Проектирование симметричных полосовых фильтров и развязанных резонансных звеньев

Постановка задачи проектирования полосового фильтра

Задача проектирования полосового фильтра (ПФ) задается, как правило, параметрами амплитудно–частотной характеристики (АЧХ), представленной в обобщенном виде на рис. 1.

Данная АЧХ характеризуется следующими параметрами:

• ω_НП, ω_ВП — соответственно нижняя и верхняя границы полосы пропускания;
• λ — величина допустимой неравномерности АЧХ ПФ в пределах полосы пропускания;
• ω_НЗ, ω_ВЗ — соответственно нижняя и верхняя границы зон задерживания;
• ω₀ — средняя частота полосы пропускания;
• К_НЗ, К_ВЗ — соответственно нижнее и верхнее значение коэффициента передачи в зонах задерживания.

Если величина отношения f_ВП/f_НП<5, то такой ПФ относится к классу узкополосных. Его оптимальная реализация с точки зрения минимально необходимого числа элементов строится в виде каскадного соединения развязанных резонансных звеньев (контуров). Очевидно, что это предопределяет полиномиальный характер реализуемой АЧХ. Такие ПФ называют симметричными полосовыми фильтрами (СПФ). Симметричность АЧХ в данном случае подразумевается в геометрическом смысле и определяется выполнением следующих условий:

		(1)
	КНЗ = КВЗ.	(2)

Простейшим СПФ является резонансное звено 2–го порядка, передаточная функция которого имеет вид:

(3)

где М — масштабный множитель (коэффициент плоского усиления); d — затухание, величина, обратная добротности резонансного контура:

Здесь ширина полосы пропускания (f_ВП−f_НП) определяется по уровню 0,707 (−3 дБ).

Решение задачи аппроксимации — определение параметров передаточной функции — производят через ФНЧ–прототип. Для этого передаточную функцию ПФ преобразуют с помощью реактансного (частотного) преобразования в передаточную функцию ФНЧ–прототипа. Покажем этот переход на примере передаточной функции одиночного резонансного контура. Для этого разделим числитель и знаменатель выражения (3) на числитель, в результате чего получим:

(5)

Введем в рассмотрение новую переменную, называемую относительной расстройкой:

Данное выражение и описывает реактансное, или частотное преобразование.

В результате такого перехода к новой переменной передаточная функция резонансного конура второго порядка (5) преобразуется в передаточную функцию ФНЧ–прототипа первого порядка:

Таким образом, формально решение задачи проектирования СПФ в виде каскадного соединения развязанных резонансных контуров сводится на первом этапе к определению порядка передаточной функции ФНЧ–прототипа, что с учетом билинейного характера частотного преобразования (6) определяет требуемое число резонансных контуров, а также добротностей и частот настроек контуров. На втором этапе реализации осуществляется выбор схемы резонансного звена и рассчитываются по соответствующим методикам величины его элементов.

Рассмотрим методику решения первой задачи, ограничиваясь полиномиальными АЧХ чебышевского и баттервортовского типов. Полиномиальные АЧХ характеризуются монотонным характером спада за пределами полосы пропускания. В пределах полосы пропускания чебышевская АЧХ имеет равноволновый колебательный характер, а баттервортовская — монотонный.

Порядок расчета чебышевского СПФ

Порядок расчета СПФ, заданного параметрами АЧХ (рис. 1), может быть представлен в виде следующего вычислительного алгоритма.

1. Производится симметризация (в геометрическом смысле) заданных граничных частот АЧХ из условия выполнения соотношения (1).
   Примечание. Если строго задана центральная частота и ширина полосы пропускания, то одна из границ полосы уточняется в соответствии с равенством (1). Если же строго задана только ширина полосы пропускания, то точно вычисляется значение центральной частоты, и при выбранном значении ω_HЗ или ω_ВЗ вычисляется другая частота границ зон задерживания. Как правило, за исходное значение принимается ω_ВЗ. Тогда:

   ωHЗ = ω02/ωВЗ.

