Линейный интерполятор на устройствах выборки/хранения с потерями: модель и практическая реализация

№ 6’2014
PDF версия
В статье рассматривается математическая модель и практическая реализация простого линейного интерполятора на основе интегратора. Интерполяторы используются для восстановления исходного модулирующего сигнала при амплитудно-импульсной модуляции (АИМ). Сам по себе этот вид модуляции ввиду малой помехоустойчивости применяется крайне редко, но сигналы с АИМ являются конечными для других помехоустойчивых видов модуляции, которые используются при синхронном линейном временном уплотнении каналов. Это вызвано тем, что требования к линейности группового тракта при временном разделении каналов не столь высоки, как для других способов передачи информации. Это упрощает построение системы в целом. Сигналы с АИМ являются производными и при цифро-аналоговом преобразовании.

Процесс формирования сигналов с АИМ прост, он показан на рис. 1 (Здесь и далее для моделирования использовался симулятор Multisim компании National Instruments). Из исходного сигнала F (рис. 1а) осуществляется выборка значений его амплитуд с периодом 1/Fопр (рис. 1б). Амплитуды выборок (рис. 1в) переводятся в помехоустойчивый вид модуляции или кодируются помехоустойчивым кодом, передаются и на приемном конце опять восстанавливаются в последовательность импульсов с амплитудной модуляцией. Остается только одно: извлечь из такого сигнала исходный модулирующий. В теории радиотехнических систем передачи информации это решается при помощи фильтра низкой частоты (ФНЧ). Однако есть и иной способ восстановления модулирующего сигнала — это интерполяция, то есть соединение амплитуд выборок кусочно-ломаной кривой. Как правило, используется ступенчатая интерполяция (рис. 1г). Чтобы понять преимущества интерполяции по сравнению с выделением полезного сигнала с помощью фильтра низкой частоты (ФНЧ), обратимся к рис. 1 и формуле (1), описывающей сигнал с АИМ.

Сигнал с амплитудно-импульсной модуляцией и пример его восстановления методом ступенчатой интерполяции

Рис. 1. Сигнал с амплитудно-импульсной модуляцией и пример его восстановления методом ступенчатой интерполяции:
а) исходный синусоидальный сигнал F = 2 кГц;
б) сигнал опроса канала Fопр = 10 кГц;
в) промодулированная синусоидальным сигналом F последовательность импульсов Fопр;
г) восстановление исходного сигнала F методом ступенчатой интерполяции

Сигнал в виде периодического прямоугольного колебания, модулированного, например, функцией U(1+mcos2πFt), представляет собой бесконечную функцию, состоящую из набора гармоник:

Формула

где Tопр — период опроса каналов, Fопр = = 1/Tопр; t — длительность импульса опроса канала; F — частота полезного сигнала; U — амплитуда импульса (при отсутствии модуляции); m — индекс модуляции (от 0 до 1).

Согласно формуле (1) в спектре сигнала с АИМ присутствует составляющая полезного сигнала с частотой F в сумме с гармониками частоты опроса канала Fопр и комбинационными гармоническими составляющими с частотами kFопр±F. Таким образом, полезный сигнал может быть выделен ФНЧ с частотой среза, равной максимальной частоте полезного сигнала.

Для этого необходимо использовать фильтры, которые не обладают неравномерностью в полосе пропускания. Здесь подходят фильтры Бесселя и Баттерворта. Согласно анализу, проведенному в [1], при отношении Fопр/Fmax = 3 для величины погрешности не более 5%, будет нужен фильтр с крутизной не менее 30 дБ/октава. То есть порядок фильтра Баттерворта должен быть не менее пяти. Для погрешности не более 1% уже потребуется фильтр не ниже 10‑го порядка. Для фильтров Бесселя порядок фильтров будет еще выше. Такие фильтры сложно реализовать, особенно если речь идет о низкочастотных и инфранизкочастотных сигналах, характерных для телеметрии. Кроме того, при выделении полезного сигнала из спектра АИМ-фильтром мы имеем неизбежное ухудшение отношения сигнал/шум по отношению к уровню исходного сигнала. Это происходит из-за энергетических потерь спектра при временном разделении. Их определяет множитель t/Tопр в формуле (1).

