Технология обработки радионавигационной информации

Например, применявшиеся в 1950–90‑х годах РНС с наземным базированием опорных станций позволяют повышать точность местоопределения неподвижных объектов за счет простого усреднения полученных измерений в метрологической схеме прямых независимых равноточных измерений. В спутниковых РНС опорные станции, даже при неподвижных относительно поверхности Земли объектах, перемещаются, что приводит к непрерывному изменению как геометрии местоопределения, так и параметров единичного эллипса рассеяния каждого измерения.

В предыдущей статье [10] рассмотрены различные меры точности однократного радионавигационного местоопределения и соотношения между этими мерами. Ниже рассматривается технология обработки радионавигационной информации с точки зрения теоретической метрологии [13] и прикладной теории информации [3, 12].

Технология обработки одномерной метрологической информации

В РНС с наземным базированием опорных станций сеанс радионавигационных наблюдений заключается в получении выборки из n пар геодезических координат неподвижного объекта: {B_i, L_i}₁ⁿ, где B_i и L_i — геодезическая широта и геодезическая долгота объекта соответственно.

Для глобальных спутниковых РНС аналогичный сеанс заключается в получении выборки из n геодезических координат B_i, L_i, H_i, i = 1, 2, …, n, в моменты проведения измерений t_i по шкале времени объекта: {B_i, L_i, H_i, t_i}₁ⁿ, где H_i — геодезическая высота объекта. Обычно считается [14], что погрешности определения величин H_i и t_i представляют собой независимые случайные величины и статистически не связаны с погрешностями определения координат B_i и L_i. Поэтому можно отдельно рассматривать статистические характеристики величин H_i и t_i и их обработку как одномерных случайных величин, а выборку {B_i, L_i}₁ⁿ — как выборку из двумерной векторной случайной величины.

Рассмотрим выборку из одномерной случайной величины {x_i}₁ⁿ, полученную в результате проведения сеанса измерения некоторой величины x₀, где через x_i обозначена величина H_i или t_i. Будем полагать, что измерительный прибор откалиброван, а потому средние значения величин x_i равны истинному значению измеряемой величины x₀: x–_i = x₀, i = 1, 2, …, n. Дисперсия D_i каждой из случайных величин x_i, i = 1, 2, …, n, есть , где усреднение проводится по всем возможным значениям величины x_i. Среднеквадратическое отклонение (СКО) величины x_i обозначим через σ_i. Случайные результаты измерений x_i, i = 1, 2, …, n, будем считать независимыми. Таким образом, с точки зрения теоретической метрологии [13] задача обработки результатов измерений {x_i}₁ⁿ свелась к схеме прямых независимых неравноточных измерений.

С точки зрения теории информации i‑й результат измерений x_i является реализацией так называемого непрерывного сообщения x [12], имеющего плотность вероятности p(x). Для характеристики количества информации, получаемой в результате реализации непрерывного сообщения x, К. Шеннон, по аналогии с так называемыми дискретными (знаковыми) сообщениями, предложил измерять энтропией H, вычисляемой по следующей формуле [12].

«Энтропия дискретного множества вероятностей p₁, …, p_n была определена как:

Аналогичным образом определим энтропию непрерывного распределения с функцией плотности распределения p(x) как:

Норберт Винер при введении «разумной меры количества информации» для «непрерывных сообщений» типа x ссылается на личное сообщение Дж. фон Неймана [1] и вводит ее как:

(В теории информации логарифм некоторой величины z при основании 2 обозначается как logz.)

Однако формально-математическое обобщение выражения (1) на непрерывные распределения p(x) случайной величины x приводят к следующему противоречию:

Бесконечность в выражении (3) обычно («из практических соображений») отбрасывают, а интеграл

называют дифференциальной (относительной, сведенной) энтропией величины x [3].

Например, при гауссовском распределении p(x) погрешностей измерений:

Зависимость h(x) от величины σ представлена на рисунке, где μ₀ ≡ 2πe ≈ 17,1. Там же приведена зависимость от σ информационной меры Неймана — Винера: .

Дифференциальная энтропия h(x) в определении как Шеннона, так и Винера обладает рядом «неестественных» свойств [9], самым существенным из которых является ее неаддитивность. То есть если имеются результаты двух независимых измерений {x₁, x₂}, обладающих энтропиями h(x₁) и h(x₂), то суммарное количество информации, полученное в результате проведения двух независимых неравноточных измерений, не равно их сумме, что противоречит очевидному свойству аддитивности информации, получаемой из независимых сообщений.

Для обеспечения свойства аддитивности измерительной (метрологической) информации рассмотрим максимальное количество информации, которое можно извлечь из результатов двух независимых неравноточных измерений x₁ и x₂.

Будем искать оценку величины x₀ в линейном виде: .

Для того чтобы оценка была несмещенной, то есть чтобы выполнялось равенство  = x₀, нужно, чтобы математическое ожидание  оценки  было равным измеряемой величине x₀: .

Отсюда , или (a₁+a₂)x₀+b = x₀.

Значит, для несмещенности оценки следует положить: b = 0 и a₁+a₂ = 1.

Определим дисперсию D_Σ оценки :

или D_Σ = a₁²D₁+a₂²D₂, поскольку  — в силу независимости погрешностей результатов измерений x₁ и x₂.

Введем обозначение a = a₁; тогда a₂ = 1–a и D_Σ = a²D₁+(1–a)²D₂.

Кроме несмещенности оценки , разумно также потребовать, чтобы она имела дисперсию, наименьшую из возможных значений дисперсии для линейных оценок вида = a₁x₁+a₂x₂ (эффективность оценки).

Для этого нужно решить уравнение:

dD_Σ/da = 2aD₁–2(1–a)D₂ = 0,

в результате чего находим:

a = D₁^–1/(D₁^–1+D₂^–1) = a₁;

 a₂ = D₂^–1/(D₁^–1+D₂^–1);

D_Σ^–1 = D₁^–1+D₂^–1, или σ_Σ^–2 = σ₁^–2+σ₂^–2.

Методом математической индукции можно доказать, что при произвольном значении n > 2 оценка

будет иметь следующие величины оптимальных весовых коэффициентов {a_i}₁ⁿ, минимальной дисперсии D_Σ и минимального СКО σ_Σ:

Следовательно, в общем случае n независимых неравноточных измерений (x₁, x₂, …, x_i, …, x_n) неизвестной величины x₀ ее оптимальная оценкавычисляется по формуле:

и имеет минимально возможную дисперсию

Это есть информационная мера Рональда Фишера [6], которая также представлена на рисунке.

Рисунок. Зависимость количества информации I, вырабатываемой при однократном измерении величины x0, от среднеквадратического значения погрешностей измерений σ

В 1981 году Международный комитет мер и весов (МКМВ) рекомендовал использовать как показатель качества измерительной информации термин «неопределенность результата измерения». А в 1993‑м Международная организация по стандартизации (ИСО) узаконила в качестве меры неопределенности измерительной информации не энтропию Шеннона или Неймана — Винера, а обычное среднее квадратическое отклонение измеренной величины от среднего значения [13].

Таким образом, в одномерном случае в качестве меры измерительной информации следует определить обратную дисперсию погрешностей i‑го измерения: I_i = D_i^–1. В этом случае выборка {x_i}₁ⁿ из результатов независимых неравноточных измерений объема n позволяет получить количество информации I, равное сумме количеств информации, получаемых в результате каждого из этих измерений:

При этом технология получения суммарной оценки величины x₀ заключается в вычислении величины

с коэффициентами  .

Среднеквадратическое отклонение  от истинного значения x₀ оценки  равно

Технология обработки двумерной метрологической информации

В двумерном (многомерном) случае ситуация несколько усложняется.

Рассмотрим результаты измерений координат объекта (x₀, y₀) на поверхности Земли. Например, с помощью радионавигационной системы в системе плоских прямоугольных координат Гаусса — Крюгера (x, y).

Пусть погрешности измерений распределены по двумерному гауссовскому закону p(x, y). Этот закон характеризуется дисперсиями погрешностей координат по осям Ox и Oy (D_x = σ_x², D_y = σ_y²), а также коэффициентом корреляции ρ_xy таких погрешностей.

В 1960 году Самуэль Уилкс ввел понятие обобщенной дисперсии [5]: D_У = |R|, где R — корреляционная матрица порядка m погрешностей измерений по переменным x_j (j = 1, 2, …, m). В двумерном случае дисперсия Уилкса D_У = σ_x²σ_y²(1–ρ_xy²) и равна четвертой степени радиуса круга r_э (эффективного радиуса рассеяния), равновеликого площади единичного эллипса рассеяния погрешностей измерений:

где a и b — полуоси единичного эллипса рассеяния [10].

Однако можно проверить, что мера рассеяния 1/D_У = r_э^–4 не удовлетворяет постулату аддитивности теории информации [9].

Действительно, пусть ρ_xy = 0. В этом простейшем случае при наличии двух независимых измерений (x₁, y₁) и (x₂, y₂) координат (x₀, y₀) с дисперсиями (σ_x1², σ_y1²) и (σ_x2², σ_y2²) соответствующие оптимальные оценки по осям Ox и Oy проводятся независимо, так что дисперсии σ_x² и σ_y² оптимальных оценок и  суть: σ_x² = 1/(σ_x1^–2+σ_x2^–2), σ_y2 = 1/(σ_y1^–2+σ_y2^–2).

При этом эффективные радиусы рассеяния удовлетворяют равенству:

r_э1⁴ = σ_x1²σ_y1², r_э2⁴ = σ_x2²σ_y2², r_э⁴ = σ_x²σ_y² = (σ_x1^–2+σ_x2^–2)^–1(σ_y1^–2+σ_y2^–2)^–1,

или

.

В статье [10] рассмотрены основные меры точности двумерного радионавигационного местоопределения и соотношения между ними: радиальная среднеквадратическая погрешность σ_r; радиус круга r_э, равновеликого единичному эллипсу рассеяния; радиус круга, вероятность попадания местоположения объекта в который составляет 50%, — CEP (Circular Error Probable); предвычисленная погрешность местоопределения — EPE (Estimated Positional Error); радиус круга, содержащего 95% радионавигационных местоположений объекта, — R₉₅.

Рассмотрим выборку {x_i, y_i}₁ⁿ объема n радионавигационного местоположения объекта в плоской прямоугольной системе координат (x, y). Будем полагать, что радионавигационная система откалибрована, то есть , . Положим также, что погрешности радионавигационных местоопределений независимы друг от друга; отсюда . Таким образом, при гауссовском законе распределения погрешностей измерений выборка {x_i, y_i}₁ⁿ полностью характеризуется совокупностью величин {σ_xi, σ_yi, r_xyi}₁ⁿ, где σ_xi² и σ_yi² — дисперсии погрешностей измерений координат x_i и y_i соответственно, r_xyi — коэффициент их корреляции.

Поскольку совокупности величин {x_i}₁ⁿ и {y_i}₁ⁿ представляют собой выборки из одномерных независимых в общем случае неравноточных величин, то эффективными оценками ,  координат x₀ и y₀ будут величины

с коэффициентами

i = 1, 2, …, n.

Дисперсии таких оценок D_x и D_y будут минимально возможными и равными:

Значит, оценка (, ) координат (x₀, y₀) объекта на поверхности Земли будет обладать минимально возможной радиальной среднеквадратической погрешностью радионавигационного местоопределения σ_r, равной:

Последнее выражение можно записать иначе:

Можно показать, что:

Как видим, если все величины ρ_xyi = 0, то и ρ_xy = 0. Если же все распределения x_i, i = 1, 2, …, n — вырожденные, то есть ρ_xyi = ±1, то распределение оценки местоположения (, ) может оказаться невырожденным: 0 < |ρ_xy| < 1.

По оценкам σ_x, σ_y и ρ_xy можно определить большую a и малую b полуоси единичного эллипса рассеяния, а также его ориентацию — угол Ψ между большой полуосью и осью Оx [10].

Таким образом, в двумерном случае аддитивной информационной мерой точности местоопределения объекта является величина σ_r²/(D_xD_y).

Что касается эффективной обработки радионавигационной информации для подвижных объектов, то, дополняя радионавигационную выборку данными о направлении и скорости движения объекта (такая информация имеется в радионавигационном приемнике глобальных спутниковых РНС), можно существенно увеличить точность местоопределения объекта в режиме реального времени (RTK). Технология обработки измерительной информации в этом случае достаточно подробно представлена в статье [11].

Заключение

Рассмотрены технологии обработки радионавигационной информации для случая независимых неравноточных измерений. Как с точки зрения статистической теории радиосистем, так и с точки зрения прикладной теории информации и теоретической метрологии оптимальной мерой точности радионавигационного местоопределения являются: для одномерных величин (например, геодезической высоты H или расхождения системной и бортовой шкал времени Δt_ш) — среднеквадратическое отклонение от среднего значения σ, для двумерных (например, координат Гаусса — Крюгера (x, y) объекта местоопределения) — радиальное среднеквадратическое отклонение от среднего местоположения объекта σ_r. Меры точности CEP, EPE и R₉₅, используемые в спутниковой радионавигации, имеют интуитивно-эмпирическую природу.