Прогнозирование деградации выходных параметров ТТЛ ИС

При прогнозировании долговечности высоконадежных ИС, в которых доминирующими причинами отказов являются деградационные процессы, возможны два подхода: исследование физико-химических процессов, протекающих в элементах конструкции ИС, и составление математических выражений, отражающих физико-химические закономерности этих процессов (физические методы прогнозирования долговечности ИС), либо математическое моделирование процесса деградации параметров ИС с функциональным оператором, подобным функциональному оператору исследуемого объекта (методы прогнозирования).

Физические методы прогнозирования позволяют моделировать воздействие одного или двух, максимум трех факторов, приводящих к ускорению процесса старения ИС. За базовую модель зависимости интенсивности отказов от температуры принимается уравнение Аррениуса. В 1889 году Сванте Аррениус вывел это уравнение эмпирически, изучая влияние температур на скорость превращения сахарозы, за что был удостоен Нобелевской премии в области химии. Это уравнение приближенно описывает многие деградационные процессы и отказы ИС, в том числе ионный дрейф, диффузию примесей, образование интерметаллических соединений, ползучесть, кристаллографические микроперестроения конструкционных материалов. Уравнение Аррениуса в равной степени хорошо описывает появление отказов ИС при воздействии повышенной температуры, как в период приработки, так и в период старения.

Физические методы не позволяют прогнозировать долговечность ИС в условиях эксплуатации радиоэлектронной аппаратуры (РЭА), поскольку не удается учесть влияние множества факторов на их долговечность. При прогнозировании долговечности высоконадежных ИС в условиях эксплуатации методы статистического прогнозирования являются более предпочтительными, однако нет единой точки зрения в выборе этих методов.

Спектр предлагаемых к использованию методов прогнозирования долговечности ИС очень широк: методы теории катастроф, нечетких множеств, прогнозирование методами распознавания образов, имитационная физико-статистическая теория надежности, методы, основанные на анализе и прогнозировании временных рядов, методы параметрической теории надежности, использование нейронных сетей, энергетически-временная модель деградации ИС (детерминированный и вероятностный подход), термодинамические методы прогнозирования, эволюционно-энтропийная модель процесса деградации и т. д.

Методологические подходы в теории надежности ИС интенсивно разрабатывались в нашей стране в 80–90-е годы. Более подробно с этими методами можно ознакомиться в журнале «Электронная техника», серия 8, в статье «Управление качеством, метрология, стандартизация». Большинство из них заимствованы из различных областей науки и техники, и пригодны к использованию на стадии проектирования и изготовления ИС. Наиболее законченным является физико-статистический подход, развитый И. Т. Алексаняном и его учениками. Однако в многочисленных работах теоретические исследования не доведены до практического их использования в инженерной практике, поэтому и не приведены конкретные примеры прогнозирования долговечности серийно выпускаемых ИС по параметрическим отказам по данным длительных испытаний ИС. Практически все подходы требуют разработки дополнительного программного обеспечения, что сводит «на нет» все усилия разработчиков методологических подходов.

Возможно ли прогнозирование долговечности ИС до наступления параметрических отказов с помощью стандартных математических пакетов программ? Какие же методы прогнозирования реализованы в этих пакетах? В данной работе на примере ТТЛ ИС будет рассмотрено прогнозирование долговечности ИС при эксплуатации с использованием теорий цифровых фильтров, временных рядов и идентификации систем в Matlab/Simulink и в статистических пакетах программ (СПП) SPSS, Statistiсa.

В настоящее время в отечественных технических условиях (ТУ) на ИС установлены наибольшие показатели долговечности (200 тыс. ч) и гамма-процентного ресурса сохраняемости (25 лет при γ = 95%). Это сегодня практически полностью удовлетворяет все виды радиоэлектронной аппаратуры, в которых используются ИС. Но могут ли ИС реально сохранять свою работоспособность в течение 30 и более лет? Изменения каких составляющих конструкций схемы будут преобладать при длительной работе? Какими испытаниями можно подтвердить долговечность ИС? Возможно ли достоверное прогнозирование поведения основных электрических параметров ИС на основе длительных испытаний? Ответы на данные вопросы практически отсутствуют в научной литературе.