Еще один важный момент, который опускается при рассмотрении именно радиотехнических систем, заключается в том, что при отношениях Fопр/Fmax, близких к предельному значению, которое равно двум, необходимо учитывать еще и влияние функции sin(πFTопр)/πFTопр. Таким образом, на приемном конце отношение сигнал/шум даже без учета влияния функции sin(πFTопр)/πFTопр ухудшится как минимум на 20lg(t/Tопр) по отношению к исходному уровню полезного сигнала.

Какой же выход из этого положения? Выход в использовании интерполяции. Как уже говорилось, наиболее часто используется ступенчатая аппроксимация (рис. 1г). Причина этого — в простоте ее реализации. Суть в том, что на приемном конце искусственно увеличивается длительность импульса опроса канала. Это решается за счет устройства выборки/хранения (УВХ). В УВХ по команде блока управления записывается амплитуда импульса из АИМ-последовательности. Ее величина удерживается в УВХ до прихода следующего управляющего импульса. Управляющие импульсы синхронизированы с импульсами выборки заданного канала.

Этот метод значительно проще прямой фильтрации. При использовании ступенчатой аппроксимации имеет место не столь значительное ухудшение отношения сигнал/шум, поскольку при равенстве t = Tопр составляющие с гармониками частоты опроса будут отсутствовать, остаются лишь составляющие комбинационных гармоник с частотами kFопр±F и полезный сигнал F с наложенной на него передаточной функцией:

Формула

В этом случае, как видно, ступенчатый интерполятор играет роль интерполирующего фильтра низких частот. Экспоненциальный член показывает, что такой фильтр создает задержку, равную Tопр/2. Восстановленный таким образом сигнал обрабатывают дополнительным ФНЧ уже не столь высоких порядков, как при прямой фильтрации, и на этом разработка схемы для восстановления заданного сигнала обычно заканчивается.

При сравнении восстановленный методом ступенчатой интерполяции сигнал (рис. 1г) все же значительно отличается от исходного сигнала (рис. 1а) даже при Fопр/Fmax = 5. Это отличие будет тем больше, чем ближе к предельному значению согласно теореме Котельникова отношение Fопр/Fmax. Из этой ситуации есть два выхода. Первый — это использовать дополнительный фильтр относительно высокого порядка, второй — перейти к линейной интерполяции. Ее суть заключается в том, что точки выборки сигнала будут соединяться не кусочно-ломаной функцией в виде ступенек, а наклонными линиями. Это дает существенный выигрыш в точности восстановления сигнала при отношениях Fопр/Fmax, близких к предельному значению, которое равно двум. К сожалению, на практике такой вид интерполяции из-за своей сложности в реализации используется крайне редко. Но действительно ли все так сложно?

Этот вопрос автор статьи задал себе при разработке внутриобъектовой системы связи с временным уплотнением каналов. Проблема заключалась в том, что кроме жестких ограничений по себестоимости изделия требовалось обеспечить не только разборчивость передаваемой речи, но и передать несколько более широкополосных, чем телефонные, информационных каналов с относительно малыми искажениями. При этом пропускная способность линий связи по верхней частоте Fопр была ограничена, то есть возможность увеличивать отношение Fопр/Fmax отсутствовала.

