Методика построения непрерывных моделей импульсных преобразователей напряжения постоянного тока

В статье рассмотрена методика получения предельных непрерывных моделей импульсных преобразователей напряжения постоянного тока, соответствующих исчезающе малому периоду коммутации.

Введение

Импульсные преобразователи напряжения постоянного тока трех основных типов, представленные на рис. 1–3, широко используются в источниках вторичного электропитания (ИВЭП) [1]. Как известно, ИВЭП представляют собой замкнутые системы автоматического управления, а точнее — системы стабилизации с весьма жесткими требованиями к статическим и динамическим режимам. Поэтому при расчетах ИВЭП необходимы достаточно корректные математические модели преобразователей. Поскольку они представляют собой нелинейные импульсные системы, структура которых изменяется в течение периода коммутации, точные математические модели преобразователей оказываются весьма сложными и практически непригодными для инженерных расчетов. Представление преобразователей безынерционными элементами со статическими характеристиками, описываемыми известными формулами [1]:

(здесь γ = τ/T — относительная длительность нахождения ключа К в положении 1 в течение периода коммутации Т), не только не учитывает их динамических свойств, но и статические свойства отражает с существенными погрешностями.

В то же время исследования показали [2], что при уменьшении периода коммутации нелинейные импульсные системы приближаются по свойствам к непрерывным нелинейным, а иногда и линейным системам. Учитывая весьма высокую частоту коммутации современных импульсных преобразователей, задача построения их непрерывных моделей, достаточно точно отражающих как статические, так и динамические свойства, оказывается весьма актуальной.

При проектировании ключевых источников электропитания (DС/DС-преобразователей) широко применяют непрерывные линейные модели импульсных преобразователей для малых отклонений от установившегося режима. В монографии П. Четти [3, с. 75], например, приведены линеаризованные непрерывные модели основных типов преобразователей. Однако методика их получения, основанная больше на физике процессов, чем на строгой математике, базируется на допущении отсутствия у дросселя активного сопротивления. Вследствие этого теряются существенные особенности преобразователей. Например, установившийся режим повышающего и инвертирующего преобразователей, полученный без учета сопротивления дросселя, существенно отличается от реального. Особенно существенно это отличие при относительной длительности подключения дросселя к источнику питания, близкой к 1. Очевидно, что и линеаризованная модель для малых отклонений от установившегося режима отличается от реальной.

Ниже описана методика построения непрерывных моделей преобразователей постоянного тока при любой сложности входного и выходного фильтров, с учетом активного сопротивления дросселей и т. д. Модели применимы при достаточно высокой частоте коммутации. Это ограничение не является слишком жестким, поскольку преобразователи как раз и создаются для использования полезной непрерывной составляющей выходного напряжения при малых пульсациях.

Получение непрерывной модели импульсных преобразователей напряжения постоянного тока

В общем случае преобразователь описывается разными дифференциальными уравнениями при первом (1) и втором (2) положениях ключа К (рис. 1, 2, 3). Полагая ключ К идеальным, а элементы схем линейными с постоянными параметрами, можно записать уравнения преобразователя в векторно-матричной форме:

где X^T = [x₁, x₂, …, x_m] — вектор фазовых координат, представляющих собой токи в дросселях и напряжениях на конденсаторах, А₁ и А₂ — m × m матрицы, элементами которых являются параметры элементов преобразователя (сопротивления, индуктивности и емкости), h₁ и h₂—m-мерные векторы, ^Т — знак транспортирования, U₁ — входное напряжение, τ_n и T–τ_n — время пребывания ключа К в положении 1 и 2 соответственно в n-м периоде переключений, T — период переключений.

Несложно получить разностное уравнение, связывающее значения вектора фазовых координат Х(t) в моменты, соответствующие началам двух соседних периодов переключений: X((n+1)T) и X(nT) (n—целое число), — и их установившееся значение Х_∞ , к которому они стремятся при n → ∞

При уменьшении Т (Т → 0) и γ = τ / T = const установившийся режим приближается к предельному установившемуся режиму, при котором отсутствуют пульсации фазовых координат, т. е. при U₁ = сonst они становятся постоянными. В большинстве реальных случаев вследствие высокой частоты коммутации пульсации фазовых координат достаточно малы и происходят вокруг фазовых координат предельной непрерывной модели, соответствующей Т → 0.

Для установившегося режима при Т → 0 и γ = τ / T = const получено следующее значение фазовых координат:

Можно считать, что при достаточно высокой частоте коммутации ключа f = 1/T (T ≈ 0), характерной для современных преобразователей напряжения постоянного тока, установившийся режим с точностью до малых первого порядка малости относительно Т определяется выражением (4). Пульсации в предельном установившемся режиме, очевидно, исчезают. Это позволяет полагать, что при Т → 0 и изменении γ = τ / T фазовые координаты преобразователя тоже изменяются непрерывно. Процесс изменения фазовых координат при этом можно описать дифференциальным уравнением. Для его получения найдено отношение первой разности ΔX(nT) = X((n+1)T)–X(nT) к периоду коммутации Т:

дающее приближенное значение производной вектора фазовых координат. Переход к пределу при Т → 0 в отношении (5) дает точное значение производной вектора фазовых координат:

Заметим, что из векторного уравнения эквивалентной непрерывной системы при γ = const (U₁ = const) получаем установившийся режим (8), который совпадает с предельным установившимся режимом преобразователя при Т → 0 , определяемым выражением (4), что говорит в пользу правильности использованного подхода.

Из полученных выражений (6), (7) следует, что при γ = const импульсный преобразователь для входного воздействия U₁ можно рассматривать как линейную непрерывную систему с постоянными параметрами.

При изменении γ изменяются параметры линейной системы. Таким образом, при изменении γ и при достаточно высокой частоте коммутации (T ≈ 0) импульсный преобразователь можно рассматривать как непрерывную систему, описываемую дифференциальным уравнением (6). Параметры этой системы (элементы матрицы А и вектора h) изменяются при изменении входного воздействия, каковым является относительная длительность импульсов γ = τ / T. Следовательно, изменение относительной длительности импульсов γ является не сигнальным, а «параметрическим» воздействием.

Непрерывная модель повышающего преобразователя

Расчетная схема преобразователя, представленная на рис. 4а, описывается следующими двумя системами дифференциальных уравнений:

где r и L — сопротивление и индуктивность дросселя Др (рис. 1).

Параметры источника входного напряжения — выходные активное сопротивление и индуктивность — в рассматриваемом случае следует прибавить к активному сопротивлению r и индуктивности дросселя L соответственно. Поскольку ток источника питания не прерывается, С-фильтр на входе преобразователя не обязателен. Защиту ключа от перенапряжений в моменты переключений осуществляют снабберные цепи, в модели не учитываемые.

Согласно (2), x¹ = i, x₂ = u_н — фазовые координаты преобразователя,

Подстановка в формулы (7) дает

или

Согласно (8), получаем установившийся режим

Таким образом, установившиеся потребляемый ток и выходное напряжение при T ≈ 0 имеют значения

Согласно последнему выражению, повышающий преобразователь в статике представляет собой управляемый источник напряжения, ЭДС и выходное сопротивление которого зависят от γ согласно формулам:

Статическая характеристика повышающего преобразователя, описываемая первой из формул (1), справедлива лишь в режиме холостого хода R_н = ∞ и γ < 1. Под нагрузкой (R_н < ∞) проявляется переменное выходное сопротивление преобразователя, резко возрастающее с приближением γ к 1. Вследствие этого статическая характеристика повышающего преобразователя под нагрузкой U₂ = f (γ) имеет максимум при

равный

а при γ → 1 согласно (13) U₂ → 0.

Причина указанных особенностей статической характеристики нагруженного преобразователя — в отличном от нуля активном сопротивлении дросселя r, ограничивающем ток дросселя согласно неравенству

При малом времени подпитки конденсатора С, равном (1–γ)T и уменьшающемся с ростом γ , амплитуда тока подпитки должна неограниченно расти. Вследствие ограничения (17) это невозможно и вызывает уменьшение выходного напряжения преобразователя при увеличении γ сверх γ_max.

При работе повышающего преобразователя в замкнутой системе стабилизации выходного напряжения необходимо ограничивать величину γ, чтобы не превышать γ_max, т. к. в противном случае увеличение γ, сверх γ_max приведет в замкнутой системе к уменьшению выходного напряжения до нуля.

При расчете замкнутых систем стабилизации напряжения с повышающим преобразователем, помимо ограничения γ необходимо учитывать существенную его нелинейность, состоящую в зависимости элементов матрицы А(11) от относительной длительности импульсов γ . Системе дифференциальных уравнений непрерывной модели повышающего преобразователя (11) соответствует эквивалентная схема, представленная на рис. 4б. Следует подчеркнуть, что переменные эквивалентной схемы i и u_c совпадают с действительными переменными предельной непрерывной модели, а i_н′ и i_c′ отличаются от действительных переменных непрерывной модели. Действительный ток нагрузки i_н = u_н/R_н меньше тока эквивалентной схемы i_н′ = u_н/(1–γ)R_н в 1/(1–γ) раз, так же как и действительный ток конденсатора i_c = Cdu_н/dt в 1/(1–γ) раз меньше тока конденсатора эквивалентной схемы i_c′=(1–γ)^-1Cdu_н/dt.

Непрерывная модель инвертирующего преобразователя

Расчетная схема преобразователя, представленная на рис. 5а, описывается следующими дифференциальными уравнениями:

Рассматриваемая модель соответствует предположению о неограниченной мощности источника входного напряжения. В реальных условиях ограниченной мощности источника его прерывистый ток вызывает значительную ЭДС самоиндукции в индуктивности выходного сопротивления. Для защиты от перенапряжений на вход преобразователя включают емкостной фильтр, обеспечивающий замыкание тока источника в момент переброса ключа из положения 1 в положение 2. Модель преобразователя, учитывающая выходное сопротивление источника и емкостной фильтр, рассмотрена отдельно.

Согласно (2), x₁ = i, x₂ = u_н,

Аналогично предыдущему находим согласно (7)

или

Установившийся режим преобразователя, согласно (8), определяется выражением:

Установившиеся потребляемый ток и выходное напряжение инвертирующего преобразователя имеют значения:

Согласно последнему из выражений, инвертирующий преобразователь в статике представляет собой регулируемый источник напряжения, ЭДС которого и выходное сопротивление зависят, как и у повышающего преобразователя, от γ, согласно формулам:

Как и в случае повышающего преобразователя, статическая характеристика инвертирующего преобразователя, описываемая второй из формул (1), справедлива лишь в режиме холостого хода (R_н = ∞) и γ < 1. Под нагрузкой (R_н < ∞) проявляется переменное выходное сопротивление преобразователя, согласно выражению (23) резко возрастающее при γ → 1.

Как и у повышающего преобразователя, статическая характеристика инвертирующего преобразователя имеет экстремум, а при γ → 1 и R_н < ∞ стремится к 0. Выходное напряжение преобразователя имеет максимальную величину при

где x — положительный корень квадратного уравнения

имеющий величину больше 1/2 и стремящийся к 0 при r/R_н → 0.

При использовании инвертирующего преобразователя в замкнутых системах стабилизации напряжения, помимо необходимости ограничивать величину γ , нужно учитывать и существенную нелинейность непрерывной модели преобразователя, проявляющуюся в зависимости от γ не только матрицы А, как в повышающем преобразователе, но и элементов вектора h (24).

Для инвертирующего преобразователя на рис. 5б представлена эквивалентная схема. Как и в эквивалентной схеме повышающего преобразователя, с действительными переменными совпадают только i и u_н, причем для uн изменено направление. Вследствие этого полученное из эквивалентной схемы значение u_нуст отличается знаком от второй формулы (22). Токи i_н′ и i_c′ также имеют другие знаки, а по модулю превосходят реальные в 1/(1–γ) раз.

Непрерывная модель понижающего преобразователя

Расчетная схема преобразователя при идеальном источнике питания, представленная на рис. 6а, описывается следующими дифференциальными уравнениями:

Согласно (2), x₁ = i, x₂ = u_н,

Следуя (7), получаем:

или

Установившийся режим, согласно (8), определяется выражением

Потребляемый преобразователем ток и выходное напряжение в установившемся режиме имеют значения:

Очевидно, что понижающий преобразователь можно рассматривать как управляемый источник напряжения с постоянным выходным сопротивлением, равным активному сопротивлению дросселя r и ЭДС, определяемой третьим из выражений (1).

Непрерывная модель понижающего преобразователя линейна. Матрица А имеет постоянные элементы, а вектор h можно также считать постоянным, отнеся множитель γ к входному напряжению U₁.

Для понижающего преобразователя на рис. 6б представлена эквивалентная электрическая схема. Очевидно, что все токи и напряжения схемы, а не только фазовые координаты i и u_н, совпадают с реальными токами и напряжениями непрерывной модели.

Полученный результат совпал с известным, следующим из соображений, основанных на учете только полезной составляющей импульсов длительностью τ = γ T и амплитудой U₁. Эта полезная составляющая определяется средним за период следования импульсов напряжением, равным γU₁.

Непрерывные модели понижающего и инвертирующего преобразователей получены для идеального источника входного напряжения. Предложенная методика позволяет легко учесть влияние выходного сопротивления и индуктивности реального источника входного напряжения и защитного емкостного фильтра на входе преобразователя.

Учет ограниченной мощности источника входного напряжения и входного фильтра преобразователя

Расчетная схема преобразователя, представленная на рис. 7, описывается системой четырех дифференциальных уравнений:

Согласно (2), x₁ = i, x₂ = u_н , x₃ = i_и, x₄ = u_ф,

или

Как и выше A и h (33) определены, согласно (7), а установившийся режим преобразователя (34) — согласно (8).

Заметим, что задачу обращения матрицы A в символьной форме и умножение на вектор можно заменить более простым решением системы линейных уравнений:

Из формулы (34) непосредственно следуют выражение для тока, потребляемого от источника питания:

и выходного напряжения преобразователя:

Таким образом, с учетом параметров источника питания и входного фильтра инвертирующий преобразователь в установившемся режиме (в статике) можно рассматривать как управляемый источник напряжения с той же ЭДС (вторая из формул (1)) и больщим выходным сопротивлением, возрастающим с увеличением γ:

Так же как и при идеальном источнике входного напряжения, статическая характеристика преобразователя U₂ = f (γ) принимает нулевое значение при γ = 0 и γ = 1 и имеет максимум при

где x — положительный корень квадратного уравнения

имеющий величину больше 1/2 и стремящийся к 0 при g → 0.

В случае приближения R_н к r_и γ_max приближается к 1/2, а максимальное значение U₂ стремится к величине U₁/(3+4r/R_н) < U₁/3. Значения R_н, незначительно превышающие r и r_и, ненамного практического интереса, поскольку соответствуют низкому КПД источника питания.

Во всех рассмотренных случаях параметры реактивных элементов (дросселей и конденсаторов) не влияют на установившийся режим предельной непрерывной модели преобразователя. В реальных преобразователях они определяют размах пульсаций токов и напряжений.

В переходных режимах полученные дифференциальные уравнения предельных непрерывных моделей позволяют достаточно точно определить закон изменения полезных составляющих фазовых координат реальных преобразователей, на которые накладываются их высокочастотные пульсации.

Оценка точности предельной непрерывной модели преобразователя

Аналитическая оценка точности непрерывной модели преобразователя — весьма сложная математическая задача, решение которой вряд ли представляет большой интерес для инженерной практики. Поэтому ограничимся сопоставлением результатов расчета процессов по дискретной и непрерывной модели на ЭВМ.

В качестве примера рассмотрим повышающий преобразователь 100/200 В с параметрами L = 6,914 × 10^–3 Гн, r = 0,2 Ом, R_н = 40 Ом, С = 14,14 × 10^–6 Ф, Т = 2 × 10^–5 c.

Решая уравнение статической характеристики (13) при U₁ = 100 B и U₂ = 200 B, получаем два значения γ_max:

Меньшее из них, γ₁ = 0,5112, соответствует восходящей ветви статической характеристики, а большее γ₂ = 0,9888 — падающей ветви (рис. 8). Поэтому принимаем γ₀ = γ₁.

В качестве «пробного» воздействия на повышающий преобразователь выберем изменение γ по закону

которое позволит наблюдать процесс установления выходного напряжения U₂ = 220 B и его установившиеся колебания, вызванные гармоническими колебаниями отклонения γ от γ₀.

Реакция реального преобразователя и его непрерывной модели на воздействие (39) получена в системе Matlab 6.5/Simulink 5. На рис. 9 представлены дискретная и непрерывная модели преобразователя. Входное воздействие обеих моделей непрерывное, получаемое суммированием постоянного воздействия величиной 0,5112 и синусоидального с амплитудой 0,025 и частотой 100 Гц (39) с блока Sine Wave. В дискретной модели непрерывный сигнал превращается в дискретные значения γ с помощью широтно-импульсного модулятора с единичной амплитудой линейного сигнала развертки и периодом Т = 20 мкс. Ключ К моделируется двумя блоками Ideal Switch. Обязательные снабберные RC-цепи и внутреннее сопротивление открытого ключа r_к (r_к = 0,001 Oм, R_сн = 100 Ом, С_сн = 1×10^–9 Ф) выбраны так, чтобы модель ключа приближалась к идеальному ключу, поскольку непрерывная модель преобразователя построена для идеального ключа К. В состав непрерывной нелинейной модели преобразователя, описываемой уравнениями (11), входят два блока умножения (Product) и два интегратора (1/S). Блоки усиления Gain, Gain1, Gain2, Gain3, согласно (11), имеют следующие значения коэффициентов: k = r = 0,2, k₁ =1/R_н = 1/40, k₂ =1/C = 1/14.14e–6, k₃ = 1/L = 1/6.914e–3 соответственно.

На рис. 10 представлены осциллограммы выходных напряжений непрерывной и дискретной моделей, полученные с помощью Scope1. Там же в масштабе увеличения показана гармоническая составляющая входного сигнала. Из рис. 10 очевидно, что выходной сигнал непрерывной модели практически является «средней линией» выходного сигнала дискретной модели, содержащего пульсации выходного напряжения. Следовательно, предельная непрерывная модель преобразователя с достаточной точностью описывает поведение полезной составляющей выходного напряжения реального преобразователя. Заметим, что при большем отличии модели ключа от идеального (увеличении r_к и более существенном влиянии снабберных цепей, т. е. при меньших значениях R_сн и больших С_сн) появляется некоторое отклонение. Устранить его можно путем учета свойств реального ключа в непрерывной модели преобразователя. Это, очевидно, усложнит непрерывную модель, но вряд ли будет оправдано вследствие обычно достаточной близости реального ключа К к идеальному и малости ошибок, вызываемых отличием реального ключа от идеального.

Динамические свойства преобразователя, весьма важные при его работе в замкнутой системе, оценим по отработке им гармонической составляющей выходного сигнала. Как видно из рис. 10, колебание полезной составляющей выходного напряжения близко к гармоническому. Некоторое небольшое различие его амплитуд в положительном и отрицательном полупериодах объясняется большей крутизной статической характеристики при увеличении γ от значения γ₀, чем при уменьшении его от значения γ₀ (рис. 8). Из рис. 10 легко определить отставание нулевой фазы колебаний выходного напряжения от нулевой фазы колебаний Δγsinωt-φ(ω) и амплитуду выходных колебаний ΔU_2m(ω). По результатам экспериментов для частот от 0 до 1 кГц построены фазо-частотная характеристика (ФЧХ) φ(ω) и относительная амплитудно-частотная характеристика (АЧХ):

Они представлены на рис. 11. Из характера φ(ω) и А(ω) следует, что построение замкнутых систем стабилизации напряжения рассмотренного преобразователя вызывает определенные трудности (невысокая точность), поскольку обеспечить достаточный запас устойчивости при высоком коэффициенте усиления в замкнутом контуре весьма сложно из-за очень быстрого увеличения фазового запаздывания до 180° при практически неизменной АЧХ преобразователя. Очевидно, что при увеличении отклонений от γ₀ проявление нелинейности преобразователя будет усиливаться.

Выводы

1. Предложенная методика позволяет достаточно просто получать непрерывные модели преобразователей с учетом их существенных особенностей.
2. В практически важных случаях высокой частоты коммутации импульсные преобразователи напряжения постоянного тока для полезной составляющей выходного напряжения можно рассматривать как непрерывные системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.
3. Повышающий и инвертирующий преобразователи описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, коэффициенты которых зависят от относительной длительности импульсов γ, являющейся для преобразователя «параметрическим» управляющим воздействием.
4. По предельной непрерывной модели преобразователя в большинстве практических случаев можно определять полезную составляющую выходного напряжения с достаточной точностью.
5. Динамические свойства повышающего и инвертирующего преобразователей неблагоприятны для их применения в замкнутых системах регулирования напряжения.

Литература

1. Источники вторичного электропитания / Под ред. Ю. И. Конева. М.: Радио и связь. 1983.
2. Коршунов А. И. Асимптотика свойств нелинейной импульсной системы при повышении частоты // Проблемы управления и автоматики. 1995. № 3.
3. Чети П. Проектирование ключевых источников электропитания. М.: Энергоатомиздат. 1990.