Проектирование кварцевых резонаторов с улучшенными спектральными характеристиками

Известное уравнение «захвата энергии» [1], как это следует из [2], справедливо для изотропной модели: бесконечно длинный электрод в виде полосы шириной 2а на бесконечно большой плоской пластине позволяет найти значение резонансной частоты вида f_n10 — основного рабочего колебания. Система координат: ось Х направлена поперек электрода, ось Y нормальна поверхностям пластины, ось Z вдоль длины электрода. Общее уравнение «захвата энергии» для той же модели позволяет найти резонансные частоты вида f_nm0, включающие как основное колебание, так и ближайшие к основному нежелательные колебания, частота которых находится в диапазоне захвата — между двумя граничными частотами. Под граничными частотами понимаются частоты бесконечно больших плоских пластин: покрытой бесконечно большим электродом (f_гр1) и пластины без электрода (f_гр2). Разность граничных частот определяется толщиной электрода. Общее уравнение «захвата энергии» получено с помощью коэффициента отражения волны на краю электрода. Особенностью захваченных резонансных частот является их распространение в направлении ширины электрода: под электродом без затухания, за электродом экспоненциальное затухание, не связанное с потерями энергии. Коэффициент отражения на краю электрода R₁₂ в этой модели имеет вид:

R₁₂ = expi(π–2Ψ),                   (1)

Ψ = arctg(K_x2/K_x1),                  (2)

где K_x1, K_x2 — компоненты волнового вектора под электродом (K_x1), за электродом (K_x2).

Общее уравнение «захвата энергии»:

аК_х1 = 0,5π(m–1)+Ψ,             (3)

где m = 1, 2, 3…

Решения уравнения (3) возможны только в диапазоне захвата. На резонансной частоте f_nm0 возникает стоячая волна в направлении толщины и ширины электродной области. Индексы n, m, 0 говорят о количестве полуволн в направлении толщины пластины и ширины электрода и об отсутствии стоячей волны в направлении его длины. В рассмотренной модели волна, распространяясь под электродом, отражается на краю электрода, и, поскольку пластина бесконечно велика, других отражений нет. Для ограниченной пластины меняются условия отражения волны на краю электрода.

Другая модель: бесконечно длинный электрод шириной 2а на бесконечно длинной плоской пластине шириной 2r. В этой модели, как и в предыдущей, рассматривается диапазон частот между граничными частотами. Теперь волна отражается на краю электрода и на краю пластины. Пусть коэффициент отражения на краю пластины равен 1. Тогда с учетом этого отражения коэффициент отражения на краю электрода примет вид:

R₁₂ = [expi(π–2Ψ)+A]/[1+Aexpi(π–2Ψ)],               (4)

А = exp[–2(r–a)|K_x2|],              (5)

где |K_x2| = √K²_y2–K²; К_у = nπ/S; n = 1, 3, 5… — порядок колебания; S — толщина пластины.

Выражение (4) комплексная величина, его модуль равен 1, а фаза θ имеет вид:

Условие резонанса в этой модели запишется в виде уравнения:

аК_х1 = mπ/2–θ/2.                  (7)

Для решения уравнения (7) надо предварительно решить уравнение (3) и, используя результаты решения — резонансную частоту f_nm0 и Ψ, — найти значение А и θ (выражения (5), (6)). Из выражения (5) следует, что величина А, которая характеризует степень влияния края пластины, может меняться в пределах 0–1; а из выражения (6) вытекает, что изменения θ возможны соответственно от θ = π–2Ψ до 0. Если А мало и стремится к 0, то при достаточно малом А фаза θ ≈ π–2Ψ, а если А равно 0, то фаза θ = π–2Ψ и уравнение (7) совпадает с общим уравнением захвата энергии (3), то есть уравнение (3) — это частный случай уравнения (7). В общем случае результаты решения уравнения (7) зависят от величины А и уточняют предварительные значения резонансной частоты, полученные для бесконечно большой пластины. Чтобы понять, от каких параметров пьезоэлемента зависит величина А, преобразуем показатель выражения (5) к виду:

где N — частотный коэффициент.