Общая блок-схема линейного интерполятора

Рис. 2. Общая блок-схема линейного интерполятора

За основу было взято общее универсальное техническое решение линейного интерполятора, приведенное в одной из ранних монографий профессора И. М. Теплякова [1]. В оригинале оно представляет собой два классических последовательно включенных фильтра со ступенчатой аппроксимацией (на линиях задержки и интеграторах). Это решение было транспонировано (преобразовано) автором статьи в более простой вариант решения линейного интерполятора (рис. 2). Сложные для реализации линии задержки были заменены на интерполирующие фильтры низких частот со ступенчатой аппроксимацией. (Как было показано выше, они имеют время задержки, равное Топр/2.) В результате интерполятор представляет сумму двух линейных функций U1(t) и U2(t), полученных после интегрирования двух величин напряжения, сохраняемых в УВХ1 и УВХ2. При этом функция U2(t) является результатом интегрирования функции U1(t), полученным за время, равное периоду опроса Топр, и, соответственно, сдвинута по времени на период опроса. Далее это техническое решение было еще более упрощено (рис. 3).

Трансформированная блок-схема линейного интерполятора

Рис. 3. Трансформированная блок-схема линейного интерполятора

Здесь мы на входе интегратора получаем две ступенчатые функции: U1(t) и U2(t). При этом функция U2(t) имеет задержку по времени, равную времени осуществления выборки Топр. Положим, что входной сигнал Uin(t) — это некоторое постоянное напряжение U, которое не изменяется по крайней мере в течение двух периодов опроса. Эта величина напряжения U по сигналу управления записывается в УВХ1 и поступает на вход суммирующего инвертирующего интегратора. Его выходное напряжение будет определяться как:

Формула

где τ1 — это постоянная времени интеграции по входу U1(t) интегратора.

Если τ1 = T, где T = Топр, тогда Uout(t) = –U. Через время T, равное Топр, выходное напряжение интегратора Uout(t), в этом случае равное Uout(T), будет по импульсу управления записано в УВХ2 и подано на второй вход интегратора. Выходное напряжение интегратора Uout(t) в этом случае будет равно:

Формула

где τ2 — это постоянная времени интеграции по входу U2(t) интегратора.

Если τ1 = τ2 = T, где T = Топр, тогда:

Uout(t) = –U.                (2)

Это условие равновесия системы, потому что в данном случае мы имеем постоянное выходное напряжение, равное по модулю входному до тех пор, пока входное напряжение системы не будет изменено. А значит:

Формула

Допустим, что входной сигнал Uin(t) получил некоторое приращение U:

Формула

Таким образом, при условии соблюдения определенного выше условия равновесия (2), за время T = Топр выходной сигнал будет равен:

Uout(t) = –(U+U).

То есть выходной сигнал изменится на величину приращения U в течение интервала Топр. Изменение будет аппроксимировано функцией типа A(t)~(t/τ) в интервале Топр. Таким образом, мы имеем линейно-интерполирующую систему.

Для упрощения схемотехнического решения оба УВХ можно заменить аналоговыми ключами (S1, S2) и конденсаторами (C1, C3). В этом случае мы получим УВХ с потерями, вызванными разрядом их запоминающих емкостей через входное сопротивление интегратора. Именно такое решение было использовано в разработанной автором статьи системе связи (рис. 4). В нее были включены микросхема 564КТ3 (четыре аналоговых ключа с управлением от цифровой логики) и операционный усилитель 544УД2. На выходе схемы потребовалось установить дополнительный ФНЧ первого порядка.

Практическая схема линейного интерполятора

Рис. 4. Практическая схема линейного интерполятора

Для приведенной схемы важно выполнить два начальных условия. Первое — сопротивление ключей S1 и S2 в открытом состоянии должно быть пренебрежимо мало по сравнению с номиналами сопротивлений R1 и R2 соответственно. Второе — длительность импульса управления должна значительно превышать время заряда конденсаторов С1 и С3 через открытые ключи S1 и S2 соответственно. Это исключает внесение дополнительных погрешностей.

Конденсатор C1 после завершения записи на него величины входного сигнала будет разряжаться через резистор R1, а входной сигнал интегратора будет изменяться по закону:

Формула

где τ1 — постоянная времени разряда, равная C1R1.

