Прогнозирование деградации выходных параметров ТТЛ ИС

Пример использования ARX-моделей для моделирования процесса деградации параметра U_OL ТТЛ ИС типа 133ЛА8 в системе MatLab/Simulink

Проанализируем по результатам испытаний на долговечность в течение 150 тыс. ч выборку из 20 ТТЛ ИС типа 133ЛА8. Эти ИС являются аналогом зарубежных ИС типа SN5401. По функциональному назначению ИС представляет собой четыре 2-входовых схемы И-НЕ с открытым коллекторным выходом (элементы контроля).

Контроль электрических параметров при испытаниях на долговечность проводился на заводе-изготовителе НПО «Интеграл» (Минск) в соответствии с ОСТ 11.0787-90 («Оборудование для испытаний ИС на безотказность и долговечность. Общие технические требования») и ТУ на ИС серии 133. Измерение параметров проводилось с использованием автоматизированного испытательного оборудования производителя. Погрешность измерений параметров ИС типа 133ЛА8 при испытаниях на долговечность была не хуже 3% для параметра «выходное напряжение низкого уровня (U_OL)» и 1% для параметра «выходное напряжение высокого уровня (U_OH)». За время испытаний отказов зафиксировано не было.

Серия 133 выпускается НПО «Интеграл», а серии 106 и 134 выпускаются ВЗПП (Воронежский завод полупроводниковых приборов) для РЭА с длительным сроком активного существования (ДСА) в значительных количествах с 1968 года. Так, ИС серий 106 и 134 по данным завода-изготовителя ВЗПП за 1975–1995 гг. было выпущено более 150 млн шт. Надежность ИС серии 106, 134 по данным изготовителей РЭА оценивалась в 1980 году величиной интенсивности отказов менее 1×10^–9 ч^–1, то есть схемы по отечественной классификации обладали сверхвысокой надежностью.

Для исследования процесса деградации выберем наихудшие значения параметра U_OL в выборке из 20 шт. Временной ряд замеров параметров ИС типа 133ЛА8 при испытаниях на долговечность в течение 150 тыс. ч имеет вид: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 35; 40; 45; 50; 60; 70; 80; 90; 100; 110; 120; 130; 140; 150 тыс.ч. Общее число замеров N = 45, средняя продолжительность между замерами 150 тыс. ч / 45, то есть 3333 ч. Отказов за время испытаний (достигнута величина гарантийной наработки) зафиксировано не было. Ряд деградации имеет вид (в примерах вектор in, x):

Авторегрессионные модели (ARX-модель — обозначение, принятое в MatLab, или АР-модель) на практике оказались исключительно полезными для описания временных рядов. Они пригодны для описания случайных систем, обладающих по аналогии с механикой инерцией и подверженных действию сил, возвращающих систему в состояние равновесия.

ARX- и ARMAX-модели используются в MatLab в основном для построения цифровых фильтров, связанных с обработкой сигнала, и моделей динамических систем. Эти модели пригодны для анализа временных рядов в частном случае. Когда внешний вход системы отсутствует, получим AR-модель, то есть u_t = 0, y_t = U_OL(t), nb = 0 и nk = 0:

Воспользуемся функцией iddata для формирования временного ряда и функцией arx для оценки параметров модели a_i и b_i. Параметры модели оцениваются линейным МНК с использованием QR-декомпрессии для решения системы линейных уравнений. Вызов функции осуществляется следующим образом: m = arx(Data,[na nb nk]). Для ряда деградации параметра U_OL (обозначим входной сигнал переменной in) ИС типа 133ЛА8 ARX-модель имеет вид: y(t) – 5.526y(t – 1) – 0.4625y(t – 2) = e(t).

Пример построения ARX-модели с использованием функции iddata:

Проверим адекватность ARX-модели на части ряда. Для этого ряд деградации разбивается на два ряда y1 (20 точек) и y2 (35 точек). К ряду y2 подгоняется модель ARX c параметром na = 2 и строится прогноз с задержкой k = 3, не превышающий глубину исходного ряда (рис. 1). Для проверки качества прогноза воспользуемся функцией compare. На рис. 1 видно, что модель авторегрессии второго порядка по усеченным данным «хорошо» описывает процесс деградации параметра U_OL. Для более детального исследования адекватности ARX-модели необходимо использовать модуль ident системы MatLab.

Пример использования ARX-моделей для моделирования процесса деградации параметра U_OL ТТЛ ИС типа 133ЛА8 и модуля ident системы MatLab

Воспользуемся модулем ident системы MatLab с графическим интерфейсом (рис. 2а), для идентификации параметров ARX-моделей. Доступны параметрические модели ARХ, ARMAХ, OE, BJ, State Space и спектральные (например, функция спектрального анализа SPA). Модуль ident позволяет задавать (рис. 2б) и вычислять параметры подгоняемых моделей (рис. 2в), строить выходной график модели и прогноз (рис. 2г), строить автокорреляционную функцию (АКФ) остаточных ошибок модели (рис. 2д), вычислять спектральную оценку мощности остаточных ошибок моделей (рис. 2е).

Пример моделирования процесса деградации параметра U_OL ТТЛ ИС типа 133ЛА8 с использованием методов авторегрессионного анализа и библиотеки DSP Blockset в системе MatLab/Simulink

Так как заранее установлено, что временной ряд деградации параметра UOL ИС типа 133ЛА8 представляет авторегрессионный процесс, то можно использовать ряд методов авторегрессионного анализа: arcov (ковариационный метод), armcov (модифицированный ковариационный метод), arburg (метод Берга), aryule (авторегрессионный метод Юла-Уолкера). Эти методы отличаются друг от друга способом оценивания коэффициентов авторегрессионной модели. Все функции позволяют синтезировать «чисто рекурсивные» фильтры, функция передачи которых имеет только полюсы.

На рис. 3а показан расчет коэффициентов авторегрессионной модели АР(2) с использованием различных методов в системе MatLab/Simulink: метода Юла-Уолкера (Yule-Walker), метода Берга (Burg AR), ковариационного метода (Cov AR), метода, основанного на минимизации ошибки линейного предсказания (Linear Predictive Coding), с использованием рекурсивного алгоритма Левинсона-Дарбина и реализация рекурсивного алгоритма Левинсона-Дарбина. Метод LPC и метод Юла-Уолкера дают идентичные результаты, так как базируются на одинаковых теоретических подходах. Метод Берга и ковариационный метод дают более точные оценки параметров. Например, метод Берга требует минимизации ошибок предсказания вперед и назад, при условии, что АР-параметры должны удовлетворять рекурсивному уравнению Левинсона-Дарбина. На рис. 3б представлен спектральный анализ. Результаты оценивания параметров представлены в таблице 1.

Пример использования ARX-моделей для моделирования процесса деградации параметра U_OL ТТЛ ИС типа 133ЛА8 и библиотеки System ID Bloks системы MatLab/Simulink

Для моделирования (прогнозирования) процесса деградации параметра U_OL (сигнал X) воспользуемся библиотекой System ID Bloks (блок идентификации систем с использованием различных моделей AR, ARX, ARMAX, BJ, OE) системы MatLab/Simulink. Выберем ARX-модель со следующими параметрами u_t = 0, y_t = U_OL(t), na = 0, nb = 0 и nk = 0:

На рис. 4 показано, как можно осуществить прогнозирование деградации параметра UOL с использованием блока идентификации систем. Модель имеет три входа: внешний вход (eXternal) u_t = 0, в нашем случае его нет, вход, на который подается временной ряд деградации параметра UOL, он же является выходом ARX-модели y_t = U_OL(t), и вход, на который подается шум e(t). Шум (остаточные ошибки линейного предсказания) получаем вычитанием из ряда деградации линейного предсказания КИХ-фильтра с коэффициентами a₁ = –0,5265 и a₂ = –0,4633. Оценки остаточных ошибок (среднее и дисперсия) показаны на рис. 4. Параметры блока ARX-модели показаны на рис. 5а. Предсказание сигнала X ARX-моделью показано на рис. 5б. Предварительно необходимо задать глубину буфера (Length of buffer) — число расчетных точек, а также параметры ARX-модели: na = 2, nb = 0, nk = 0. В процессе моделирования, в соответствии с заданными временем взятия отсчетов (Sample time) и числом точек, в которых необходимо рассчитать передаточные функции (Calculate after how many points), происходит автоматический расчет передаточных функций системы (полином A(z) = 1 + a₁z^–1 + a₂z^–2 и передаточная функция:

Пример прогнозирования процесса деградации параметра U_OL ТТЛ ИС типа 133ЛА8 в СПП SPSS и Statistica

Разделим прогнозы на точные (глубина прогнозирования ограничивается величиной 30 тыс. ч) и грубые (до наступления параметрического отказа). Под параметрическим отказом будем понимать пересечение верхней (для параметра U_OL) или нижней (для параметра U_OH) границей 90%-ного доверительного интервала АРПСС-модели границ отказовых уровней по ТУ.

Проведем вычисления параметров данной модели точным методом максимального правдоподобия (МП) с использованием СПП SPSS и Statistica for Windows. В таблице 2 показаны статистические оценки модели АРПСС(2,0,0), описывающей процесс деградации наихудших значений параметра U_OL ИС типа 133ЛА8 с использованием СПП SPSS (АРПСС(2,0,0)=АР(2)). В таблице 3 показаны статистические оценки модели АРПСС(2,0,0) с использованием СПП Statistica for Windows. Сравнивая оценки параметров модели (табл. 2 и 3), видим, что оценки параметров моделей, вычисленные в разных СПП, примерно одинаковы. Все полученные параметры модели значимы. Для исследования адекватности модели АРПСС(2,0,0) строились АКФ, ЧАКФ, спектральная плотность остаточных ошибок. Наличие корреляции в остаточных ошибках не обнаружено.

На рис. 6а показаны исходный ряд деградации параметра U_OL ИС типа 133ЛА8 и ряд, сгенерированный моделью АРПСС(2,0,0): Z_t – 0,535Z_t–1 – 0,447Z_t–2 = a_t , где значения белого шума at берутся как остаточные ошибки данной модели. Так же показаны точечный прогноз и 95%-ный доверительный интервал (интервальный прогноз). Вычисления сделаны с использованием СПП SPSS. На рис. 6б показано прогнозирование в СПП Statistica for Windows.

Под параметрическим отказом ИС типа 133ЛА8 по параметру U_OH будем понимать пересечение верхней границей 90%-ного доверительного интервала АРПСС-модели, границы отказового уровня по ТУ — 0,4 В (параметр U_OH по ТУ ограничен сверху, поэтому за параметрический отказ принимается условие: U_OH > 0,4 В).

АР-модели удобны при построении прогноза: прогнозные значения используются в авторегрессионном уравнении с увеличением упреждения прогноза для построения следующего прогнозного значения. Прогнозирование процесса деградации (точечный прогноз) осуществляется с использованием разностного представления модели АРПСС(2,0,0): Z_t+l – 0,536Z_t+l–1 – 0,452ZZ_t+l–2 = a_t+l , где l ≥ 1 есть упреждение. Неизвестные значения a_t+l полагаются равными нулю. Прогнозы

_t(l) в момент t будут иметь вид:

Поведение прогнозирующей функции процесса АРПСС(2,0,0) целиком определяется двумя значениями

_t (1) и

_t (2) (опорные прогнозы), далее прогноз будет затухать до нуля, а доверительные интервалы будут быстро «раскрываться».

Приближенные (1–ε)%-ные вероятностные пределы Z_t+l(–) и Z_t+l(+) для Z_t+l будут иметь вид:

где u_e/2 — квантиль уровня 1 – ε/2 стандартного нормального распределения, S_a — оценка дисперсии белого шума наблюдаемого ряда σ_a, Ψ_j — веса, применяемые для коррекции старых прогнозов Ψ₁, Ψ₂, …, Ψ_l-1. Пределы Z_t+l(–) и Z_t+l(+) интерпретируются следующим образом. Если известна информация о ряде Z_t к моменту t, то с вероятностью (1 – ε)% прогнозное значение Z_t+l будет заключено в этих пределах:

Например, с 95%-ной вероятностью значение Z_t+2 будет заключено в пределах для упреждения 2, но нельзя ожидать, что ряд окажется одновременно внутри всех пределов с этой же вероятностью.

Для того чтобы оценить качество прогноза модели АРПСС(2,0,0), будем генерировать вероятностные траектории реализации процесса Z_t – 0,536Z_t–1 – 0,452Z_t–2 = a_t с использованием внутреннего языка программирования Statistica Basic СПП Statistica for Windows. Значения белого шума a_t+1 «разыграем» методом Monte Carlo (генерация псевдослучайных чисел с нормальным законом распределения: μ = 0, σ² = 0,005). Выберем значение σ² = 0,005 несколько превышающим величину дисперсии остаточных ошибок a_t (σ² = 0,003) модели АРПСС(2,0,0). Чем большее значение σ² будем выбирать, тем более сильное возмущение будем вносить в прогнозные значения.

На рис. 6б показаны вероятностные траектории (статистически возможные продолжения ряда деградации) процесса Z_t – 0,536Z_t–1 – 0,452Z_t–2 = a_t. Вероятностные траектории лежат в 90%-ном доверительном интервале и переплетаются с прогнозом.

На рис. 7 показано прогнозирование с 50%-ным и 90%-ным доверительными интервалами с упреждением 10 к разным частям ряда N = 30, 40, 45. СПП Statistica for Windows строит доверительные интервалы только на прогнозные значения, в отличие от СПП SPSS. Видим, что точечные прогнозы, построенные к различным частям ряда, достаточно хорошо отражают тенденцию поведения ряда в будущем.

Прогнозируемое число замеров до наступления параметрического отказа по верхней границе 90%-ного доверительного интервала (интервальный прогноз) составляет 3 замера или около 10 тыс. ч (общее число замеров составит 48 или 160 тыс. ч наработки до наступления параметрического отказа), причем с течением времени точечный прогноз и вероятностные траектории удаляются от границы параметрического отказа.

В классическом анализе временных рядов считается, что для построения статистически адекватных моделей число замеров должно быть 150–200 и более. Как же быть в случае, если число замеров менее 30? Необходимо использовать анализ временных рядов с пропусками.

Для этого воспользуемся специальными методами получения недостающих значений для получения отчетов в равные промежутки времени. Дополнительные исследования показали, что после заполнения недостающих значений части ряда деградации U_OL и U_OH методом интерполяции или прогнозами линейной регрессии меняется внешний вид АКФ и ЧАКФ, а также спектральная плотность ряда. После заполнения недостающих значений временные ряды становятся нестационарными. Для превращения ряда в стационарный, что требует метод Бокса-Дженкинса, его необходимо продифференцировать один раз. Рассматривая операцию дифференцирования как операцию применения цифрового фильтра к сигналу, можно предположить, что метод Бокса-Дженкинса мало чувствителен к методам заполнения недостающих значений.

Естественно предположить, что прогнозы, построенные к рядам деградации с пропусками, заполненными различными способами, будут отличаться от прогнозов к рядам без пропусков. Так, число замеров для ИС типа 133ЛА8 становится равным N = 151, интервал времени между замерами 1000 ч. Число недостающих замеров для шага 1000 ч составит 106 (151–45), что в 2,36 раза больше числа исходных замеров. Такие операции могут существенно искажать природу временного ряда.

В качестве примера рассмотрим временные ряды с пропусками, заполненными прогнозами линейной регрессии. На рис. 8 показан процесс деградации наихудших значений параметров U_OL ИС серий 133, 136, 106, 134, 1533 и для них проведено прогнозирование времени наступления параметрических отказов на глубину 30 тыс. ч. Для параметра UOL с пропусками идентифицировались АРПСС-модели вида: АРПСС(0,d,q). Видим, что после дифференцирования произошла смена вида АРПСС-модели с АРПСС(2,0,0) на АРПСС(0,1,q), где q = 1 или 2.

В таблице 4 приведены АРПСС-модели (приближенный метод МП), идентифицированные для рядов деградации параметров U_OL и U_OH ИС типа 133ЛА8, 133ЛР3, 106ЛБ1, 134ЛБ1 с использованием СПП Statistica for Windows и различных методов заполнения пропусков. По точечным прогнозам отказы не фиксируются. Все прогнозируемые параметрические отказы установлены путем пересечения интервальных прогнозов нижних или верхних границ параметрических отказов. Интервальными прогнозами АРПСС-моделей для ИС типа 106, 134 не подтверждается гарантийная наработка 150 тыс. ч, а для ИС типа 133ЛР3 подтверждается гарантийная наработка не менее 200 тыс. ч, установленная в ТУ.

Так, для параметра U_OL ИС типа 133ЛА8 интервальный прогноз с использованием пропусков, заполненных прогнозами линейной регрессии (473 тыс. ч), в 2,6 раза превышает значение времени наступления параметрического отказа в случае использования метода интерполяции для заполнения пропусков (179 тыс. ч). Время наступления параметрического отказа с использованием метода интерполяции (179 тыс. ч) дает хорошее согласие с прогнозами АРПСС(2,0,0)-модели в случае без пропусков (160 тыс. ч). Точечные прогнозы АР- и АРПСС-модели показывают явление «не ухудшения» параметра U_OL ИС типа 133ЛА8. Из таблицы 4 видно, что параметр U_OH для всех рассматриваемых типов ИС наиболее подвержен деградации.

Выводы

Использование цифровых фильтров для моделирования процесса деградации параметров ТТЛ ИС эффективно только в случае, если происходит «непосредственное» наблюдение за процессом деградации и процесс деградации адекватно описывается авторегрессионными моделями. Цифровые фильтры, несмотря на их связь с линейными моделями временных рядов, не могут строить прогнозы за пределы временного ряда, поэтому их нельзя использовать для прогнозирования с упреждением, — только для моделирования процесса деградации.

Метод Бокса-Дженкинса (АРПСС-модели) может быть рекомендован к использованию при прогнозировании параметрических отказов ИС в условиях эксплуатации. Наиболее полно этот метод реализован в СПП Statistica и SPSS. Однако АРПСС-модели, так же как и модели цифровых фильтров, не имеют физического обоснования.

Литература

1. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974.
2. Справочник по прикладной статистике: В 2 т. Т. 2 / Пер. с англ. под ред. Э. Лойда, У. Ледермана, С. А. Айвазяна, Ю. Н. Тюрина. М.: Финансы и статистика, 1990.
3. Боровиков В. П., Ивченко Г. И. Прогнозирование в системе STATISTICA в среде Windows. Основы теории и интенсивная практика на компьютере: Учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 1999.
4. Цифровая обработка сигналов / А. Б. Сергиенко. СПб.: Питер, 2003.
5. Кей С. М., Марпл С. Л. Современные методы спектрального анализа: Обзор // ТИИЭР. 1981. Т. 69. № 11.

Работа выполнена по программе гранта РФФИ 05-08-01225-а.