Чем больше |lnA|, тем меньше величина А, и чем меньше величина А, тем ближе должны быть результаты решения уравнений (3) и (7). Из (8) следует, что увеличение разности (r–a) и разности квадратов частот увеличивает значение |lnA| и уменьшает величину А. Для одного типа колебания (при одном m) резонансная частота зависит от толщины и размера электрода. В таблицах 1–3 по результатам решения уравнения (3) для бесконечно большой пластины при f_гр1 = 10 МГц представлены разности частот f_гр2 и резонансных частот f₁₁₀, f₁₂₀, f₁₃₀ в зависимости от ширины электрода и его толщины, то есть разности граничных частот.

В таблице 3 при ширине электрода 2 мм и разности граничных частот 100 кГц отсутствует решение, и это закономерно, так как не выполняется условие захвата колебания f₁₃₀. Захваченное колебание этого типа может появиться только при разности граничных частот не менее 139 кГц, и действительно, оно существует (табл. 3) при разности граничных частот 150 кГц и 200 кГц.

Из результатов, приведенных в таблицах 1–3, следует, что в случае бесконечно большой пластины увеличение разности граничных частот для одного типа колебания и одного размера электрода увеличивает разность верхней граничной частоты и резонансной частоты, а следовательно, и разность квадратов этих частот. Увеличение размера электрода для колебания одного типа и одной разности граничных частот тоже увеличивает разность квадратов частот. Для колебаний с разным значением индекса m увеличение m ведет к уменьшению разности квадратов частот — верхней граничной частоты и соответствующей резонансной частоты. Эти простые закономерности для ограниченной пластины при изменении параметров пьезоэлемента носят более сложный характер. Увеличение размера электрода при постоянной ширине пластины и разности граничных частот может приводить как к уменьшению, так и к увеличению А. Подобная неоднозначность вызвана тем, что при постоянной ширине пластины увеличение электрода хотя и увеличивает разность квадратов частот, но одновременно уменьшает расстояние между краями электрода и пластины. Для разных типов колебаний увеличение электрода при постоянной разности граничных частот может изменять величину А разнонаправленно — уменьшая у одного типа и увеличивая у другого. В таблицах 4–6 для тех же значений разностей граничных частот и размеров электрода, что и в таблицах 1–3, приведены значения А для пластины шириной 6 мм. При расчете использованы данные таблиц 1–3.

Из значений А, приведенных в таблицах 4–6, следует, что величина А сильно зависит от типа волны — индекса m, увеличиваясь с его увеличением. Увеличение толщины электрода (разности граничных частот) при постоянном размере электрода приводит к уменьшению величины А. Увеличение ширины электрода изменяет величину А как в сторону уменьшения, так и увеличения. Уменьшение величины А должно сближать результаты решения уравнений (3) и (7) вплоть до их совпадения. В таблицах 4–6 для колебаний разного типа представлен широкий диапазон значений А. Для основного колебания f₁₁₀ (табл. 4) наибольшее значение А = 0,005632. Для первого нежелательного колебания f₁₂₀ (табл. 5) наибольшее значение А = 0,00944. Для колебания f₁₃₀ (табл. 6) самый широкий диапазон значений А и наибольшее значение А = 0,2212. Сравнение результатов решения уравнений (3) и (7) нашего примера дало для всех значений А, приведенных в таблице 4, для основного колебания практическое совпадение значений частоты. Отметим, что для этого типа колебания в рассмотренных примерах значения А не превышали 0,005632. В таблицах 7 и 8 приведены для нежелательных колебаний f₁₂₀ и f₁₃₀ значения разностей этих частот и нижней граничной частоты (10 МГц), полученные при решении уравнений (3) и (7) для различных значений разности граничных частот и ширины электрода. Первое значение соответствует уравнению (3) для бесконечно большой пластины, а второе — уравнению (7) для ограниченной пластины шириной 6 мм. Приведенные результаты позволяют оценить величину А, при которой решения уравнений (3) и (7) становятся практически одинаковыми, и понять, влияет ли величина А на условие захвата колебаний [2] в виде (9) для ограниченной пластины

где Δf — разность граничных частот.

В таблицах 7 и 8 результаты решений уравнений (3) и (7) совпадают при значениях А ≤ 0,005632, а при А > 0,005632 расходятся. Отсутствие решения уравнения (3) в таблице 8 связано с нарушением условия захвата f₁₃₀. Нет решений уравнения (7) при различных значениях А (табл. 7, 8), как больших, так и меньших А = 0,005632, даже в тех случаях, когда выполняются условия захвата колебания f_nm0, полученные для бесконечно большой пластины.