Существует несколько проблем при прогнозировании долговечности ИС по параметрическим отказам.

Первое. Какой же метод прогнозирования является предпочтительным и какие методы доступны, то есть реализованы в программном виде. Методы теории катастроф? Методы, основанные на анализе и прогнозировании временных рядов? Прогнозирование с использованием нейронных сетей?

Второе. Параметры ИС являются прямым отражением состояния структуры и ее эволюции. Эволюционные процессы в дефектной структуре могут сопровождаться и улучшением параметров ИС. Зачастую многие важные электрические параметры схем не изменяют своего значения вплоть до отказа, другие же не несут информации, необходимой для прогнозирования долговечности, а лишь указывают на то, что схема в какой-то момент времени является работоспособной. Поэтому для предсказания долговечности приходится выбирать параметры, лишь косвенно характеризующие естественное старение.

Третье. Это проблема интерпретации полученных результатов. Используя результаты испытаний ИС, изготовленных 5–20 лет назад, при прогнозирующих оценках долговечности вновь изготовленных схем необходимо вносить поправки на усовершенствование технологии и конструкции ИС, проведенные за это время. Проблема осложняется еще и тем, что для многих ИС начало периода старения лежит далеко за окончанием их срока службы, к тому же, как показывает практика, отказы ИС при таких испытаниях единичны и не связаны с деградационными процессами, а обусловлены недостатками конструкции и технологии их изготовления.

Общие линейные модели для анализа временных рядов

В основе общей линейной модели (ОЛМ) лежит предположение, что «белый шум» (последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое нормальное распределение) можно трансформировать при помощи линейного фильтра. Операция линейной фильтрации заключается в вычислении взвешенной суммы предыдущих наблюдений:

Создание нового временного ряда X_t как линейной комбинации текущего и прошлых значений ряда a_t приводит к автокорреляции. Ряд a_t непосредственно не наблюдаем. При разложении a_t на частотные составляющие, последние равно представлены в спектре. Автокоррелированный ряд X_t не имеет равномерного спектра и называется «цветным шумом».

Если ввести оператор сдвига назад B_at = a_t–1, то получим X_t = Ψ(B)a_t , где линейный оператор Ψ(B) = 1 + Ψ₁B + Ψ₂B² + … называется фильтром. Дисперсия ряда X_t :

где σ²_a — дисперсия белого шума.

Модель будет иметь смысл, если ряд Σ | Ψ_i | будет сходиться.

В ОЛМ существует дополнительное условие обратимости: Ψ(B) ≠ 0 при |B| ≤ 1, где вместо В допускается подстановка как действительных, так и комплексных чисел. Из этого условия следует существование обратного оператора:

Применив обратный оператор к ряду X_t , получим: a_t = π₀X_t + π₁X_t–1 + π₂X_t–2 + … или π(B) = {Ψ(B)}^–1 и Σ|π_i| < ∞. В рамках ОЛМ принято Ψ₀ = π₀ = 1. Так как допускает масштабный множитель, то:

Это соотношение выглядит как регрессионное уравнение, в котором ошибка a_t не коррелированна с регрессионными переменными X_t–1, X_t–2, …, поскольку cov(a_t, X_t–k) = 0 при k > 0. Составляющая есть линейный МНК-предиктор (прогноз) для X_t по всем прошлым значениям ряда, а a_t — ошибка прогноза на один шаг вперед.

Форма ОЛМ используется для представления способов построения прогноза на несколько шагов вперед. Любое будущее значение X_t+k, где k > 0, можно представить в виде двух строк: строку из компонент, включающую будущие значения a_t для t > n, и строку, включающую только начальные и прошлые значения a_t для t ≤ n:

В качестве прогноза X_t+k для k ≥ 1, используется вторая строка:

Ошибка предиктора e_t(k) есть

Спектр линейного стационарного процесса равен

где частоты

являются гармониками основной частоты

Авторегрессионные модели

Авторегрессионная модель порядка p или модель (АР(p)) получается из обращенной формы ОЛМ путем переобозначения коэффициентов:

где функция φ(B) — обратная к Ψ(B). Процесс авторегрессии трактуют как выход X_t = φ^–1(B)a_t линейного фильтра с передаточной функцией φ^–1(B), входом которого служит белый шум a_t.

