Оценка качества линейных динамических систем в среде VisSim и Mathcad

№ 1’2016
PDF версия
Получены коэффициенты ошибок линейных динамических систем в установившемся режиме по положению, скорости и ускорению. Исследована зависимость коэффициентов ошибок от параметров динамической системы. Результаты исследований могут быть полезны при проектировании оптимальных по быстродействию и статической точности измерительных приборов и систем.

В статье рассматриваются вопросы исследования показателей качества линейных динамических систем [1] в установившемся режиме с использованием программных продуктов VisSim и Mathcad. В качестве примера предложена динамическая система с единичной обратной связью, передаточная функция которой имеет вид:

Формула

Передаточная функция динамической системы по ошибке определяется выражением:

Формула

Коэффициенты ошибок можно определить, если передаточную функцию (2) динамической системы по ошибке разложить в ряд Тейлора:

Формула

где с0 — коэффициент ошибки по положению; с1 — коэффициент ошибки по скорости; с2 — коэффициент ошибки по ускорению; сi — коэффициент ошибки с более высоким порядком производной.

Вычисление коэффициентов ошибки способом непосредственного дифференцирования передаточной функции по ошибке Wе(s)очень трудоемок и малоэффективен [2]. Поэтому разложение в ряд Тейлора передаточной функции по ошибке Wе(s) проведем с использованием программного продукта Mathcad. Разложение в ряд Тейлора и вычисление ошибок приводится ниже:

Формула

Таким образом, поведение ошибки регулирования e(t) во времени при входном сигнале Х(t) может быть представлено рядом:

Формула

а на основе проведенного анализа расчета коэффициентов ошибок в среде Mathcad возникающие в следящей динамической системе статические ошибки по положению, скорости и ускорению определяются не столько входным сигналом Х(t), сколько свойствами самой системы (параметрами) — коэффициентами статических ошибок.

Модели замкнутой динамической системы с передаточной функцией (1) в среде VisSim для вычисления коэффициента ошибки по положению с0, скорости с1 и ускорению с2 приведены соответственно на рис. 1–3.

Определение коэффициента ошибки С0 по положению (рис. 1) производится при входном воздействии (сигнале) X(t) = 1(t). Поэтому в установившемся режиме сигнал ошибки управления равен коэффициенту ошибки по положению e(t) = C0.

Определение коэффициента ошибки С0 по положению для замкнутой динамической системы в установившемся режиме

Рис. 1. Определение коэффициента ошибки С0 по положению для замкнутой динамической системы в установившемся режиме

При определении коэффициента ошибки С1 по скорости (рис. 2) используют входное воздействие (сигнал) X(t) = 1(tt. В установившемся режиме сигнал ошибки управления e(t) = C0×1(tt+C1×1(t).

Определение коэффициента ошибки С1 по скорости для замкнутой динамической системы в установившемся режиме

Рис. 2. Определение коэффициента ошибки С1 по скорости для замкнутой динамической системы в установившемся режиме

Поэтому С1 = e(t)–C0×1(tt.

Коэффициент ошибки по ускорению С2 (рис. 3) определяют при входном воздействии X(t) = 1(tt2/2. В установившемся режиме сигнал ошибки управления e(t) == C0×1(tt2/2+C1×1(tt+C2×1(t).

Определение коэффициента ошибки С2 по ускорению для замкнутой динамической системы в установившемся режиме

Рис. 3. Определение коэффициента ошибки С2 по ускорению для замкнутой динамической системы в установившемся режиме

Тогда С2 = 2×[e(t)–C0×1(tt2/2–C11(tt].

На рис. 4 представлен график зависимости коэффициентов ошибки С0, С1 и С2 от коэффициента обратной связи (Kос) замкнутой динамической системы (1).

Зависимость коэффициентов ошибок от коэффициента обратной связи Kос замкнутой динамической системы

Рис. 4. Зависимость коэффициентов ошибок от коэффициента обратной связи Kос замкнутой динамической системы:
а) коэффициента ошибки С0 по положению;
б) коэффициента ошибки С1 по скорости;
в) коэффициента ошибки С2 по ускорению

Анализ определения коэффициентов С0, С1 и С2 в среде Mathcad и среде VisSim показал, что различие коэффициентов ничтожное. Различие в определении коэффициента ошибки С0 по положению составляет 0,068%, коэффициента ошибки С1 по скорости — 0,13% и коэффициента ошибки С2 по ускорению — 1,03%.

Литература
  1. ГОСТ 8.009-84 «ГСИ. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений».
  2. Никулин Е. А. Основы теории автоматического управления. Частотные методы анализа и синтеза систем / Учебное пособие для вузов. СПб: БХВ‑Петербург, 2012.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *