски фольги
по отношению к прямоугольному контуру,
расположенному в перпендикулярной плоскости:
1) h1 = 3 мм; 2) h1 = 10 мм; 3) h1 = 0 мм

Для учета скин-эффекта в проводнике конечной толщины будем считать, что весь протекающий по проводнику ток с комплексной
амплитудой

сосредоточен, в приближении
постоянной плотности, в приповерхностной
области, толщина которой равна удвоенной
толщине скин-слоя r₀ (рис. 6).

Рис. 6. Расчет ГИФ проводника с прямоугольным поперечным сечением
с учетом скин-эффекта

Комплексная амплитуда 1-й гармоники потока взаимоиндукции

_i в плоском контуре
шириной h, отстоящего от проводника на расстоянии h₁, может быть найдена как сумма
комплексных амплитуд магнитных потоков,
наводимых токами, протекающими по приповерхностным областям граней проводника:

здесь

_|| — магнитные потоки от параллельных плоскости контура участков слоя толщиной 2r₀;

_⊥,

’_⊥
— соответственно магнитные
потоки от ближнего и дальнего перпендикулярных плоскости контура участков токового слоя.

С учетом симметрии сечения проводника
относительно оси OY выражение (13) можно
записать в виде:

где

_⊥B,

’_⊥
B — магнитные потоки от «верхних» (расположенных над осью OY) частей
участков токового слоя, перпендикулярных
плоскости контура.

Представим каждый участок, поток от которого фигурирует в выражении (14), набором проводников круглого сечения диаметром 2r₀. Тогда для участков, параллельных
плоскости контура:

где

_i вычисляется по формулам (2), (4–6).

Аналогичным образом определим магнитные потоки для участков сечения проводника, перпендикулярных плоскости контура,
с учетом выражения (11):

Искомое выражение для геометрического индуктивного фактора проводника
с прямоугольным сечением по отношению
к отстоящему на расстоянии h₁ прямоугольному контуру с учетом скин-эффекта получается делением на

правой части формулы (13).

На рис. 7 приведены значения зависимости ГИФ проводников с прямоугольным поперечным сечением от ширины контура, рассчитанных по формуле (12) при значениях
l = 5,0 мм, d = 0,5 мм, w = 0,2 мм.

Рис. 7. ГИФ проводника с прямоугольным
поперечным сечением с учетом скин8эффекта:
1) h1 = 1 мм; 2) h1 = 3 мм; 3) h1 = 5 мм

Сравнение рис. 3, 5, 7 показывает, что основной вклад в величину ГИФ проводника,
ориентированного по отношению к прямоугольному контуру, как это показано на рис. 6,
вносит приповерхностный токовый слой, расположенный перпендикулярно плоскости контура и наводящий
магнитный поток величиной 2

_⊥B.

Результаты вычислений по полученным выражениям в предельных случаях (h→∞) совпадают с расчетами индуктивностей проводников с прямоугольным поперечным сечением по известным формулам [1, 3]. Формулы (11), (12) согласуются с выражениями для индуктивностей двухпроводных и микрополосковых линий [1–3]. В то
же время полученные выражения позволяют осуществлять трехмерное моделирование индукционных взаимодействий в системах соединений ВЧ- и СВЧ-транзисторов и твердотельных ВЧ (СВЧ) усилителей мощности в гибридном исполнении, учитывать конечную
ширину контуров, в которых наводятся потоки самоиндукции и взаимоиндукции. В условиях сильно выраженного скин-эффекта (σ<<d)
отличие новых формул особенно проявляется при вычислении магнитных потоков в контурах, ширина которых сопоставима с шириной или высотой сечения проводника, что характерно как для ленточных проводников (фольга на полиимидной основе), так и балочных и планарных внутрикорпусных полосковых соединений ВЧ
(СВЧ) транзисторов и усилительных ГИС.

Литература

1. Данилин В. Н. Аналоговые полупроводниковые интегральные схемы СВЧ.
   М.: Радио и связь, 1985.
2. Антенны и устройства СВЧ / Под ред. Д. И. Воскресенского. М.: Радио
   и связь, 1981.
3. Калантаров П. Л. Расчет индуктивностей / Справочник. Л.: Энергоатомиздат, 1986.
4. Булгаков О. М. Композиционные модели индукционных взаимодействий в мощных ВЧ- и СВЧ-транзисторах. Воронеж: Воронежский государственный университет, 2005.