Заменяя будущие значения нулем, получим:

и т. д.

Ошибка предсказания определяется как:

Автокорреляционная функция процесса АР(p):

Спектр процесса АР(p) авторегрессии:

Модели скользящего среднего

Если предположить, что ОЛМ содержит лишь конечное число членов, а Ψ_k = 0 при k > q, то, переобозначив коэффициенты, получим модель скользящего среднего порядка q или модель СС(q):

где символы –θ₁, θ₂, …, –θ_q используются для обозначения конечного набора весовых параметров. Процесс скользящего среднего трактуют как выход X_t = θ(B)a_t линейного фильтра с передаточной функцией θ(B), на вход которого поступает белый шум.

Так как модель СС(q) есть конечная форма ОЛМ, прогноз X_t(k) значения X_t+k по известным X_t будет иметь вид:

Автокорреляционная функция процесса СС(q) обрывается на задержке q:

Спектр процесса CC(q):

Метод Бокса-Дженкинса (ARIMA-модель)

Процесс деградации параметров ТТЛ ИС может быть эффективно описан с использованием метода Бокса-Дженкинса (АРПСС-модель — авторегрессия проинтегрированного скользящего среднего, или ARIMA-модель), применяемого для анализа и прогнозирования нестационарных случайных процессов и временных рядов различной природы. В настоящее время метод Бокса-Дженкинса считается одним из наиболее эффективных при прогнозировании поведения параметров объектов и динамических систем, описываемых случайными временными рядами. Метод нашел широкое применение для стохастического моделирования интенсивности отказов деталей узлов различного рода радиоэлектронного оборудования, например, электровакуумных ламп в передатчиках, высокочастотных генераторов, используемых в бортовой аппаратуре, для построения прогнозов в рамках теории управления производственными процессами, в эконометрии.

Одним из преимуществ метода Бокса-Дженкинса перед другими методами прогнозирования является то, что он позволяет построить модели временных рядов деградации параметров ИС, которые можно использовать для прогнозирования долговечности ИС по параметрическим отказам. Метод также позволяет прогнозировать долговечность ИС независимо от ее степени интеграции и конструкционных особенностей, а также учитывать влияние случайной составляющей (белый шум) на процесс деградации параметров. В отличие от методов теории распознавания, не требуется предварительного исследования выборки, то есть разделения ИС в пространстве параметров на ряд совокупностей «группы схожести», проведения «обучения» и «распознавания».

Следует отметить, что существует хорошо развитое программное обеспечение этого метода, способствующее его широкому применению в различных областях науки и техники. Для прогнозирования долговечности ИС можно использовать СПП, позволяющие проводить анализ временных рядов, такие как пакет STATGRAPHICS (Statistical Graphics System), разработанный корпорацией STSC (США), пакет Statistica for Windows фирмы Stat Soft, Inc., пакет GENSTAT, разработанный в Numerical Algorithms Group (Oxford), пакет SPSS (Statistical Package for the Social Sciens — статистический пакет для общественных наук) и др. Разработан ряд отечественных программ анализа и прогнозирования временных рядов, таких как МАВР и ПАРИС, STANP. Модуль СПП SPSS Trends позволяет с использованием ARIMA-моделей решать задачи управления производством, обработки данных, прогнозирования объемов продаж; проведения социальных исследований. Программный продукт Forecast Expert (система построения экономических прогнозов), базирующийся на методе Бокса-Дженкинса, предназначен для прогнозирования любого параметра, в отношении которого имеется должное количество замеров в конкретном промежутке времени. Всего насчитывается более десятка таких статистических пакетов. Однако в литературе отсутствуют сведения о практике применения этих СПП для прогнозирования долговечности ИС.