   (8)

2. Осуществляется переход к параметрам АЧХ ФНЧ–прототипа на основе частотного преобразования (1):
   

   	YВП = (ωВП/ω0)−(ω0/ωВП).	(9)
   	YВЗ = (ωВЗ/ω0)−(ω0/ωВЗ).	(10)

   Очевидно, что при этом преобразовании будет выполняться следующее условие:

   YВЗ = (ωВЗ/ω0)−(ω0/ωВЗ) = −YНЗ = = (ωHЗ/ω0)−(ω0/ωHЗ).

   (11)

3. Осуществляется переход к нормированной частоте АЧХ ФНЧ–прототипа:
   

   Ω = Y/YВП.

   (12)

   При этом получим:

   ΩВП = YВП/YВП = 1, ΩВЗ = YВЗ/YВП.

   (13)

4. Определяется порядок ФНЧ–прототипа — количество необходимых резонансных контуров. Фактически здесь определяется порядок полинома Чебышева, использующегося для аппроксимации АЧХ ФНЧ–прототипа.
   

   (14)

   Знак неравенства в данном выражении предполагает округление получаемой величины до ближайшего большего целого числа. Очевидно, что такое округление предопределяет образование некоторого «запаса» по величине К_ВЗ или Ω_ВЗ по сравнению с исходно заданными значениями.
   Примечание. Если выполняются условия: К_ВЗ² << 1; λ << 1, то можно вместо (14) воспользоваться упрощенной формулой:

   (15)

   Возникающая при этом ошибка не превышает 0,6% даже при К_ВЗ = 0,3 и λ = 0,3.

5. Уточняется величина К_ВЗ вследствие округления n:
   

   (16)

   Примечание. Уточнение величины К_ВЗ предполагает сохранение неизменными величин λ и Ω_ВЗ. Но если неизменными величинами считать λ и К_ВЗ, то уточнять следует величину Ω_ВЗ. Для этого необходимо решить уравнение:

   ΩВЗ = (α2+1)/2α; где α = (((1/KВЗ2)−1)/(0,5×λ))2n.

   (17)

6. Определяется число звеньев ФНЧ–прототипа:
   Примечание. Звено первого порядка ФНЧ–прототипа соответствует одиночному резонансному контуру СПФ, настроенному на частоту ω₀. Звено второго порядка ФНЧ–прототипа соответствует двум резонансным контурам СПФ с одинаковой добротностью, симметрично расстроенным влево и вправо относительно ω₀.
7. Определяются параметры звеньев второго порядка ФНЧ–прототипа:
   

   	dq = 2Dsin(ψq),	(18)
   	Aq = B2cos2(ψq)+D2sin2(ψq),	(19)
   	B = 0,5(E+1/E), D = 0,5(E−1/E),	(20)
   		(21)
   	ψq = (π/2n)×[1+2(k−1)], k = 1, 2, … 2n.	(22)

   Фактически значения углов ψ_q определяются только для первого квадранта.
   Примечание. Если выполняется условие λ << 1, тогда вместо (21) можно воспользоваться упрощенной формулой:

   (23)

   Возникающая при таком упрощении ошибка может быть оценена следующими примерами:

   • при λ = 0,1−δE = 0,1%;
   • при λ = 0,3−δE = 0,5%.
8. Определяются параметры (частоты настроек и добротность) двух симметрично расстроенных резонансных контуров СПФ, соответствующих звену второго порядка ФНЧ–прототипа.
   Значение добротности определяется следующим выражением:
   

   (24)

   Частоты настроек определяются согласно

   	ωpq′= Xqω0, ωpq′= ω0/Xq,	(25)
   		(26)

9. Определяются параметры резонансного контура, соответствующего звену первого порядка ФНЧ–прототипа. Частота настройки этого контура равна центральной частоте СПФ — ω₀, а его добротность определяется соотношением:
   

   QS = 1/(D×YВП).

