Построение фильтровых устройств на ARC-звеньях третьего порядка

Введение

Применение ARC-элементного базиса во многих случаях ограничивается невысокими частотными и динамическими свойствами активных элементов и неоптимальной топологией ARC-звеньев. В работе [1] доказано, что на двух активных элементах можно построить ARC-звенья, обладающие потенциальными возможностями значительного снижения чувствительности передаточных функций к отклонениям параметров звена, что позволит достичь расширения частотного и динамического диапазонов.

При построении сложных фильтровых устройств на основе оптимальных звеньев второго порядка необходимо большее число активных элементов, а следовательно, и увеличение потребляемой энергии. Поэтому в работе [5] доказаны преимущества каскадной реализации сложных фильтровых устройств на ARC-звеньях третьего порядка.

Там же получены новые Z-полиномы с рав-новолновой аппроксимацией постоянной АЧХ в виде множителей третьего порядка. Однако применение равноволновой аппроксимации не позволяет достичь минимальной неравномерности группового времени запаздывания (ГВЗ). В работе [6] установлено, что наименьшей неравномерностью ГВЗ обладают инверсные полиномы Чебышева, поэтому возникает необходимость построения Z-полиномов с плоской АЧХ в полосе пропускания и с нулями в полосе задерживания.

Целью статьи является осуществление наилучшей аппроксимации частотных характеристик по неравномерности группового времени запаздывания, разработка оптимальных ARC-звеньев третьего порядка с нулями передачи и методики расчета их параметров для фильтровых устройств с расширенным частотным и динамическим диапазонами.

Построение передаточных функций в виде множителей третьего порядка с наименьшей неравномерностью группового времени запаздывания

Для того чтобы построить фильтр на основе каскадного соединения звеньев третьего порядка, необходимо вначале требуемую характеристику аппроксимировать физически реализуемой функцией в виде множителей третьего порядка:

где p = jω — комплексный оператор; М — постоянный множитель; ω_Ζί — частота нуля; а_ji — коэффициенты аппроксимирующих полиномов; m — число множителей третьего порядка.

Задача аппроксимации сводится в этом случае к определению коэффициентов передаточной функции (1) по заданным требованиям к частотным характеристикам фильтра.

Классических методов решения задачи аппроксимации в виде множителей третьего порядка не существует. В работе [5] решена задача равноволновой аппроксимации с использованием минимаксного критерия близости:

где ω ∈ 0… 1 — нормированная частота;

= {A_0i, A_1i, A_2i} — вектор варьируемых параметров; δ_н — допустимая величина неравномерности. Задача (2) решена в [5], где приведены значения коэффициентов аппроксимирующих Z-полиномов при n = 3, 6, 9, 12 для различных величин неравномерности характеристики затухания. Для осуществления максимально плоской аппроксимации с нулями передачи воспользуемся преобразованием полученных в [5] результатов на основе следующего выражения:

где Σ_i, Ω_i — вещественная и мнимая части корней инверсных Z-полиномов, К_П — коэффициент прямоугольности; Σ_i, ω_i — вещественная и мнимая части корней Z-полиномов; γ — число, учитывающее неравномерность характеристики затухания.

В результате расчетов по формуле (3) получены инверсные Z-полиномы, коэффициенты которых приведены в таблице 1 для аппроксимирующих функций в виде произведения звеньев второго и первого порядков:

где b_1i, b_0i, b — коэффициенты аппроксимирующих полиномов; m — количество звеньев третьего порядка.

Коэффициенты множителей получены из (3) на основе равенств:

При необходимости коэффициенты множителей третьего порядка можно найти по формулам a_2i=(b+b_1i), a_1i=(bb_1i+b_0i), a_0i=(b*b_0i). По заданным требованиям к граничным частотам затухания f_æ→a_max, f_k→a_min определяется соответствующий коэффициент прямоугольности К_П = f_k//f_æи по таблице 1 выбираются соответствующие значения коэффициентов. Например, для f_æ= 120 кГц, f_k = 209 кГц, a_max = 3 дБ, a_max = 50 дБ находим К_П = 1,72, и порядок функции n = 6. Далее записываем передаточную функцию в виде множителей третьего порядка (4.1).

В работе определены требуемые порядки классических аппроксимирующих полиномов и инверсных Z-полиномов и вычислено групповое время запаздывания. На рис. 1 представлены частотная зависимость группового времени запаздывания в полосе нормированных значений частот для различных аппроксимаций и заданных требований.

Рис. 1. Частотная зависимость группового времени запаздывания в полосе нормированных значений частот

На графиках видно, что инверсные Z-полиномы дают наименьшую неравномерность группового времени запаздывания в полосе пропускания. Поэтому можно сделать вывод, что наиболее целесообразно с точки зрения устойчивости и неравномерности ГВЗ выбрать для построения передаточных функций фильтровых устройств инверсные Z-полиномы.

В соответствии с денормированием посредством подстановки Λ = ρ/ω_κ для приведенных требований к характеристикам фильтра получим (5).

Результаты вычисления характеристики по выражению (5) представлены на рис. 2, по этим результатам видно, что требования к характеристике затухания выполняются.

Рис. 2. Частотная характеристика затухания ФНЧ, построенного с использованием инверсных Z-полиномов

В тех случаях, когда требуется построение фильтра верхних частот по коэффициенту прямоугольности К_П = fk/4, определяются коэффициенты аппроксимирующих полиномов фильтра нижних частот для такого же коэффициента прямоугольности и производится денормирование посредством замены комплексного оператора Λ = ω_κ/ρ.

Реализация фильтровых устройств на ARC-звеньях третьего порядка

Для реализации ARC-звеньев третьего порядка предлагается метод раздельного формирования коэффициентов RC-ветвями [5] модифицированного моста третьего порядка (рис. 3).

Рис. 3. Модифицированный мост третьего порядка

Применение простой RC-цепи третьего порядка (число емкостей равно трем) не позволяет минимизировать до предельно низких значений чувствительности передаточных функций к отклонениям параметров элементов [5], поэтому используется RC-цепь с мостами третьего и второго порядков.

В работах [1, 5] доказано, что для минимизации функций чувствительности в пространстве структур необходимо использование последовательной пары усилителей (рис. 4а) или пары с общим входом (рис. 4б).

Рис. 4. а) Последовательная пара усилителей; б) пара усилителей с общим входом

В рамках таких структур имеется возможность построения оптимальных топологий звеньев, обеспечивающих минимизацию функций чувствительности.

Схемы описываются передаточной функцией:

где δ(ρ) — определитель пассивной части, F₀(p) — сумма передач от входа цепи к входам усилителей, F₁ (p) — сумма передач путей обратной связи с выхода на вход первого усилителя, F₂(p) — сумма передач путей обратной связи с выхода на вход второго усилителя. Минимизация функций чувствительности Г_i = S_Ki^H(jω)осуществляется путем минимизации разности |δ(jω)-K₁F₁(jω)| и выбором коэффициента усиления К₂→∞. Схема звена ФНЧ формируется на основе RC-моста третьего порядка, а звена ФВЧ — на основе замены G_i↔C_i. В таблице 2 представлены звенья третьего порядка, обеспечивающие требуемые характеристики и функции чувствительности maxГ₁(ω)+maxГ₂(ω)≤ 2 и соответствующие им соотношения для расчета параметров элементов.

В работе [5] доказана связь частотного и динамического диапазонов с функциями чувствительности передаточных функций к отклонениям параметров усилителей (Г,) и определены расчетные соотношения для параметров элементов, обеспечивающие минимизацию этой чувствительности.

Результаты расчета параметров элементов для выдвинутых требований к ФНЧ в нормированном виде представлены в таблице 3.

Таблица 3. Результаты расчета параметров элементов ФНЧ в нормированном виде

После проведения денормирования и замены расчетных значений параметров номиналов значениями 1% ряда получим ФНЧ шестого порядка, представленный на рис. 5.

Рис. 5. Схема полученного ФНЧ шестого порядка

Результаты анализа характеристики затухания и испытаний по методу Монте-Карло приведены на рис. 6.

Рис. 6. Результаты анализа характеристики затухания ФНЧ шестого порядка по методу Монте-Карло

Из графика следует, что в рабочем диапазоне частот АЧХ мало чувствительна к отклонениям параметров элементов, но при этом заметно смещение нулей АЧХ (или всплесков затуханий).

Особенностью приведенной аппроксимации является возможность обеспечения наименьшей неравномерности группового времени запаздывания, что очень важно при использовании фильтровых устройств для обработки дискретных сигналов.

Результаты анализа группового времени запаздывания фильтра (рис. 5) представлены на рис. 7.

Рис. 7. Результаты анализа группового времени запаздывания ФНЧ шестого порядка

Неравномерность группового времени запаздывания в полосе пропускания составила 4,72 мкс. Экспериментальные результаты совпали с рассчитанными, динамический диапазон составил 85 дБ в диапазоне частот до 1,2 МГц на операционных усилителях АД 482.

Заключение

Таким образом, при проектировании фильтровых устройств с расширенными частотным и динамическим диапазонами, а также с наименьшей неравномерностью группового времени запаздывания целесообразно использовать инверсные Z-полиномы и оптимальную реализацию ARC-звеньев третьего порядка на двух усилителях. 

Литература

1. 3мий Б. Ф. Вопросы оптимальной реализации ARC-звеньев второго порядка. Избирательные системы с обратной связью. Вып. IV. Таганрог: ТРТИ, 1983.
2. Капустян В. И. Проектирование ARC-фильтров высокого порядка. М.: Радио и связь, 1986.
3. Масленников В. В., Сироткин А. П. Избирательные RC-усилители. М.: Радио и связь, 1986.
4. Букашкин С. А., Власов В. П., Змий Б. Ф. и др. Справочник по расчету и проектированию ARC-схем / Под ред. А. А. Ланнэ. М.: Радио и связь, 1984.
5. Змий Б. Ф. Синтез линейных устройств обработки сигналов на активных звеньях высших порядков. Воронеж: ВАИУ, 2008.
6. Антипенский Р. В., Змий Б. Ф. Выбор метода аппроксимации частотных характеристик фильтровых устройств // Компоненты и технологии. 2008. № 10.
7. Мошиц Г., Хорн П. Проектирование активных фильтров / Пер. с англ. М.: Мир, 1984.