Применение метода Бокса-Дженкинса для изучения долговечности ИС есть результат подхода к исследуемой ИС как к «черному ящику». Метод «черного ящика» — кибернетический; объект исследования представляется как некоторая кибернетическая система, которая может быть описана своим функциональным оператором. Такой подход ставит своей целью посредством построения некоторой модели установить изоморфизм не с внутренней структурой и ее функционированием, а с внешними проявлениями ее информативных параметров.

Недостатком метода является то, что АРПСС-модель, вытекающая из метода Бокса-Дженкинса, не основывается на физических представлениях.

Метод Бокса-Дженкинса основывается на том, что гладкий нестационарный временной ряд путем взятия разностей некоторого d-го порядка можно свести к эквивалентному стационарному, то есть к случаю, для которого разработаны методы анализа и прогнозирования. В методе Бокса-Дженкинса нестационарный временной ряд представляется в виде модели авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС, ARIMA) в прямой и возвратной форме:

где φ(B), φ(F) операторы авторегрессии (АР); B, F —операторы сдвига; V — оператор разности: V¹X_t = X_t – X_t–1 = (1 – B)X_t ; d — порядок разности, обеспечивающий переход от нестационарного ряда к эквивалентному стационарному; p — порядок авторегрессии; q, θ(B), θ(F) — порядок и операторы проинтегрированного скользящего среднего (СС) соответственно; a_t , e_t — последовательности независимых случайных величин, имеющих одинаковое нормальное распределение (белый шум): E[a_t] = 0, Var[a_t] = σa_t. Значения белого шума at согласно методу Бокса-Дженкинса должны быть получены прогнозированием назад с использованием возвратной формы временного ряда.

Смешанный процесс АР и СС представляет собой эффективную модель для описания стационарных и нестационарных временных рядов. АРПСС-модель эффективна, когда временной ряд является суммой независимых составляющих, каждая из которых описывается либо моделью АР, либо моделью СС, но которые непосредственно не наблюдаются. Модель является параметрической. Чтобы подобрать такую модель, нужно оценить по наблюдаемым данным набор параметров АРПСС-модели φ, θ, σ_a.

Согласно авторегрессионной модели формирования сигнала, сигнал формируется путем пропускания дискретного белого шума через рекурсивный фильтр (рекурсивные фильтры называют также фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой или БИХ-фильтрами), в модели скользящего среднего (СС-модель) используется нерекурсивный фильтр (такие фильтры имеют конечную импульсную характеристику и называются КИХ-фильтрами), а в АРПСС-модели — фильтр общего вида, содержащий рекурсивную и нерекурсивную ветви. Фильтры АРПСС имеют обратную связь, обладают большой гибкостью и экономичны — то есть имеют малое число параметров в левых и правых частях.

Так как цифровые фильтры не строят прогнозы за пределы временного ряда в случае прекращения подачи сигнала на его вход, то будем называть прогнозирование в пределах временного ряда моделированием, зачастую отождествляя два термина — «моделирование» и «прогнозирование».

Краткая теория идентификации систем и цифровых фильтров

В качестве базового описания линейной системы с аддитивными случайными возмущениями используется соотношение y(t) = G(q)u(t) + H(q)e(t), где G(q), H(q) — передаточные функции системы, q — оператор сдвига. Произведение G(q)u(t) записывается в виде:

где k — задержка. Часто работают со свободной от шумов или детерминированной моделью y(t) = G(q)u(t).

Модель динамической системы показана на рис. 1а. Здесь обозначено: u_t — входной и y_t — выходной сигналы (временные ряды) в моменты времени t = 1, 2, … N; e(t) — белый шум, воздействующий на систему.

ARX-модель (сочетание AR относится к авторегрессионной (AvtoRegressive) части A(q)y(t), X показывает наличие внешнего (eXternal) входа, на который поступает сигнал u_t) записывается в виде:

где B(q) и A(q) — полиномы: A(q) = 1 + a₁q^-1 + … + a_naq^–na и B(q) = b₁ + b₂q^-1 + … + b_nbq^–nb + 1, na и nb — порядки полиномов. В частном случае, когда n_a = 0, y(t) описывается КИХ-фильтром.

