Термосопротивление в составе измерительного моста.
Часть 1. Расчет и моделирование измерительного моста без и с учетом сопротивления нагрузки

Преобразование изменения электрического сопротивления чувствительных элементов (РЧЭ) в пропорциональное напряжение осуществляется с использованием различных измерительных мостовых схем. Одна из их разновидностей под названием «мост Уитстона» является своего рода техническим стандартом для измерения неэлектрических величин и получила широкое распространение. За последние несколько лет вышло множество работ, касающихся некоторых электрических свойств моста Уитстона. Обычно при исследовании и проектировании мостовых схем производится оценка и оптимизация ее максимальной чувствительности в зависимости от изменения сопротивления РЧЭ и электрических сопротивлений моста, анализ уровня влияния нелинейностей на точность, поскольку в случае применения одного РЧЭ полезное выходное напряжение моста нелинейно связано с изменением сопротивления РЧЭ и соотношением сопротивлений моста. Между тем комплексный анализ взаимосвязи чувствительности и нелинейности преобразования сопротивления РЧЭ в полезное напряжение рассмотрен в недостаточном объеме. В этой статье проанализированы те же вопросы, но более подробно исследуются некоторые последствия.

Мост Уитстона в традиционном исполнении, как показано на рис. 1, состоит из четырех резистивных элементов, где одно из плеч содержит термочувствительное сопротивление R_t, а остальные три плеча содержат резисторы R₁, R₂ и R₃ [1, 2].

Рис. 1. Классическая мостовая схема подключения датчика

Выбирая правильное значение сопротивлений моста, можно достигнуть оптимального состояния выходного сигнала, под которым следует понимать минимально возможный уровень ошибок в процессе измерения температуры. Неоптимальное сочетание параметров способно отрицательно сказаться на точности моста, поскольку значения резистивных элементов моста в целом будут зависеть от рассеивания мощности [3].

В настоящей работе в качестве элемента с переменным сопротивлением R_t выбрано термосопротивление градуировки 50М, подключение которого по мостовой схеме предназначено для преобразования изменения температуры в соответствующий электрический сигнал. Необходимо рассчитать параметры мостовой схемы (величину сопротивления R₁–R₃) и выбрать напряжения питания моста U_пит, чтобы при изменении температуры датчика в пределах 0…+100 °С, выходное напряжения моста (холостого хода Е_х) изменялось в диапазоне 0–0,1 В, а ток через датчик (во избежание его перегрева) не превышал 20 мА. Сопротивлением линии связи пренебрегаем.

Термосопротивление градуировки 50М означает, что чувствительный элемент датчика выполнен из меди и при 0 °С имеет электрическое сопротивление, равное 50 Ом. Для того чтобы найти значение сопротивления при +100 °С, воспользуемся формулой:

R_t = R₀(1+α×t) = 50×(1+4,3×10^–3×100) = 71,5 Ом,

где R_t — искомое сопротивление термосопротивления при наибольшей температуре (в нашем случае при +100 °С), Ом; R₀ — сопротивление термосопротивления при 0 °С, Ом; α — температурный коэффициент (для меди 4,3×10^–3), К^–1; t — температура для которой рассчитывается термосопротивление, °С.

Классическая методология расчета параметров мостовой схемы в большинстве случаев не учитывает сопротивления нагрузки. При этом выходной сигнал определяется по формуле:

E_x = φ_a–φ_b = U_пит[(R₁×R₃–R_t×R₂)/((R_t+R₁)×(R₂+R₃)].

Кроме прочего, необходимо выражение для тока, протекающего по сопротивлению (по датчику), чтобы определить его величину и возможность перегрева датчика. Ток рассчитывается для минимально возможного сопротивления, так как в этом случае ток, протекающий по датчику, максимален (R_t1 = 50 Ом):

I₁ = U_пит/R₁+R_t1.

Условие равновесия моста:

R₁×R₃ = R_t×R₂.

Решение задачи проведем в программе Mathcad.

Для начала зададим начальные условия и некоторое значение напряжения питания (таблица).

В случае пренебрежения сопротивлением нагрузки (R_н = 0) сигнал, снимаемый с моста, равен разнице падения напряжений на соседних параллельных резисторах (R₁–R₂ или R₃–R_т). Для решения задачи целесообразно использовать вторую группу резисторов (рис. 2).

Рис. 2. Моделирование в Proteus мостовой схемы без учета сопротивления нагрузки: а) для Rt1 = 50 Ом; б) для Rt2 = 71,5 Ом

На основании вышесказанного можно составить два уравнения для двух сигналов E_xнач и E_xкон:

E_xнач = (U_пит/(R_T1+R₂))×R_T1–(U_пит/(R₁+R₃))×R₃,

E_xкон = (U_пит/(R_T1+R₂))×R_T2–(U_пит/(R₁+R₃))×R₃.

Два уравнения составлены для начального и конечного сопротивления датчика. Кроме того, необходимо ввести выражение баланса моста:

R₁×R₃ = R_T1×R₂.

Таким образом, получается система из четырех уравнений:

Через команду Find находим неизвестные величины (R₁, R₂, R₃, I).

Из приведенных данных получается, что при заданных в таблице параметрах (с учетом R_t1 = 50 Ом) сопротивление резисторов моста равны R₁ = 949,7 Ом, R₂ = 949,7 Ом, R₃ = 50 Ом, ток I_max = 0,02 А.

Недостатком классического подхода в таком виде является неопределенность при расчете значения максимального тока, поскольку при некоторых сочетаниях исходных параметров расчетное значение тока может получиться выше допустимого, что иногда вынуждает подбирать другое сочетание параметров (например, выбрать иное напряжение питания моста). Однако, проанализировав полученные результаты, можно сделать вывод, что расчетное значение тока допустимого значения (20 мА) не превышает. Следовательно, полученные значения можно использовать в дальнейших расчетах.

Для решения этой проблемы система уравнений дополняется выражением, определяющим падение напряжения на датчике при протекании через него максимально возможного тока (20 мА) при минимально возможном сопротивлении датчика, то есть 50 Ом. Таким образом, выражение будет иметь вид:

I_max×R_t1 = 0,02 A×50 Ом = 1 B.

В соответствии с вышесказанным запишем систему уравнений:

В результате расчета получены значения R₁ = 21,67 Ом, R₂ = 21,67 Ом, R₃ = 50 Ом, I_max = 0,02 А и U_пит = 1,43 В. В соответствие с ближайшими стандартными сопротивлениями из рядов E6, E12, E24, E48, E96, E192 получим R₁ = 21,8 Ом (E192), R₂ = 21,8 Ом (E192) и R₃ = 49,9 Ом (E96 либо E192).

Достоинство этого метода — принудительное ограничение тока, протекающего через термосопротивление, а также выбор необходимого напряжения питания моста.

С помощью рассчитанных значений на основе первого уравнения системы была построена зависимость выходного напряжения моста от сопротивления датчика (температуры). В таблице представлены рассчитанные значения, по которым построен график (рис. 3а). Кроме того, на этом же графике представлена идеальная характеристика, имеющая линейный характер. На рис. 3б представлен график абсолютной погрешности измерения, полученный путем вычитания реальной характеристики из идеальной. Максимальная погрешность наблюдается при сопротивлении датчика, равном 55 Ом. Она составляет 0,003 мВ. Относительная погрешность равна 10,38%.

Рис. 3. а) Реальная и идеальная характеристики измерительного моста без учета сопротивления нагрузки; б) абсолютная погрешность при измерении без учета сопротивления нагрузки

Недостатком классических подходов является то, что они не учитывают сопротивление подключаемой нагрузки (таковым может быть сопротивление измеряющего напряжение датчика или другие электронные компоненты). Для расчета сопротивлений с учетом Rн необходимо преобразовать схему на рис. 1 к схеме на рис. 4а.

Рис. 4. Преобразование структурной схемы измерительного моста: а) в расчетную схему; б) с учетом сопротивления нагрузки

Составим систему уравнений по первому и второму законам Кирхгофа (контуры определены, рис. 4б) [4]:

С помощью Mathcad решим данную систему и определим выражения для нахождения I_t и I_н. В случае подключения нагрузки выходной сигнал моста является не чем иным, как падением напряжения на сопротивлении нагрузки. Поскольку сопротивление нагрузки известно, как и необходимое падение напряжения (выходной сигнал), можно определить ток, протекание которого создаст нужное падение напряжения (рис. 5). Используя полученные выражения для I_т и I_н, составим систему из трех уравнений для нахождения значений сопротивлений R₁, R₂ и R₃, удовлетворяющих условию задания. Напряжение питания примем равным U_пит = 5 В.

Рис. 5. Моделирование в Proteus мостовой схемы с учетом сопротивления нагрузки: а) для Rt1 = 50 Ом; б) Rt2 = 71,5 Ом

Поскольку в символьном виде получаемые выражения выглядят достаточно громоздкими, с целью упрощения расчетов сразу подставим в систему все заданные значения параметров. Таким образом, получим систему уравнений для нахождения сопротивлений моста для заданных в таблице исходных параметров.

Решив систему, получаем R₁ = 200 Ом, R₂ = 10575 Ом и R₃ = 2644 Ом. В соответствии с ближайшими стандартными сопротивлениями из рядов E6, E12, E24, E48, E96, E192 получим R₁ = 200 Ом (E96 и E192), R₂ = 10,6 кОм (E192) и R₃ = 2,64 кОм (E192).

По графику абсолютного отклонения на рис. 6 видно, что самое большое отклонение от линейной характеристики наблюдается при R_т = 67 Ом и составляет 0,0036 В. Относительная погрешность при этом равна 4,2%. Погрешность измерения мостовой схемы во многом определяется сочетанием исходных и расчетных параметров [5].

Рис. 6. а) График зависимости Uн = f(Rт); б) график абсолютного отклонения для мостовой схемы с учетом сопротивления нагрузки

Важное замечание. Обратим внимание на то, что после расчета сопротивлений плеч моста (R₁–R₃) необходимо скорректировать полученные значения со стандартными рядами сопротивлений E6, E12, E24, E48, E96, E192 и выбрать ближайшее подходящее сопротивление. Отклонение стандартных значений от расчетных может вносить свои погрешности в выходной сигнал, что должно учитываться при проектировании. Для обеспечения минимального уровня отклонений требуется выбирать номиналы сопротивлений из стандартного ряда с меньшим допуском (E96, E192).

Кроме этого, настраиваемые (расчетные) сопротивления мостовой схемы так же подвергаются влиянию температуры (в гораздо меньшей степени), поскольку термодатчик находится непосредственно в измеряемой температурной области. Нагрев сопротивлений в процессе работы может давать прирост сопротивлений в диапазоне 2–4 Ом, что обязательно отразится на погрешности измерения и выходном сигнале моста.

Заключение

В данной работе была получена система уравнений для расчета сопротивлений плеч измерительного моста с учетом сопротивления нагрузки, диапазона изменения термосопротивления в заданных пределах рабочих температур и максимального тока, протекающего через датчик. Проанализировано влияние сопротивления нагрузки на расчет измерительного моста Уитстона. Данная методика может быть полезна инженерам, осуществляющим разработку простых систем измерения температуры, по аналогии с [6].

Продолжение статьи.