АЦП последовательного приближения с алгоритмом измерения Sub‑2 radix

Введение

Sub‑2 radix — система счисления с основанием меньше 2. Алгоритмическая теория измерения как наука зародилась в начале нашей эры в Индии и Древнем Вавилоне. В то же время принято считать первым (из дошедших до нас) научным трудом книгу “Liber Abaci” Леонардо Пизано Фибоначчи (1202). В одной из глав описана задача о выборе наилучшей системы гирь. Ее суть состоит в выборе оптимального набора гирь для взвешивания на рычажных весах. В случае, когда гири разрешается класть только на правую, то есть свободную от груза чашу весов, решение задачи известно. Оптимальным решением является двоичная система гирь [1, 2, 4, 8, …, 2^n–1], которая порождает двоичную систему счисления, лежащую в основе современных компьютеров.

В двоичной системе измерения искомый вес N, выраженный в единицах младший гири, определяется выражением:

сумма всех предыдущих членов меньше последующего члена и равна

S_n–1 = a_n×(1–1/2ⁿ).      (2)

Задача о выборе наилучшей системы гирь

Интерес к задаче о гирях возник в современной науке в связи с решением теоретических задач новой области техники — техники аналого-цифрового преобразования. Решению этой задачи, а также аналогичных задач посвящена теоретическая работа [1], в которой описан «принцип асимметрии измерения».

Суть этого принципа вытекает из внимательного рассмотрения процедуры (алгоритма) взвешивания неизвестного груза Q с помощью системы «двоичных гирь». На первом шаге взвешивания весовщик кладет старшую гирю 2^n–1 на правую чашу весов. При этом после первого шага может возникнуть две ситуации: весы остаются в исходном состоянии (1); весы переходят в противоположное состояние (2). Однако в первом случае весовщик в дальнейшем должен выполнить одну операцию — добавить на правую чашу весов следующую по старшинству гирю 2^n–2; во втором случае весовщик обязан снять гирю 2^n–1 с правой чаши весов и после их возвращения в исходное состояние добавить туда следующую по старшинству гирю 2^n–2. Таким образом, в реальных измерениях весовщик должен учитывать инерционность рычажных весов, то есть дискретное время р (р = 0, 1, 2, 3, …), необходимое для возврата весов в исходное положение. Введение параметра р в задачу о гирях приводит к бесконечному количеству новых ее вариантов, решение которых и является основой теории измерения, названной алгоритмической теорией измерения.

Время установления схемы сравнения в общем случае (для линейной системы) определяется как:

t ≥ τ×ln(1/δ).                     (3)

Например, при заданной точности 16 дв. разрядов δ ≈ 1,5E‑5 время установления будет определяться как t ≈ 11τ, если же задать точность установления схемы сравнения на уровне 1%, то t ≈ 4,6τ, то есть более чем в 2 раза быстрее.

При реализации современных АЦП приходится учитывать не только время установления схемы сравнения, но и начальную погрешность «гирь» каждого разряда сравнения. При этом в случае, допустим, исходной относительной погрешности ±0,1% ни при каком последующем уравновешивании не удается скомпенсировать пропуски кодов величиной менее этой погрешности. То есть невозможно получить точность выше 10 двоичных разрядов. Приходится принимать специальные меры по уменьшению относительного разброса величин уравнивающих емкостей или резисторов.

Таким образом, существует ограничение по быстродействию и точности при изготовлении АЦП последовательного приближения, основанных на двоичной системе измерения.

В работе [1] и последующих публикациях на эту тему рассматривается вопрос применения систем счисления с основанием меньше 2, так называемых Sub‑2 radix, при которых возникает избыточность в каждом такте измерения, позволяющая проводить компенсацию возникающей погрешности измерения.

Возможность такой компенсации появляется потому, что в отличие от двоичной системы счисления, где сумма всех предыдущих членов меньше последующего члена, можно выбрать такую последовательность, в которой это условие не выполняется, — например, сумма членов геометрической прогрессии с основанием q < 2 будет равна:

при q = 1,8:

то есть даже при отклонении величины b_n от номинального значения на ±5% сумма последующих позволяет скомпенсировать это отклонение.