Предсказатель для ARX-модели:

где θ = [a₁, …, a_na, b₁, …b_nb]^T — вектор параметров, подлежащих отысканию, а φ(t) = [–y(t – 1), …, –y(t–n_a), u(t – 1), …, u(t – n_b)]^T. Предсказатель представляет скалярное произведение известного вектора данных φ(t) и вектора параметров θ.

ARX-модель без члена e(t) представляет уравнение дискретной фильтрации (рис. 1г):

Так как уравнение содержит как входные отчеты, так и выходные, то полученная структура представляет рекурсивный фильтр (прямая реализация).

Степень гибкости модели ARX можно увеличить, если помеху e(t) моделировать как скользящее среднее (MA- или СС-модель) белого шума. Это приводит к ARMAX-модели:

где C(q): C(q) = 1 + c₁q^–1 + … + c_ncq^–nc. В случае, пригодном для анализа временных рядов, A(q)y(t) = C(q)e(t). При C(q) = 1 получим AR-модель. Функция ARMAX в MatLab вызывается следующим образом: m=armax(y,[na nc]).

ARMAX-модели являются стандартным средством решения задачи идентификации и проектирования систем в теории управления и эконометрии. Модель Бокса-Дженкинса, используемая для анализа временных рядов, известную под названием ARIMA (X)-модели («I» обозначает интегрирование, а «X» — переменная может присутствовать или отсутствовать), получается из ARMAX-модели путем замены y(t) на Δy(t) = y(t) – (t – 1).

Предсказатель ARMAX-модели:

где θ = [a₁, …, a_na, b₁, …b_nb, c₁, …, c_nc]^T — вектор параметров, подлежащих отысканию. Предсказатель не является линейной регрессией в силу нелинейной зависимости вектора φ(t, θ) от θ.

Приведенные ниже модели OE и BJ используются для описания линейных систем (представление дискретной системы в пространстве состояний). Структура модели выходной ошибки Output-Error (OE) записывается в виде:

где F(q) = 1 + ƒ₁q^–1 + … + ƒ_nƒq^–nƒ.

Структура модели Бокса-Дженкинса (BJ) является усложнением модели выходной ошибки:

где D(q) = 1 + d₁q^–1 + … + d_ndq^–nd.

Все модели можно записать обобщенной моделью:

ARX-модель получается при nc = nd = nƒ = 0. ARMAX-модель соответствует nƒ = nd = 0. Модель выходной ошибки получается при na = nc = nd = 0, модель Бокса-Дженкинса соответствует na = 0.

Форма спектра позволяет выявлять особенности временного ряда (определить основные гармонические составляющие случайного процесса путем разложения дисперсии процесса по разным частотам). Наличие пиков в спектре и их величины могут выявить основные периодичности, требующие физического объяснения. Полезную информацию можно получить при изучении нескольких спектров временных рядов при изменении внешних условий, например при изменении температуры испытаний. Автокорреляционные и спектральные функции связаны между собой. Цель спектрального анализа — разложить ряд на функции синусов и косинусов различных частот для определения тех, появление которых особенно существенно и значимо.

Оценку спектральной плотности мощности (СПМ) дискретного случайного процесса x(k) (периодограмма) по N отсчетов можно получить по следующей формуле:

где ω — круговая частота, T — период повторения сигнала, ƒ_д = 1/T — частота дискретизации, x(k) — отсчеты аналогового случайного процесса.

Оценка СПМ АР-процесса, пропорциональная квадрату модуля коэффициента функции передачи фильтра, определяется в MatLab так:

Спектральный анализ сводится к определению коэффициентов АР-модели a_i заданного порядка N, оценке мощности белого шума σ_n² и расчету СПМ. Для этого необходимо определить соотношение между параметрами АР-модели и автокорреляционной функцией. Это соотношение известно под названием уравнений Юла-Уокера:

где R_XX(0), …, R_XX(p) — оценки автокорреляционной функции. Алгоритм Левинсона-Дарбина обеспечивает эффективное решение приведенной выше системы уравнений.

Работа выполнена по программе гранта РФФИ 05-08-01225-а.

Продолжение следует