Особенно показательно отсутствие решений уравнения (7) для f₁₃₀ (табл. 8) при ширине электрода 2 мм и разностях граничных частот 150 кГц – 300 кГц, для которых в случае бесконечно большой пластины условием захвата является разность граничных частот 139 кГц и для которых значения А в зависимости от разности граничных частот меняются от 0,2212 при разности граничных частот 150 кГц до А = 0,00001795 при разности граничных частот 300 кГц.

Отсутствие решений уравнения (7) для ограниченной пластины в таблицах 7, 8 для электродов разной ширины и разностей граничных частот при значениях А как больших, так и меньших 0,005632 можно трактовать как отсутствие захвата соответствующих колебаний, хотя условие захвата (9), полученное для бесконечно большой пластины, выполняется. Это дает основание для пересмотра условий захвата в случае ограниченной пластины, вне зависимости от величины А. В качестве нового критерия захвата колебания f_nm0 предлагается выражение:

В этом уравнении (10) разность граничных частот, необходимая для захвата f₁₃₀, при ширине электрода 2 мм составляет 434 кГц. И становится понятно отсутствие этого колебания при меньших разностях граничных частот. Для разности граничных частот большей величины, например 450 кГц, решение появляется. Аналогично объясняется отсутствие решений (табл. 8) и для других значений ширины электрода: для ширины 3 мм разность граничных частот должна быть более 192 кГц, для ширины 4 мм разность должна быть более 108,4 кГц. Так же объясняется отсутствие решений в таблице 7 для f₁₂₀ в случае ширины электрода 2 мм и разностях граничных частот 100 и 150 кГц. Необходимая для захвата колебания f₁₂₀ разность граничных частот в этом случае превышает 156 кГц. Выражение (10) позволяет сформулировать условие отсутствия захваченных нежелательных колебаний для ограниченной пластины (11) как условие отсутствия колебания f_n20:

∆f ≤ 2,25(s/2an)²f_гр1.                (11)

Сравнение условий отсутствия захвата нежелательных колебаний для ограниченной и бесконечно большой пластины показывает, что разность граничных частот для ограниченной пластины в 4,5 раза больше, чем для бесконечно большой пластины. Для произвольного значения m отношение разностей граничных частот, необходимых для захвата f_nm0, может быть получено как отношение выражений (10) и (9), и оно зависит только от m (12), уменьшаясь с увеличением m:

Δf₂/Δf₁ = 2[(m–0,5)/(m–1)]²,      (12)

где Δf₁ — разность граничных частот для бесконечно большой пластины; Δf₂ — разность граничных частот для ограниченной пластины.

Из (10) также следует, что для захвата основного рабочего колебания для ограниченной пластины требуется некоторая минимальная разность граничных частот и для малых размеров электрода она вполне ощутима. Например, для электрода 1 мм и при частоте 10 МГц она равна 69,4 кГц, а в случае бесконечно большой пластины наличие электрода любой сколь угодно малой толщины и размера гарантировало его захват.

В результате проведенной работы для изотропной модели — бесконечно длинный электрод на бесконечно длинной плоской пластине с помощью коэффициента отражения — получены:

• уравнение «захвата энергии» для ограниченной пластины (7), частным случаем которого является уравнение захвата на бесконечно большой пластине (3);
• выражения (5), (6) и (8), которые определяют степень влияния края пластины на результаты решения уравнения (7) в зависимости от параметров пьезоэлемента;
• оценка наибольшей величины А (0,005632), при которой решения уравнений (3) и (7) практически совпадают (табл. 4–8);
• непригодность условия захвата, полученного для бесконечно большой пластины, в случае ограниченной пластины (табл. 7, 8);
• предложено условие захвата колебания f_nm0 (10) для ограниченной пластины, не зависящего от величины А;
• условие отсутствия захваченных нежелательных колебаний (11) для ограниченной пластины;
• отношение разностей граничных частот, необходимых для захвата колебания f_nm0, для ограниченной и бесконечно большой пластины (12).

Результаты работы будут полезны при разработке конструкции, технологии и производстве кварцевых резонаторов с улучшенными спектральными характеристиками.