   (27)

   Примечание. Если проектируемый СПФ является узкополосным, то есть если выполняется условие

   ω_ВП/ω_НП ≤ 1,2…1,25,

   тогда при расчете добротности и частот настроек пары расстроенных контуров вместо формул (24) и (26) можно использовать упрощенные выражения:

   	Qq = (Xq/YВП)×(1/(Dsin(ψq));	(28)
   	Xq = 1+0,5YВПBcos(ψq).	(29)

Порядок расчета баттервортовского СПФ

Расчет баттервортовского СПФ, АЧХ которого имеет монотонный характер в пределах полосы пропускания, в целом аналогичен рассмотренному выше. Отличие обусловлено лишь двумя обстоятельствами. Во–первых, решение задачи аппроксимации основано на применении полиномов Баттерворта. Поэтому порядок фильтра определяется иным выражением. Во–вторых, АЧХ баттервортовского ФНЧ–прототипа формально имеет неизменную величину неравномерности в полосе пропускания −3 дБ. Тем не менее, СПФ с баттервортовской АЧХ можно рассчитать для произвольного значения неравномерности. Все это отражено в приводимом далее порядке расчета, который основан на задании параметров АЧХ СПФ в виде рис. 1.

1. В соответствии с (1) производится симметризация частотных параметров:
   

   (30)

   Здесь введены две частоты, определяющие границы полосы пропускания для произвольного значения неравномерности λ (помечены значком *). Частоты ω_НП и ω_ВП определены для неравномерности −3 дБ (λ = 0,293).

2. Переход к параметрам АЧХ ФНЧ–прототипа осуществляется аналогично предыдущему, за тем исключением, что в данном случае вычисляем
   

   YВП* = (ωВП*/ω0)−(ω0/ωВП*).

   (31)

   Далее — по формулам (10), (13).

3. Определение порядка ФНЧ–прототипа (числа резонансных контуров) производится в данном случае по следующей формуле:
   

   (32)

   Здесь также знак неравенства предполагает округление до ближайшего большего целого числа.

4. Уточнение величины К_ВЗ вследствие округления n:
   

   (33)

Дальнейший порядок расчета полностью соответствует приведенному выше чебышевскому варианту СПФ: пункты 6, 7, 8, 9 сохраняются полностью с одним уточнением, связанным с необходимостью для данных пунктов вычисления значения Y_ВП для λ = 0,293 (−3 дБ) в соответствии с выражением:

(34)

Резонансные ARC–звенья и их расчет

В результате расчета по приведенной выше методике определено требуемое число резонансных контуров и их параметры: добротности и частоты настроек. Иными словами, полностью определена структура СПФ в виде рис. 2.

При каскадировании следует располагать звенья в порядке нарастания величины их добротности.

Вторым этапом проектирования СПФ является выбор схемы резонансного звена и расчет величин его элементов по заданным значениям добротности и частоты настройки.

Резонансные ARC–звенья подразделяются на низкодобротные (Q < 5), среднедобротные (Q < 20) и высокодобротные (Q > 20). Количество схемотехнических решений резонансных звеньев достаточно велико и насчитывает много десятков известных вариантов, построенных по различной идеологии [1–3]. В рамках данной работы ограничимся лишь несколькими примерами практических схем звеньев.

Низкодобротное резонансное звено на ОУ с отрицательной обратной связью [3]

Схема звена приведена на рис. 3.

Коэффициент передачи звена имеет вид, аналогичный выражению (3):

(35)

Для случая равноемкостного варианта схемы С1 = С2 = С основные параметры звена определяются следующими соотношениями:

• частота настройки:
  

  (36)

• добротность:
  

  (37)

• масштабный множитель (коэффициент плоского усиления):
  

  M = R2/(R1+R2)×2Q2 = (r/R1)×2Q2.

  (38)

В этих выражениях

Отметим, что величина плоского усиления в данной схеме прямо пропорциональна квадрату добротности.