Реализации схем с использованием алгоритма Sub‑2 radix

Выполнение набора уравновешивающих резисторов или конденсаторов в соответствии с геометрической прогрессией, допустим со знаменателем q = 1,8, образующим ряд чисел 1; 1,8; 3,24; 5,832; 10,4976… (ряд ненатуральных чисел), неудобно и нежелательно по следующим причинам:

1. невозможно выполнение топологии из однородных элементов;
2. выполнение топологии уравновешивающих элементов путем простого масштабирования приводит к дополнительной начальной погрешности из-за краевых эффектов;
3. неудобно выполнять размещение разнокалиберных фрагментов.

В случае двоичной системы счисления уравновешивающие элементы набираются из набора элементов минимального размера и их количество в каждом разряде будет равно 1, 2, 4, 8, 16, 32 и т. д.

Для реализации алгоритма Sub‑2 radix желательно выбрать такую систему счисления, в которой последовательность членов образуется из последовательности натуральных чисел.

Одной из таких последовательностей является ряд Фибоначчи, в котором в пределе каждый последующий член можно определить как

F(n) = F(n–1)×φ,

где φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618 (основание «золотой» пропорции).

Существуют и так называемые p‑числа Фибоначчи, где «золотые» p‑сечения равны φ_p, а каждый последующий член определяется согласно таблице.

Таблица. P‑числа Фибоначчи

Количество требуемых разрядов N_F с основанием φ_p при требуемой точности в 16 дв. разрядов (N_дв) также указано в таблице. Это количество приблизительно определяется по формуле:

N_F ≥ (2/φ_p)N_дв.

Из таблицы видно, что избыточность растет с увеличением p.

Для уменьшения избыточности разработчики современных АЦП последовательного приближения выбирают иные последовательности натуральных чисел — например, числа трибоначчи. Наименование этой последовательности представляет собой вариацию названия «числа Фибоначчи».

Последовательность целых чисел трибоначчи {tn} задается с помощью рекуррентного соотношения t₀ = 0, t₁ = 0, t₂ = 1, t_n+3 = t_n+2+t_n+1+t_n. Получается ряд натуральных чисел 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44… Основание асимптотической геометрической прогрессии в этом случае равно:

Выбор указанного ряда натуральных чисел приводит к тому, что избыточность не превышает 20% по количеству как уравновешивающих элементов, так и коммутирующих ключей.

Типовая схема SAR АЦП с реализацией алгоритма Sub‑2 radix

Типовая схема SAR АЦП с реализацией алгоритма Sub‑2 radix (рисунок) показана на примере экспериментальной микросхемы 14‑разрядного АЦП, разработанного и изготовленного в ЗАО «ПКК МИЛАНДР».

Рисунок. Типовая схема SAR АЦП с реализацией алгоритма Sub 2 radix

Экспериментальная микросхема представляет собой 8‑канальный 14‑разрядный АЦП с оригинальным последовательным интерфейсом. Микросхема содержит:

• источник опорного напряжения «BG Reference»;
• 8‑канальный мультиплексор — «8:1»;
• основной ЦАП — main DAC;
• калибровочный ЦАП — calib DAC;
• вспомогательный ЦАП — sub DAC;
• блок регистров калибровочных констант — SCR;
• логический блок управления АЦП — SAR control logic;
• узел последовательного интерфейса — serial IF.

Архитектура АЦП позволяет:

• проводить калибровку с помощью встроенного алгоритма;
• калибровать «напряжение смещения», «ошибку усиления», «нелинейность весовых конденсаторов», «краевые эффекты» и прочие технологические факторы, вносящие ошибки рассогласования в матрицу конденсаторов;
• проводить калибровку с помощью внешнего устройства, реализующего тот или иной алгоритм калибровки.

Заключение

Применение системы счисления Sub‑2 radix, основанной на натуральном ряде чисел трибоначчи

    при p = 3,

для построения матрицы уравновешивающих элементов в 14‑разрядном АЦП последовательного приближения позволяет повысить быстродействие АЦП при той же или меньшей потребляемой мощности.

Архитектура матрицы уравнивающих конденсаторов АЦП, ее коммутация и алгоритм калибровки будут описаны во второй части данной статьи.

Продолжение следует