Этот сигнал будет проинтегрирован и инвертирован. То есть выходной сигнал интегратора составит:

Формула

Положим R1 = R2, C1 = C3. В этом случае постоянные интегрирования (τ) интегратора по его обоим входам будут равны: C2R1 = C2R2.

Через время T = Tопр выходное напряжение интегратора составит:

Формула

Таким образом, если:

Формула

тогда

Uout(t) = –U.              (3)

Это условие равновесия упрощенного варианта линейного интерполятора, в котором используются УВХ с потерями. Примем это условие.

Следующий управляющий импульс восстановит уровень напряжения на конденсаторе C1 до величины U и зарядит конденсатор C3 до величины –U. Оба эти значения будут проинтегрированы, но уровень выходного напряжения не изменится. Напоминаем, что постоянные времени электрического разряда этих конденсаторов равны, и значения сигналов равны по модулю, но имеют противоположную полярность.

Формула

Положим, как и в выше рассмотренном варианте исполнения интерполятора, что входной сигнал Uin(t) имеет некоторое приращение U. В этом случае:

Формула

Если условие равновесия системы было выполнено, то в течение периода Tопр уровень выходного сигнала будет изменен на величину U, так как:

Формула

или

Uout(t) = –(U+U).

Это изменение будет аппроксимировано функцией типа A(t)~(τ1/τ)(1–e–(t/τ1)) на интервале времени, равном Tопр. Судя по приведенной формуле, это экспоненциальная аппроксимирующая функция: мы явно видим некоторый экспоненциальный фактор.

Применим выведенное ранее условие равновесия для этой функции:

Формула

После дифференцирования имеем следующее:

Формула

Мы видим, что выражение (e–(t/t1)/(e–(Tопр/t1)) стремится к единице, если τ1 стремится к бесконечности. Таким образом, если τ1 >> Tопр, то аппроксимирующая функция в течение периода времени, равного Tопр, будет A(t)~t/T или A(t)~t/τ, то есть она будет линейной. Таким образом, в этом случае мы имеем линейно-интерполирующую систему, приближенную к идеальной, которая была рассмотрена выше на УВХ без потерь, но такая ее реализация оказывается значительно проще. Впервые свое видение таких моделей линейного интерполятора и математические модели, описывающие его поведение, автор статьи в упрощенном виде изложил в журнале Electronics World в тематическом выпуске, посвященном вопросам телекоммуникаций [2].

Линейный интерполятор (при соблюдении формулы равновесия), как и его ступенчатый прототип, представляет собой ФНЧ, но с передаточной функцией:

Формула

Еще одно отличие в том, что линейный интерполятор дает фазовую задержку, равную Tопр (для ступенчатого интерполятора задержка составляет Tопр/2), которая в отличие от фильтров иных типов не зависит от частоты сигнала. Таким образом, интерполятор можно использовать как регулируемую линию задержки.

Примечание. Необходимо учитывать, что схемы интерполяторов (рис. 4 и 6) кроме упомянутой фазовой задержки дополнительно инвертируют сигнал на 180°.

Для более полного понимания процесса следует проанализировать временные диаграммы, приведенные на рис. 5.

Восстановление исходного синусоидального сигнала интерполятором

Рис. 5. Восстановление исходного синусоидального сигнала интерполятором:
а) исходный синусоидальный сигнал F = 2 кГц;
б) сигнал опроса канала Fопр = 10 кГц;
в) форма сигнала на выходе интерполятора;
г) форма сигнала после ФНЧ
Примечание. Выходные сигналы интерполятора для наглядности инвертированы.

Непосредственно на выходном сигнале (рис. 5в) есть импульсная помеха. В реальном изделии ее причиной автор считал коммутационные помехи из-за несовершенства аналоговых ключей 564КТ3 и неоптимальной разводки печатной платы. Помехи были устранены добавкой ФНЧ первого порядка (R4, C4) с частотой среза, близкой к 1/2Топр (рис. 5г).

