К симметрии (инвариантности) структуры дифференциальных выражений и уравнений

В этой статье речь пойдет о явлениях инвариантности структуры математического выражения или уравнения по отношению к определенным преобразованиям этих объектов либо о возможности добиться инвариантности в результате какого-то дополнительного хода. В качестве самих структур, представляющих в этом свете особенный интерес, выделились дифференциальные выражения и уравнения.

Итак, пусть мы имеем дифференциальное выражение:

LQ (1)

в обыкновенных или частных производных и соответствующее ему дифференциальное уравнение:

LQ = 0, (2)

где Q — функция одной или нескольких независимых переменных. Выражение (1) и, соответственно, уравнение (2) могут быть скалярными или векторными.

Допустим, мы осуществили какое-то преобразование величин, входящих в (1) и (2), например, независимых переменных, значения самой функции Q или других. Что при этом произойдет со структурой выражения (1) и уравнения (2)?

Для каждого из этих объектов возможны лишь два исхода. Первый: структура объекта в результате преобразования не изменится, то есть останется в точности такой, какой она была до вмешательства. Второй: структура объекта претерпит изменение, то есть перестанет совпадать с исходной.

В первом случае преобразование является преобразованием симметрии, во втором — нет.

В этой статье мы сосредоточим внимание только на первой возможности.

Заметим прежде всего, что результатом преобразований может оказаться, например, превращение выражения (1) в выражение вида:

α(Q)×LQ,

где α(Q) нигде не обращается в ноль.

Отсюда вытекает, что симметрия уравнения (2) не обязательно окажется симметрией выражения (1). По этой причине указание симметрии выражения (1) может представлять собой более замысловатую задачу, нежели указание симметрии уравнения (2).

Рассмотрим теперь несколько конкретных примеров и вытекающих из них следствий.

1. Для начала возьмем хорошо знакомые дифференциальные выражения, записанные в декартовой системе координат:
   

   Справедливо следующее утверждение: преобразованием симметрии или просто симметрией S структур каждого из этих выражений является ортогональное преобразование независимых переменных — координат x, y и z.

   В применении к нашему случаю ортогональное преобразование независимых переменных, для которого мы здесь также употребляем обозначение S, — это преобразование старых координат x, y и z в новые x′, y′ и z′ по формулам:

   x′ = а₁₁x+a₁₂y+a₁₃z,

   y′ = а₂₁x+a₂₂y+a₂₃z,

   z′ = а₃₁x+a₃₂y+a₃₃z. (6)

   Причем матрица этого преобразования:

   

   соответствует условию:

   SS^t = I (8)

   (ортогональная матрица).

   Условие (8) означает еще следующую связь между элементами матрицы S:

   

   где δ_nm — символ Кронекера.

   Связь (9), в частности, показывает, что строки матрицы S представляют собой ортонормированные векторы.

   Условие (8) позволяет без труда записать обращение преобразования (6).

   Ортогональное преобразование сохраняет важные характеристики объектов. Так, отрезок длины l переходит в отрезок той же длины l, треугольник переходит в равный треугольник, два вектора, выходящие из одной точки с углом α между ними, переходят в два вектора той же длины с тем же углом между ними. В частности, не нарушается коллинеарность векторов. Сохраняются ранг, определитель и собственные значения матрицы, скалярное произведение и нормы векторов [1, 2] и др. Образно говоря, при ортогональном преобразовании происходит перемещение всего пространства как твердого тела [1].

   Убедимся, что ортогональное преобразование (6) (преобразование S) действительно является симметрией структуры каждого из выражений (3)–(5).

   Возьмем, для примера, выражение (4) для дивергенции вектора

   

   .

   Так как:

   

   то с учетом (6) получаем:

   

   Аналогично выводим, что:

   

   и

   

   Тогда

   

   Применяя теперь преобразование (6) к вектору

   

   , приходим к равенству:

   

   Таким образом, ортогональное преобразование S действительно является симметрией структуры дивергенции векторного поля

   

   [3].

