Оценка качества линейных динамических систем в среде VisSim и Mathcad

В статье рассматриваются вопросы исследования показателей качества линейных динамических систем [1] в установившемся режиме с использованием программных продуктов VisSim и Mathcad. В качестве примера предложена динамическая система с единичной обратной связью, передаточная функция которой имеет вид:

Передаточная функция динамической системы по ошибке определяется выражением:

Коэффициенты ошибок можно определить, если передаточную функцию (2) динамической системы по ошибке разложить в ряд Тейлора:

где с₀ — коэффициент ошибки по положению; с₁ — коэффициент ошибки по скорости; с₂ — коэффициент ошибки по ускорению; с_i — коэффициент ошибки с более высоким порядком производной.

Вычисление коэффициентов ошибки способом непосредственного дифференцирования передаточной функции по ошибке W_е(s)очень трудоемок и малоэффективен [2]. Поэтому разложение в ряд Тейлора передаточной функции по ошибке W_е(s) проведем с использованием программного продукта Mathcad. Разложение в ряд Тейлора и вычисление ошибок приводится ниже:

Таким образом, поведение ошибки регулирования e(t) во времени при входном сигнале Х(t) может быть представлено рядом:

а на основе проведенного анализа расчета коэффициентов ошибок в среде Mathcad возникающие в следящей динамической системе статические ошибки по положению, скорости и ускорению определяются не столько входным сигналом Х(t), сколько свойствами самой системы (параметрами) — коэффициентами статических ошибок.

Модели замкнутой динамической системы с передаточной функцией (1) в среде VisSim для вычисления коэффициента ошибки по положению с₀, скорости с₁ и ускорению с₂ приведены соответственно на рис. 1–3.

Определение коэффициента ошибки С₀ по положению (рис. 1) производится при входном воздействии (сигнале) X(t) = 1(t). Поэтому в установившемся режиме сигнал ошибки управления равен коэффициенту ошибки по положению e(t) = C₀.

Рис. 1. Определение коэффициента ошибки С0 по положению для замкнутой динамической системы в установившемся режиме

При определении коэффициента ошибки С₁ по скорости (рис. 2) используют входное воздействие (сигнал) X(t) = 1(t)×t. В установившемся режиме сигнал ошибки управления e(t) = C₀×1(t)×t+C1×1(t).

Рис. 2. Определение коэффициента ошибки С1 по скорости для замкнутой динамической системы в установившемся режиме

Поэтому С₁ = e(t)–C₀×1(t)×t.

Коэффициент ошибки по ускорению С₂ (рис. 3) определяют при входном воздействии X(t) = 1(t)×t²/2. В установившемся режиме сигнал ошибки управления e(t) == C₀×1(t)×t²/2+C₁×1(t)×t+C₂×1(t).

Рис. 3. Определение коэффициента ошибки С2 по ускорению для замкнутой динамической системы в установившемся режиме

Тогда С₂ = 2×[e(t)–C₀×1(t)×t²/2–C₁1(t)×t].

На рис. 4 представлен график зависимости коэффициентов ошибки С₀, С₁ и С₂ от коэффициента обратной связи (Kос) замкнутой динамической системы (1).

Рис. 4. Зависимость коэффициентов ошибок от коэффициента обратной связи Kос замкнутой динамической системы:
а) коэффициента ошибки С0 по положению;
б) коэффициента ошибки С1 по скорости;
в) коэффициента ошибки С2 по ускорению

Анализ определения коэффициентов С₀, С₁ и С₂ в среде Mathcad и среде VisSim показал, что различие коэффициентов ничтожное. Различие в определении коэффициента ошибки С₀ по положению составляет 0,068%, коэффициента ошибки С₁ по скорости — 0,13% и коэффициента ошибки С₂ по ускорению — 1,03%.