Использование описанного выше линейного интерполятора позволило разработать систему связи с высокими техническими характеристиками. Так, отношение сигнал/шум даже в широкополосных каналах было на уровне 60 дБ, а уровень нелинейных искажений от входа в систему до ее выхода не превысил нескольких десятых процента. Коэффициент передачи интерполятора на низких частотах, как и следует из приведенного выше математического анализа, равен единице. Максимальная амплитуда выходного сигнала ограничивается напряжением питания, свойствами ОУ интегратора и характеристиками аналоговых ключей. Длительность управляющего импульса необходимо выбирать из условия обеспечения заряда конденсаторов С1 и С3 до величины напряжения импульса выборки канала.

Однако, как оказалось, причина помехи при восстановлении сигнала была не полностью связана с коммутационными помехами. Помеха возникала в результате реакции ОУ интегратора на емкостную нагрузку (конденсатор С3) через малое сопротивление ключа в открытом состоянии — параметр RDS(ON). Автор выяснил это при более детальном анализе ее происхождения во время недавней работы над своим новым проектом.

Практическая схема линейного интерполятора на современной элементной базе с компенсацией влияния емкости нагрузки интегратора

Рис. 6. Практическая схема линейного интерполятора на современной элементной базе с компенсацией влияния емкости нагрузки интегратора

На современной элементной базе рассмотренный в статье линейный интерполятор с учетом компенсации влияния емкостной нагрузки на интегратор принимает вид, представленный на рис. 6. (Этот уточненный вариант линейного интерполятора автор ранее не публиковал.) Для компенсации влияния емкостной нагрузки в его схему введен повторитель напряжения на DA1-2. Временные диаграммы его работы приведены на рис. 7. (Сравните с рис. 1 и 5. Мы специально выбрали идентичные исходные сигналы.)

Восстановление исходного синусоидального сигнала интерполятором

Рис. 7. Восстановление исходного синусоидального сигнала интерполятором:
а) исходный синусоидальный сигнал F = 2 кГц;
б) сигнал опроса канала Fопр = 10 кГц;
в) сигнал на выходе интерполятора;
г) сигнал после ФНЧ с частотой среза fc = 8 кГц
Примечание. Выходные сигналы интерполятора для наглядности инвертированы.

При компьютерном моделировании игольчатые выбросы на выходе интерполятора (рис. 6) для реальных управляющих импульсов полностью отсутствовали. Чтобы следы коммутационной помехи были видны, для наглядности (рис. 7в) при создании модели для данной статьи управляющий импульс пришлось задать с абсолютно нереальными в обычной ситуации фронтами крутизной в 1 нс. На практике, при правильной разводке печатной платы и уменьшении крутизны фронтов управляющих импульсов их влияние будет практически незаметно. Как крайний случай — можно поставить на выходе интерполятора ФНЧ первого порядка. (Результат приведен на рис. 7г. Этот фильтр на схеме рис. 6 не показан.) Справедливости ради нужно отметить, что в ряде случаев проблему влияния емкостной нагрузки можно решить добавлением между ОУ и ключом резистора номиналом порядка 100 Ом.

Применение в схеме линейного интерполятора УВХ без потерь не дало сколько-нибудь ощутимого результата, кроме значительного удорожания изделия. Таким образом, все выше изложенные соображения оказались полностью верны.

На практике можно выбрать постоянную времени интегрирования больше расчетной. Все зависит от имеющегося запаса отношения Fопр/Fmax и, соответственно, допустимого уровня частотных искажений. В схеме, представленной на рис. 6, при увеличении постоянной времени интеграции со 100 до 180 мкс частота среза по уровню –3 дБ изменится с 3 до 1,2 кГц. В общем случае формула равновесия — это лишь граничное условие системы, ниже которого опускаться нельзя. Сигнал будет искажен, если постоянная интегрирования будет меньше, чем ее расчетная величина, потому что тогда реакция на приращение входного сигнала U будет больше, чем приращение его значения, то есть будет иметь место выброс. Особенно это будет заметно на сигналах с крутыми фронтами (рис. 8).