   Аналогичным образом устанавливаем такой же результат и в отношении (3) и (5) [3].

2. От выражений (3)–(5) мы можем теперь перейти к уравнениям, содержащим эти выражения. Такие уравнения чрезвычайно широко встречаются в физике.

Напишем, например, закон сохранения некоторой физической субстанции в дифференциальной форме:



где Q и



— плотность и плотность потока субстанции соответственно, w — мощность источников этой субстанции.

Теперь мы можем утверждать, что ортогональное преобразование S является симметрией структуры уравнения (16), иначе говоря, при этом воздействии структура закона сохранения не изменится.

Далее, равенство, выражающее потенциальность некоторого векторного поля



, имеет, как известно, вид:



где Q — потенциал, а χ — коэффициент пропорциональности.

Равенство (17), заметим, является еще и выражением коллинеарности векторов



и gradQ.

И вновь ортогональное преобразование S является симметрией структуры закона, выражаемого равенством (17).

Равенства (16) и (17) обладают широким спектром физических интерпретаций. Многие из них освещены в [4, 5], и повторять их здесь мы не будем.

Рассмотрим систему уравнений Максвелла, описывающую электромагнитное поле в пустоте:



(Обозначения общепринятые [6, 7].)

Рассматривая эту систему в свете изложенного, мы можем констатировать, что указанное ортогональное преобразование S оказывается симметрией и для уравнений Максвелла электромагнитного поля в пустоте: преобразование S сохраняет структуру каждого из уравнений (18)–(21).

Это же преобразование S не нарушает структуру определений напряженностей



и 



электрического и магнитного полей через векторный



и скалярный φ потенциалы [7]:



а также структуру калибровочного условия Лоренца [8]:



(вид которого формально совпадает с (16)) и, конечно, структуры некоторых других уравнений.

Подчеркнем, однако, что указанная симметрия S структуры всех рассмотренных здесь уравнений подразумевает ортогональное преобразование только лишь пространственных переменных и совсем не затрагивает временную переменную (если таковая в уравнении присутствует).

3. Итак, рассматриваемое ортогональное преобразование S играет роль симметрии структур каждого из дифференциальных выражений первого порядка (3)–(5). Но такой факт наводит на мысль, что, может быть, это же преобразование S окажется симметрией структур еще и дифференциальных выражений второго порядка, образованных допустимыми суперпозициями выражений (3)–(5). Это действительно имеет место.

Рассмотрим, например, выражение:

div(k(Q)gradQ) = k(Q)div gradQ+k′(Q)(gradQ)², (25)

где k(Q) — некоторая дифференцируемая функция, а



и



Возводя равенства (11)–(13) в квадрат, а затем складывая и привлекая (9), убеждаемся, что S есть симметрия структуры выражения (27).

Можно показать, что преобразование S является также симметрией структуры выражения (26).

Но тогда S есть также симметрия структуры и первоначального выражения (25).

Следовательно, этой же симметрией S обладает, например, структура уравнения вида:



Вновь подчеркнем, что преобразованию подвергаются только пространственные координаты.

Уравнение (28) обладает множеством различных физических интерпретаций [4, 5], на которых мы не будем здесь останавливаться.

Предоставляем читателю проконтролировать наличие такого же свойства симметрии у других возможных сочетаний выражений (3)–(5).

Литература

1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 2. М.: Наука, 1972.
2. Сигорский В. П. Математический аппарат инженера. Киев: Технiка, 1975.
3. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 2. М.: Высшая школа, 1981.
4. Ибраева Е. Т., Пеньков Ф. М., Пустыльников Л. М. Математика и управление в физике. Лекции для одного студента. Т. 1. Алматы: ИЯФ, 2006.
5. Ибраева Е. Т., Пеньков Ф. М., Пустыльников Л. М. Математика и управление в физике. Лекции для одного студента. Т. 2. Алматы: ИЯФ, 2007.
6. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Гостехтеориздат, 1953.
7. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М.: Наука, 1967.
8. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1966.