Расчет схемы сводится к определению величин элементов по заданным значениям Q, M и ω₀ = 2πf₀.

Методика расчета в предположении идеальности ОУ состоит в следующем.

1. Из конструктивных и технологических соображений выбираем величину емкости С.
2. На основе выражения (36) вычисляем вспомогательную величину α:
   

   (40)

   Затем вычисляем:

   	R3 = 2Qα,	(41)
   	r = α/Q.	(42)

3. Вычисляем:
   

   	R1 = (r/M)×2Q,	(43)
   	R2 = (R1×r)/(R1−r).	(44)

Замечание: при неудачном выборе величины С последнее выражение может дать отрицательную величину сопротивления R₂. В этом случае следует вернуться на шаг № 1 и выбрать другое значение С.

Резонансное звено на основе обобщенного конвертора импеданса

Схема звена, приведенная на рис. 4, позволяет реализовать резонансную характеристику с добротностью от единиц до двух сотен в диапазоне частот до 1 МГц в зависимости от типа используемых ОУ[4].

Передаточная функция звена имеет вид (3), где:

• масштабный множитель (коэффициент плоского усиления):
  

  M = 1+(R1/RH);

  (45)

• частота настройки (резонанса):
  

  (46)

• добротность:
  

  (47)

Поскольку частота настройки не зависит от R, изменяя его, можно изменять добротность при сохранении неизменными значений частоты.

Порядок расчета звена в предположении идеальности ОУ состоит в следующем.

Задано: M, Q, ω₀. Полагаем С₃ = С — равноемкостный вариант.

1. Вычисляем вспомогательный параметр β:
   

   β = M−1.

   (48)

2. Вычисляем оценочную величину резистора R₂:
   

   R2 = 1/(ω0×C).

   (49)

   Полученное значение округляем до ближайшего удобного номинала из ряда.

3. Рассчитываем вспомогательную величину r:
   

   r = √β/(ω0×C).

   (50)

4. Вычисляем:
   

   	R4 = r2/R2,	(51)
   	R = Q(r/√β).	(52)

5. Резисторы R₁ и R_н входят в выражения (45–47) своим отношением. Поэтому далее выбираем R₁ из ряда номиналов величиной, близкой к величине R₂, и затем определяем R:
   

   Rн = R1/β.

   (53)

Универсальное звено второго порядка

Другой схемой высокодобротного резонансного звена является универсальное звено второго порядка, реализованного на основании метода аналогового моделирования (рис. 5)[1].

Данная схема в зависимости от точки съема выходного сигнала реализует передаточную функцию резонансного контура (ВЫХ ПФ) или два варианта передаточной функции ФНЧ второго порядка (соответственно ВЫХ НЧ1 и ВЫХ НЧ2), которые различаются видом коэффициента числителя передаточной функции. Реализуемые звеном передаточные функции имеют соответственно следующий вид:

где:

• P(jω) = 1+j(ω/ω₀)×d−(ω²/ω₀²) (57) — полином знаменателя второго порядка;
• ω₀ = 1/RC (58) — частота настройки звена (для ПФ — это частота резонанса);
• d = R/R₆ = 1/Q (59) — затухание звена, величина, обратная добротности.

Частота настройки и затухание определены при условии равнономинальности:

• C₁ = C₂ = C;
• R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = R₅ = R;
• масштабный множитель ПФ — M₁ = R₆/R₃; (60)
• масштабный множитель ФНЧ–1 — M₂ = (R₁×R₄)/(R₃×R₅); (61)
• масштабный множитель ФНЧ–2 — M₃ = R₁/R₃. (62)

Порядок расчета звена ПФ для данной схемы сводится к следующей процедуре:

• задано М, Q, ω₀ = 2πf₀;
• выбираем из конструктивных и/или технологических соображений величину емкости конденсатора С (желательно из ряда номиналов);
• вычисляем на основе (58) величину R:
  

  R = 1/2πf0C;

  (63)

• на основе (59) вычисляем величину сопротивления R₆:
  

  R6 = R×Q;

  (64)

• на основе (60) вычисляем R₃:
  

  R3 = R6/M = R(Q/M).