Восстановление исходного импульсного сигнала интерполятором

Рис. 8. Восстановление исходного импульсного сигнала интерполятором:
а) исходный сигнал: частота — 200 Гц, длительность — 1,5 мс;
б) сигнал опроса канала Tопр = 100 мкс;
в) форма сигнала на выходе интерполятора при полном соблюдении условия равновесия R1C2 = R3C2 = 100 мкс (в соответствии с математической моделью амплитуда импульса восстановилась за один период опроса);
г) форма сигнала на выходе интерполятора при нарушении условия равновесия R1C2 = R3C2 = 70 мкс
Примечание. Выходные сигналы интерполятора для наглядности инвертированы.

В предлагаемом интерполяторе не нужно использовать прецизионные резисторы и конденсаторы. При выборе типа операционного усилителя необходимо учитывать, что реальный операционный усилитель сам по себе без обратной связи начиная с некоторой частоты (она указывается в спецификации) уже является интегратором. Это особенно важно при проектировании интерполяторов для работы на высоких частотах. Минимально допустимая величина емкости конденсатора в цепи обратной связи интегратора будет меньше расчетной. Включение в схему (рис. 6) ИМС TLC2272 было вызвано исключительно особенностями проектируемого изделия.

Необходимо также принимать во внимание особенности использования аналоговых ключей. Кроме учета сопротивления ключа в открытом и закрытом состоянии, следует учитывать и особенности их подключения. Некоторые из ключей имеют раздельное питание аналоговой и управляющей частей (например, ADG417) или могут работать как в однополярном, так и в двухполярном включении (например, MAX4544) с независимым управлением логическими уровнями. Есть ключи, у которых цепи коммутации и управления построены так, что они будут работать только с заданным смещением (при однополярном питании ОУ) или с расщепленным питанием и управлением от потенциала источника отрицательной полярности (он будет считаться уровнем «лог. 0»), как это показано на рис. 6.

Предлагаемая схема линейного интерполятора ненамного сложнее традиционных ступенчатых, а с учетом ее преимуществ в линейности и отсутствия сложных дополнительных фильтров — даже проще, к тому же такой интерполятор имеет ряд преимуществ. Линейный интерполятор (рис. 4, 6) можно использовать как управляемый изменением Топр фильтр (ФНЧ). При выполнении выведенного автором статьи условия равновесия (3) он не имеет неравномерностей (выбросов) в полосе пропускания, и, следовательно, его реакция на импульсное воздействие отсутствует (рис. 8в). Частота среза ФНЧ, образованного интерполятором, может быть установлена соответствующим выбором постоянной времени интегрирования или частотой опроса. (Судя по математической модели, они взаимосвязаны). Частота среза такого ФНЧ будет увеличиваться, если постоянная времени интегрирования будет уменьшена до расчетной, и наоборот. При этом, естественно, кроме выполнения граничного условия равновесия (3), следует помнить и об ограничениях теоремы Котельникова. При практической реализации необходимо правильно выбрать длительность управляющих импульсов и их положение по отношению к АИМ-последовательности. На практике автор использовал импульсы управления длительностью (0,5 ±0,1) мкс. Еще одна интересная область применения предлагаемого интерполятора — это управляемые линии задержки, о чем говорилось выше.

Литература
  1. Тепляков И. М. Радиотелеметрия. М.: Советское радио, 1966.
  2. Rentyuk V. The Simple Interpolation System (The mathematical model of a linear interpolator and its practical applications) // Electronics World. Nov. 2009.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *