Корневой метод расчета настроек распределенного ПИД-регулятора для системы с распределенными параметрами

Введение

Сегодня известны следующие направления в решении проблемы синтеза регуляторов для распределенных систем:

1. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов, рассматриваемое в работах Т. К. Сиразетдинова, Г. Л. Дегтярева и др.
2. Частотный метод анализа синтеза, рассмотренный в работах В. А. Бессекерского, Е. П. Попова, В. В. Солодовникова, И. М. Першина и др.
3. Параметрический синтез регуляторов, при котором задается структура распределенного регулятора, а параметры его подбираются в процессе экспериментальных исследований. Основные вопросы параметрического синтеза регуляторов на основе структурной теории рассмотрены в трудах А. Г. Бутковского, В. Л. Рожанского, И. М. Бегимова.

Остановимся более подробно на втором направлении. В настоящее время частотные методы синтеза распределенных регуляторов основываются на применении обычных частотных характеристик [3], при этом, как правило, накладываются ограничения на запас устойчивости по модулю и фазе. В статье представлена методика расчета настроек распределенного ПИД-регулятора с применением расширенных частотных характеристик объекта управления, при этом накладываются ограничения на степень колебательности m переходного процесса.

Постановка задачи

Для системы управления распределенным объектом (задана его математическая модель либо имеется возможность проводить экспериментальные исследования с реальным объектом) необходимо синтезировать ПИД-регулятор. При этом на запасы устойчивости системы наложены следующие ограничения:

• запасы по модулю ΔL ≥ L_зад;
• запасы по фазе Δφ ≥ Δφ_зад;
• степень колебательности m = m_зад.

Передаточная функция синтезируемого регулятора согласно [4] имеет вид:

где Е₁, Е₂, Е₄ — коэффициенты усиления; n₁, n₂, n₄ — весовые коэффициенты;

На рис. 1 представлена структурная схема синтезируемой системы управления.

Рис. 1. Структурная схема системы управления

Анализ объекта управления

Объект управления представлен на рис. 2.

Рис. 2. Объект управления

Математическая модель имеет вид:

Граничные и начальные условия задаются следующими соотношениями:

Математическая модель объекта описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных. Передаточные функции таких объектов управления могут быть представлены в виде совокупности передаточных функций по каждой пространственной моде [4]. Известно [3], что для тепловых объектов управления передаточные функции по каждой моде входного воздействия могут быть аппроксимированы передаточными функциями вида:

Значения параметров Kη, Tη, τη определяются по результатам численного моделирования.

Для этого на вход системы подадим входное воздействие вида:

При определении указанных параметров для η = 1,3 учитывались динамические свойства процесса распространения теплового поля внутри объекта.

По результатам численного моделирования определим значения параметров Kη, Tη, τη. Вычисленные значения равны: K₁ = 0,7; T₁ = 70; τ₁ = 6; K₃ = 0,5; T₃ = 67; τ₃ = 6.

Для частотного анализа объекта предположим, что в (6):

где ω — круговая частота, m — степень колебательности.

Определим модуль Мη и фазу φη [1, 2]:

По результатам вычислений построим расширенные частотные характеристики.

Процедура синтеза

Предположим, что фазовый сдвиг, вносимый в систему регулятором, равен нулю. Тогда для определения частот среза модуля разомкнутой системы получим следующие выражения:

где W(m, jω, η, γ) — комплексный передаточный коэффициент объекта управления, определенный численным способом.

Подставляя значение Tη, τη и Δφ_η = π/6 в (10), определим значение частот среза модуля: η = 1, γ = 1, ω₁ = 0,15347; η = 3, γ = 3, ω₃ = 0,15408.

Определение параметров регулятора будем осуществлять, исходя из условий, что значение частот ωη принадлежит линии перегиба. Для частот ωη, принадлежащих линии перегиба, фазовый сдвиг, вносимый в разомкнутую систему регулятором, равен нулю.

Подставляя ω = ω₁, ω = ω₃ в выражение:

получим систему уравнений:

Вычитая (11) из (12), придем к следующему результату:

Используя (13), определим значение n₂, n₄. Так как Δω₂ > 1, то предположим в (11) n₂ = ∞. Тогда n₄ определяется соотношением:

Рассматривая совместно уравнение:

и уравнения:

получим E₄ и E₂.

Введем параметр Δ(G₁), выбор значения которого связан с возможностью компенсации параметрических возмущений объекта управления:

Для этого к уравнению (16) допишем уравнение, связывающее параметры K₄(G₁) и K₂(G₁) с параметром Δ(G₁). Уравнение связи может быть представлено в виде:

Подставляя значения ω = ω₁, ω = ω₃ в уравнение:

определим значение модуля: М₁, М₃.

Так как ω = ω₁, ω = ω₃ являются частотами среза модуля разомкнутой системы, то коэффициенты усиления регулятора в этих точках равны:

Определим параметры n₁, E₁. Поделив (18) на (19), придем к следующему результату:

Произведя расчеты параметров регулятора по изложенной выше методике, получаем следующие результаты: n₁ = 246,245; n₄ = 15707,189; E₁ = 5,55197; Е₂ = 3,664; Е₄ = 0,085964.

Запишем передаточную функцию распределенного высокоточного регулятора:

После преобразования получим:

Для проверки полученных данных и моделирования замкнутой системы управления, описываемой уравнениями (1)–(5) и (20), было разработано с помощью Borland Delphi 7 специальное программное обеспечение. Результаты моделирования показали, что переходные процессы обладают заданными показателями качества.

На основе разработанной методики были рассчитаны распределенные ПИД-регуляторы для различных объектов управления. Результаты моделирования замкнутых систем управления свидетельствуют о положительном качестве управления в полном соответствии с предъявляемыми к системам требованиями. Из этого можно сделать вывод, что разработанная методика позволяет рассчитывать настройки распределенного регулятора, реализующего пропорционально интегрально-дифференциальный закон управления, по заданному значению степени колебательности, а следовательно — и с требуемой степенью затухания переходного процесса.

Литература

1. Дудников Е. Г. Основы автоматического регулирования тепловых процессов. Уч. пос. для вузов. М., Л.: Госэнергоиздат, 1956.
2. Лазарева Т. Я., Мартемьянов Ю. Ф. Основы теории автоматического управления: Уч. пос. Тамбов: Изд-во Тамбовского ГТУ, 2003.
3. Першин И. М. Анализ и синтез систем с распределенными параметрами. Пятигорск. РИА на КМВ, 2007.
4. Рапопорт Э. Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами. М.: Высшая школа, 2003.