  (65)

Примечание. Универсальные звенья рассмотренного типа в настоящее время выпускаются в виде микросхем рядом фирм, производящих микросхемы. Примером могут служит микросхемы фирмы MAXIM MAX274, MAX275. Микросхема МАХ274 содержит в одном корпусе два звена второго порядка, каждое из которых позволяет реализовать звено ФНЧ–2 или резонансное звено ПФ–2. Микросхема МАХ275 содержит в одном корпусе четыре таких универсальных звена.

Подробную информацию об этих и других микросхемах активных фильтров можно найти на сайте данной фирмы [5].

Активное LCR–звено резонансного контура второго порядка

При реализации СПФ, предназначенного для работы в области достаточно высоких частот — сотни килогерц, единицы мегагерц, требующих к тому же больших значений добротности составляющих резонансных контуров, вполне допустимо применение катушек индуктивности. Для таких частот современная промышленность выпускает широкий ассортимент готовых индуктивных компонентов с весьма высокими показателями, малыми габаритами (выпускаются даже катушки для поверхностного монтажа) и относительно низкой стоимостью.

Простейшим примером реализации резонансного контура в этом случае может служить схема, приведенная на рис. 6.

Передаточная функция данного звена имеет вид (3).

Частота настройки определяется параметрами LC–резонансного контура:

(66)

Добротность резонансного контура есть отношение сопротивления R₁ и характеристического сопротивления ρ:

(67)

Усилитель на ОУ выполняет роль буферного усилителя для обеспечения развязки при каскадном включении таких звеньев. Кроме того, он может использоваться как масштабный усилитель, причем результирующий коэффициент усиления фильтра в целом можно распределить между всеми входящими в фильтр усилительными фрагментами.

Коэффициент усиления отдельного усилителя в звене и, следовательно, масштабный множитель данного звена не влияет ни на частоту настройки, ни на добротность и определяется простым соотношением:

Заключение

Предложенная в статье методика, основанная на развитии идей, заложенных в работе[6], представляет собой хорошо алгоритмизированную последовательность простых вычислений. Вычислительная процедура легко реализуется в пакете «MathCAD» и позволяет определять с высокой точностью основные параметры резонансных контуров (частоты настроек и добротности) практически для любого порядка СПФ с полиномиальными АЧХ. Ограничения налагаются только на величину максимальной добротности требуемого резонансного контура, поскольку это определяется реализационными возможностями выбираемой схемотехники.

В приложении 1 приведен пример расчета чебышевского СПФ 6–го порядка, реализованный в пакете «MathCAD 2001», который можно найти на сайте журнала http://www.kite.ru/assets/rasschetChebyshevsky.mcd.

Приведенные примеры реализации резонансных контуров сопровождены методиками расчета элементов схем по вычисленным добротностям и частотам настроек контуров. При этом выбор схемы и изначально задаваемых величин элементов схем может быть произвольным, что позволяет при многовариантном расчете получить наиболее оптимальную реализацию в смысле соотношения величин элементов и их абсолютных значений.

Литература

1. Хейнлейн В. Е., Холмс В. Х. Активные фильтры для интегральных схем. М.: Связь, 1980.
2. Справочник по расчету и проектированию ARCсхем / Под ред. проф. А. А. Ланнэ. М.: Радио и связь, 1984.
3. Мошитц Г., Хорн П. Проектирование активных фильтров. М.: Мир, 1984.
4. Коротков А. С., Михалев П. Г. А. с. 1385260 (СССР). Полосовой активный RC–фильтр // БИ. 1988. № 12.
5. www.maxim-ic.com
6. Славский Г. Н. Активные RC– и RCL–фильтры и избирательные усилители. М.: Связь, 1966.