Моделирование и исследование блоков импульсных автоматических систем в среде MicroCap

Передаточной функцией разомкнутой импульсной системы называется отношение изображений в смысле дискретного преобразования Лапласа выходного и входного импульсных сигналов при нулевых начальных условиях:

W*(p) = Х*_вых(p) E*(p).

Аналогично эта передаточная функция определяется в смысле Z‑преобразования [2]:

W(z) = X_вых(z)/E(z).

Основная задача состоит в том, чтобы определить передаточную функцию W(z) по известной передаточной функции приведенной непрерывной части (ПНЧ) системы W(p). Эту задачу решают в следующей последовательности:

1.  По передаточной функции W(p) в результате применения обратного преобразования Лапласа находят функцию веса ПНЧ:

w(t) = L^–1(W(p)).

2.  По функции веса ПНЧ w(t) определяют аналитическое выражение для соответствующей дискретной функции веса w(nТ).

3.  Искомую передаточную функцию W(z) получают как Z‑преобразование дискретной функции веса ПНЧ:

W(z) = z(w(nT)).

Основная передаточная функция замкнутой импульсной системы позволяет вычислить реакцию замкнутой системы х_вых(пТ) на задающее воздействие х_вх(пТ). Ее определяют, как и в непрерывных системах, в соответствии с уравнением замыкания через дискретную передаточную функцию разомкнутой системы:

Ф(z) = x_вых(z)/x_вх(z) = W(z)/(1+W(z)). (1)

Передаточную функцию замкнутой системы всегда можно представить в виде отношения двух полиномов относительно переменной z:

Ф(z) = (b_kz^k+b_k–1z^k–1+ … b₁z+b₀)/(c_mz^m+c_m–1z^m–1+ … c₁z+c₀).       (2)

Рассмотрим пример определения передаточных функций импульсной системы, структурная схема которой изображена на рис. 1.

Рис. 1. Структурная схема импульсной системы

Аналогично можно получить разностное уравнение разомкнутой системы по передаточной функции W(z).

Передаточная функция ошибки определяется через передаточную функцию разомкнутой системы по формуле:

Ф_ε(z) = E(z)/X_вх(z) = 1/(1+W(z)).     (3)

Зная задающее воздействие и эту передаточную функцию, можно оценить динамическую точность импульсной системы — найти дискретную функцию ошибки e(nТ).

Как видно на рис. 1, в прямой цепи системы имеется простейший импульсный элемент (фиксатор) и непрерывная часть (интегрирующее звено).

Сигнал на выходе фиксатора показан на осциллограмме синего цвета, полученной в среде MicroCap 9 DEMO (рис. 2).

Рис. 2. Осциллограммы входного (пунктир) и выходного сигналов фиксатора

Передаточная функция приведенной непрерывной части имеет вид:

W(p) = X_вых(p)/E*(p) =W_ф(p)W_н(p) = k_v((1–e^–pt)/p²).       (4)

Дискретную передаточную функцию разомкнутой системы находим в соответствии с методикой, изложенной выше:

W(z) = X_вых(z)/E(z) =k_v((z–1)/z)Z[1/p²] = k_vT/(z–1).      (5)

Зная W(z), легко найти основную передаточную функцию замкнутой системы:

Ф(z) = X_вых(z)/X_вх(z) =W(z)/(1+W(z)) = k_vT/(z+(k_vT–1))  (6)

и передаточную функцию ошибки:

Ф_г(z) = E(z)/X_вх(z) = 1/(1+W(z)) = (z–1)/(z+(k_vT–1)).                (7)

Основные показатели качества процессов в импульсных системах такие же, как и в непрерывных автоматических системах: время регулирования t_p, величина перерегулирования s и число перерегулирований n (показатели качества переходного процесса); точность работы систем в установившихся режимах.

Особенности исследования качества импульсных автоматических систем заключаются в следующем. Оценку показателей качества переходного процесса производят по импульсной переходной функции системы h(nТ) — реакции на единичную ступенчатую дискретную функцию Х_вх(nТ) = 1(nТ).

Изображение реакции системы в смысле Z‑преобразования находят по формуле (5):

X_вых(z) = X_вх(z)×Ф(z).

Так как изображение единичной дискретной функции:

X_вх(z) = Z(1(nT)) = z/(z–1),

то выражение дискретной переходной функции импульсной системы:

H(z) = Z(h(nT)) = (z/(z–1))Ф(z).    (8)

Как видно из этой формулы, изображение можно представить в общем случае в виде отношения двух полиномов.

Следовательно, для нахождения Н(z) достаточно знать передаточную функцию замкнутой системы Ф(z).

Далее, необходимо по изображению найти оригинал h(nТ), то есть осуществить операцию обратного Z‑преобразования. Эту задачу часто решают методом разложения функции в степенной ряд по отрицательным степеням z (делением полинома числителя на полином знаменателя). Коэффициенты полученного степенного ряда равны дискретным значениям импульсной переходной функции в моменты времени t = nТ. Другой метод требует разложения Н(z) на простые дроби.

Рассмотрим на примере методику оценки показателей качества переходных процессов импульсной системы, изображенной на рис. 1, при различных значениях ее параметров k_v и Т.

Изображение переходной функции системы с учетом формулы (6):

H(z) = (z/(z–1))Ф(z) =k_vT_z/(z²+z(k_vT–2)+1–k_vT).

При k_vT = 1,5 изображение переходной функции системы приобретает вид:

H(z) = 1,5z/(z²–0,5z–0,5).          (9)

В результате деления числителя на знаменатель находим:

H(z) = 1,5z^–1+0,75z^–2+1,125z^–3+0,937z^–4+1,03z^–5+…           (10)

Коэффициенты этого степенного ряда определяют значения дискретной переходной функции-оригинала.

График переходной функции для данного случая изображен пунктирной линией на рис. 3. На этом же рис. 3 приведены осциллограммы переходного процесса импульсной системы (линии красного цвета). Справа представлена схема получения степенного ряда (10) с помощью импульсного источника и цифрового фильтра с заданной директивой (9).

Рис. 3. График переходной функции и осциллограммы переходного процесса импульсной системы при kvT = 1,5

Как видно из графиков, наблюдается полное совпадение результатов расчетов и моделирования в среде MicroCap 9 DEMO.

Анализ графика и осциллограмм позволяет определить показатели качества переходного процесса: t_p = 5Т (с); s = 50%; n = 4.

Для уменьшения величины перерегулирования необходимо уменьшать произведение k_vТ.

При k_vТ = 1 изображение переходной функции системы:

H(z) = 1/(z–1) = z^–1+z^–2+z^–3+z^–4+z^–5+…

Дискреты переходной функции: h(0) = 0; h(T) = 1; h(2T) = 1; h(nT) = 1.

Из графика переходной функции, представленного на рис. 4, видно, что при k_vТ = 1 в системе имеет место оптимальный по быстродействию переходный процесс, так как он завершается за один период дискретности Т без перерегулирования. Это подтверждается осциллограммами, полученными в программе MicroCap 9 DEMO.

Рис. 4. График переходной функции и осциллограммы переходного процесса импульсной системы при kvT = 1

При k_vТ = 0,6 имеем:

H(z) = 0,6z/(z²–1,4z+0,4) = 0,6z^–1+0,84z^–2+0,936z^–3+0,9744z^–4+…

Отсюда находим:

h(0) = 0; h(T) = 0,6;
h(2T) = 0,84; h(3T) = 0,936; …

График этой функции, изображенный на рис. 5, близок к экспоненте. Время регулирования в этом случае t_p = 5Т (с).

Рис. 5. График переходной функции и осциллограммы переходного процесса импульсной системы при kvT = 0,6

Проведенный анализ позволяет сделать важный вывод о том, что показатели качества переходного процесса импульсной системы существенно зависят от величины произведения коэффициента передачи k_v на период дискретности Т.

Точность импульсной системы оценивается величиной ошибки в установившихся режимах. Для расчета ошибки необходимо знать изображение задающего воздействия и передаточную функцию ошибки Ф_e(z). Методика вычисления дискретной функции e(nT) аналогична изложенной выше.

Передаточная функция ошибки с учетом формулы (7) приобретет вид:

H_e(z) = Z(1(nT))×Ф_e(z) =z/(z–1)×1/(1+W(z)) = z/(z–1)×(z–1)/(z+(k_vT–1)) =z/(z+(k_vT–1).                  (11)

При k_vT = 1,5 изображение переходной функции ошибки приобретает вид:

H_e(z) = z/(z+0,5).

Тогда коэффициенты степенного ряда определяют значения дискретной функции ошибки в виде:

H(z) = 1–0,5z^–1+0,25z^–2+0,125z^–3+ 0,0625z^–4+…                 (12)

Как следует из графиков и осциллограмм на рис. 6, наблюдается полное совпадение результатов расчетов и моделирования в среде MicroCap 9 DEMO.

Рис. 6. Графики функции ошибки и осциллограммы значений дискретных функций ошибки при kvT = 1,5 и kvT = 0,6

Следует отметить, что при k_vT =1 согласно выражению (11) H_e(z) = 1. Поэтому график функции ошибки и осциллограмма значения дискретной функции ошибки будут определяться вертикальной линией в момент времени nT = 0, что и подтверждается графиком и осциллограммой на рис. 4.

Необходимым условием работоспособности импульсной системы является ее устойчивость. Известные основные определения устойчивости непрерывных систем применимы и к импульсным системам, но с учетом ряда особенностей этих систем.

Обратимся к основной формулировке условия устойчивости: импульсная система устойчива, если ее собственное движение с течением времени затухает.

На практике часто ограничиваются определением дискретной функции Х_вых(nТ) на выходе системы. Это решение можно получить, например, из формулы (17) в виде суммы свободной и вынужденной составляющих:

Х_вых(nТ)= Х_с(nТ)+Х_в(nТ).

Таким образом, условие устойчивости системы следует записать в виде:

lim_n→∞ X_c(nT) = 0.

Оценку устойчивости импульсной системы автоматики, как и непрерывной, обычно производят на основании исследования характеристического уравнения замкнутой системы, получаемого из формулы (2):

M(z) = c_mz^m+c_m–1z^m–1+…+c₁z+c₀.   (13)

Это алгебраическое уравнение имеет m корней z_i на плоскости z. Однако поскольку переменная z появилась в связи с подстановкой z = epit, то каждый корень z_i связан с корнями р_i на плоскости р зависимостью:

z_i = e^pit.

Легко заметить, что нулевому корню, например р₁ = 0, соответствует корень z_i = 1, а корням р_i с отрицательными вещественными частями соответствуют корни: |z_i| < 1.

Теперь можно дать формулировку математического условия устойчивости: импульсная автоматическая система устойчива, если все корни ее характеристического уравнения (13) лежат внутри круга единичного радиуса, построенного в начале координат комплексной плоскости z (рис. 7, точки z₁, z₂, z₃, z₄, z₅).

Если хотя бы один из корней лежит на окружности с радиусом R = 1, то система находится на границе устойчивости (рис. 7, точка z₆).

Рис. 7. Комплексная плоскость Z

При наличии корней |z_i| > 1 система неустойчива (рис. 7, точка z₇).

Определение корней характеристического уравнения (13) при m ≥ 3 сопряжено с известными трудностями. Поэтому на практике находят применение косвенные оценки — критерии качества, позволяющие оценивать устойчивость импульсных систем без определения корней.

К импульсным системам применим любой из известных критериев устойчивости непрерывных систем. Однако для этого предварительно необходимо произвести билинейное преобразование полинома М(z) в полином М(w) по формуле:

z = (1+ω)/(1–ω).                 (14)

Такое преобразование позволяет отобразить единичный круг плоскости Z (рис. 6) в левую часть комплексной плоскости р, аналогичную области устойчивости непрерывных систем на плоскости р.

К характеристическому уравнению М(w) = 0, которое также имеет порядок m, применимы алгебраические критерии устойчивости И. А. Вышнеградского.

Оценим устойчивость двух конкретных систем.

В первом примере импульсная система первого порядка имеет характеристическое уравнение:

M(z) = c₁z+c₀ = 0.

После подстановки (14) и преобразований получим:

(c₁–c₀)ω+(c₁+c₀) = 0.

Система первого порядка устойчива, если коэффициенты ее характеристического уравнения положительны:

(c₁–c₀) > 0,

(c₁+c₀) > 0.

Рассмотрим устойчивость импульсной системы, приведенной на рис. 1, с передаточной функцией (6).

Характеристические уравнения этой системы:

M(z) = z+(k_vT–1),

M(ω) = ω(2–k_vT)+k_vT = 0.

Отсюда получаем два условия устойчивости:

k_vT > 0,  k_vT < 2.

Второе условие раскрывает важное свойство изучаемого класса систем: устойчивость импульсной автоматической системы зависит не только от общего коэффициента передачи в разомкнутом состоянии k_v, как это имеет место и в непрерывных системах, но и от периода дискретности Т: чем больше Т, тем труднее обеспечить устойчивость системы при неизменном k_v.

Во втором примере характеристическое уравнение системы второго порядка имеет вид:

M(z) = c₂z²+c₁z+c₀ = 0.

После перехода к переменной w получаем:

M(ω) = (c₂–c₁+c₀)ω²+(2c₂–2c₀)ω+(c₂+c₁+c₀) = 0.

Система устойчива, если коэффициенты ее характеристического уравнения положительны:

c₂–c₁+c₀ > 0,  c₂–c₀ > 0,  c₂+c₁+c₀ > 0.

Эти три неравенства позволяют оценить устойчивость автоматической импульсной системы.

Исследование устойчивости систем третьего и более высоких порядков производят с помощью критерия Гурвица.

Разработанные модели блоков в среде MicroCap 9 позволяют проводить широкий круг исследований.