Минимально-фазовые БИХ-фильтры с минимальной неравномерностью ХГВЗ

Введение

Известно, что нули передаточной функции минимально-фазовых цифровых БИХ-фильтров находятся внутри единичной окружности комплексной z‑плоскости. Классические БИХ-фильтры, полученные на основе билинейного преобразования аналоговых фильтров‑прототипов Золотарева — Кауэра, Чебышева, Баттерворта и других, имеют нули на единичной окружности и согласно [1] не являются строго минимально-фазовыми, но обладают рядом их свойств. Поэтому далее будем называть эти фильтры, как и в некоторых публикациях, минимально-фазовыми.

Известно также, что БИХ-фильтры часто оказываются непригодными из-за свойственной им большой неравномерности ХГВЗ в полосе пропускания. Из ряда существующих методов уменьшения этой неравномерности выделим следующие:

• Коррекция неравномерности ХГВЗ фильтра с приемлемой АЧХ оптимизированной фазовой (всепропускающей) цепью.
• Минимизация неравномерности ХГВЗ полюсного БИХ-фильтра с последующей коррекцией его АЧХ оптимизированным КИХ-фильтром с линейной ФЧХ.
• Минимизация неравномерности ХГВЗ БИХ-фильтра при заданных допусках на отклонение АЧХ без ограничения на расположение нулей передачи.
• Минимизация неравномерности ХГВЗ классических БИХ-фильтров путем оптимального выбора исходных параметров АЧХ.
• Минимизация неравномерности ХГВЗ БИХ-фильтра c нулями передачи на единичной окружности при заданных допусках на отклонение АЧХ.

Широко распространенный первый метод может приводить к завышенному результирующему порядку фильтра. Второй [2] — позволяет получить экстремально малые неравномерности ХГВЗ в сравнении с первым методом (особенно для узкополосных фильтров). Третий [3] дает экстремально малые неравномерности ХГВЗ в сравнении с первым и некоторыми другими конкурирующими методами. Четвертый [4] не всегда приводит к желаемым результатам. Пятый [5] позволяет улучшить решения, получаемые четвертым методом.

Все эти методы минимизации неравномерности ХГВЗ отличаются степенью сложности и за исключением четвертого и пятого метода приводят к неминимально-фазовым БИХ-фильтрам, которым в отличие от минимально-фазовых БИХ-фильтров свойственна переходная характеристика с длительным временем нарастания, что нежелательно в ряде приложений, например в измерительной технике и некоторых системах телекоммуникации и связи [6].

В данной статье внимание сосредоточим на проблемах минимизации неравномерности ХГВЗ в полосе пропускания минимально-фазовых БИХ-фильтров нижних частот. Рассмотрим оба вышеупомянутых метода, вначале — основанный на оптимальном выборе исходных параметров АЧХ четырех классических БИХ-фильтров (Баттерворта, Чебышева I, II и Золотарева — Кауэра), а затем метод, основанный на оптимизации коэффициентов каскадных БИХ-фильтров с нулями передачи на единичной окружности. Минимально-фазовые БИХ-фильтры, полученные вторым методом, будем называть здесь неклассическими.

Классические БИХ-фильтры с минимальной неравномерностью ХГВЗ

Вначале определим области допустимых исходных параметров четырех классических БИХ-фильтров Баттерворта, Чебышева I, II и Золотарева — Кауэра. Затем рассмотрим решение задачи поиска в каждой из областей оптимальной точки, соответствующей фильтру с минимальной неравномерностью ХГВЗ в полосе пропускания, и представим численные результаты.

Области допустимых исходных параметров

Области допустимых исходных параметров S(p) для обсуждаемых БИХ-фильтров нижних частот показаны на рис. 1. Это лишь качественные фигуры, хотя по конкретным требованиям к АЧХ можно построить точные конфигурации областей. Компонентами вектора p, размерность которого не превышает трех, могут быть следующие исходные параметры: Δa — неравномерность АЧХ в полосе пропускания, a₀ — минимальное ослабление в полосе задерживания, а также f₁, f₂ — граничные частоты полосы пропускания и задерживания. Расчет фильтра для любой точки той или иной области приводит к допустимой АЧХ, параметры которой удовлетворяют следующим условиям:

Δâ ≤ Δa_max, â₀ ≥ a_0 min,               (1)

где Δâ — неравномерность АЧХ в номинальной полосе пропускания (0 ≤ f ≤ f_1n), â₀ — минимальное ослабление АЧХ в номинальной полосе задерживания (f_2n ≤ f ≤ 0,5), а Δa_max и a_0 min — заданные допуски по неравномерности и ослаблению, частоты f_1n, f_2n и f нормированы относительно частоты дискретизации.

Рис. 1. Области допустимых исходных параметров фильтров:
a) Баттерворта;
б) Чебышева I;
в) Чебышева II;
г–е) Золотарева — Кауэра

В обозначениях задаваемых допусков в (1) знак соответствия номинальной полосе не используется, поскольку всегда:

∆â_max = ∆a_max и â_0 min = a_0 min.

Предполагается, что параметры в (1) выражены в децибелах и максимум АЧХ в полосе пропускания нормирован к 0 дБ. По значениям f_1n, f_2n, Δa_max и a_0 min оценивается порядок фильтра N. Строгим равенствам в (1) соответствует целое N, точечная область S(p) и лишь один вариант расчета фильтра.

На рис. 1 наряду с допусками Δa_max, a_0 min и номинальными частотами f_1n и f_2n фигурируют экстремальные значения ∆â_min, â_0 max, Δa_min, a_0 max и f_{i min}, f_{i max}, i = 1,2. Характерные точки на рис. 1 помечены буквами A, B, C, … На рис. 1б,в отмечены также кривые, а на рис. 1г–e — поверхности постоянства ∆â и â₀.

Неявные выражения для описания областей S(p) даны в таблице 1. Здесь a(·) — характеристики ослабления, а Ф(·) — функции для определения порядков обсуждаемых фильтров. Для упрощения записи зависимость неявных функций a(·) и Ф(·) от N опущена.

Для фильтров Баттерворта область S(p) = S(р₁) = S(f₁) или S(р₁) = S(Δa) полностью определяется диапазоном изменения параметра f₁ или Δa. На рис. 1а показана область S(f₁) в виде отрезка прямой AB. Для фильтров Чебышева I двумерная область S(Δa, f₁) c характерными точками A, B, C, D представлена на рис. 1б, а для фильтров Чебышева II двумерная область S(a₀, f₂) c характерными точками A, C, E, F — на рис. 1в.

Для фильтров Золотарева — Кауэра трехмерная область S(Δa, f₁, f₂) может иметь три вида конфигураций, показанных на рис. 1г–е. Область на рис. 1г образована пересечениями плоскости Δa = Δa_max и трех поверхностей с характерными точками B, D, E для первой, D, E, F для второй и B, D, F для третьей поверхности. Начало координат соответствует точке A. Точки A, B, C, D лежат в плоскости f₂ = f_2n.

Области на рис. 1д,е обусловлены предельными переходами согласно схеме на рис. 2. Так, от фильтров Золотарева — Кауэра возможен переход к фильтрам Чебышева на рис. 1д и к фильтрам Чебышева и Баттер-ворта на рис. 1е. Образовавшиеся фигуры с характерными точками F, F′, F″ располагаются в плоскости f₂ = 0,5, а появившиеся отрезки прямых D′D″ на рис. 1д и D′F″ на рис. 1е соответствуют Δa = 0 и f₁ = 0.

Если вернуться к областям фильтров Чебышева I и II на рис. 1б,в, то здесь, пользуясь схемой на рис. 2, можно указать точки предельного перехода к фильтрам Баттер-ворта. На рис. 1б это точка D с координатами Δa = Δa_min = 0 и f₁ = f_1 min = 0, а на рис. 1в — точка F с координатами a₀ = a_0max = ∞ и f₂ = f_2 max = 0,5 (в [4] вместо точки F ошибочно говорится об отрезке прямой).

Рис. 2. Схема предельных переходов

Заметим, что предельный переход от одного фильтра к другому имеет место, если для каждого из этих фильтров одинакового порядка выполняются условия (1).

Области S(p) на рис. 1а–г были ранее представлены в [7], на рис. 1а–г,е — в [4] и на рис. 1г–е — в [8]. В работах [7, 8] даны математические описания областей в явной и неявной форме. Более детальное пояснение предельных переходов дано в [4, 8].

Оптимальные точки областей

Допустим, область S(p) фильтра Золотарева — Кауэра представляет собой точку, что соответствует строгим равенствам в (1). В этой ситуации фильтры Золотарева — Кауэра обладают не только глобально оптимальной АЧХ, что им свойственно независимо от размера S(p), но и глобально оптимальной ХГВЗ, которая в конкретных случаях может оказаться совершенно неприемлемой. Подобные рассуждения можно отнести и к трем другим обсуждаемым здесь классическим фильтрам, АЧХ которых являются в определенном смысле глобально оптимальными. Получить лучшее соотношение между параметрами АЧХ и ХГВЗ можно лишь в случае неточечной области S(p), подобрав вектор исходных параметров p или рассчитав минимально-фазовый БИХ-фильтр другими методами.

Задачу синтеза классических БИХ-фильтров с минимальной неравномерностью ХГВЗ можно сформулировать как:

∆t(p) = t_max(p)–t_min(p) → min,

∆â(p) ≤ ∆a_max, â₀(p) ≥ a_0 min,                (2)

p ∈ S(p),

где Δτ — неравномерность ХГВЗ в номинальной полосе пропускания, а τ_max и τ_min — максимальное и минимальное значения ХГВЗ в этой полосе. Положим для дальнейшего, что эти параметры ХГВЗ выражены в отсчетах частоты дискретизации.

Решить поставленную задачу аналитически затруднительно из-за сложности функций, входящих в (2). Решения были получены косвенным путем в [4]. На основе результатов прямого исследования областей S(p) на рис. 1 и известных фактов о взаимосвязи параметров АЧХ и о влиянии их на неравномерность ХГВЗ сделаны следующие выводы.

Для фильтров Баттерворта минимуму Δτ соответствует точка B в S(f₁) на рис. 1а, а для фильтров Чебышева II — точка C в S(a₀, f₂) на рис. 1в. Для фильтров Чебышева I и Золо-тарева — Кауэра минимум Δτ расположен в некоторой точке на кривой BD, соответственно в областях S(Δa, f₁) на рис. 1б и S(Δa, f₁, f₂) на рис. 1 г–e. Процедура нахождения такой оптимальной точки сводится к поиску минимума функции одной переменной, что легко выполнить на дискретном наборе частот f₁. Фильтры Золотарева — Кауэра имеют наименьшую неравномерность Δτ, фильтры Баттерворта — наибольшую. Фильтры Чебышева занимают промежуточное положение, причем предпочтительнее фильтры Чебышева II, но при очень широкой полосе пропускания, мало востребованной на практике, фильтры Чебышева I могут иметь несколько меньшие Δτ, чем фильтры Чебышева II.

Численные результаты

Проиллюстрируем описанные способы выбора оптимальных точек в областях S(p) на рис. 1 для следующих требований к АЧХ:

Δa_max = 3 дБ, a_{0 min} = 45 дБ,

f_1n = 0,1, f_2n = 0,2.                (3)

На рис. 3 для обсуждаемых фильтров представлены семейства зависимостей неравномерности ХГВЗ Δτ от исходных параметров областей S(p). Точки A, B, C, … на рис. 3б–г соответствуют аналогичным точкам в областях S(p) на рис. 1б–г.

Рис. 3. Зависимости неравномерности ХГВЗ от исходной граничной частоты f1 или f2 для фильтров:
а) Баттерворта при N = 7, 8 и 9;
б) Чебышева I при N = 5, â0 = 45; 47; …; 55 и 56, 66 дБ;
в) Чебышева II при N = 5, × â = 0,286; 0,4; 0,6; …; 1,8 и 3 дБ;
г) Золотарева — Кауэра при N = 4, f2 = 0,2, â0 = 45; 47; …; 61 и 62,16 дБ

Для фильтров Баттерворта семейство зависимостей Δτ от исходной частоты f₁ показано на рис. 3а. Семейство построено для частот f₁ области S(f₁) на рис. 1а при трех значениях N, включая минимальное N = 7. Как видим, минимум Δτ для каждого N соответствует максимальной частоте f₁ или точке B в области S(f₁) на рис. 1а. При N = 7 минимум Δτ = 6.

Для фильтров Чебышева I семейство зависимостей Δτ от f₁ на рис. 3б построено для ряда кривых â₀ = const в области S(∆a, f₁) на рис. 1б при минимальном N = 5. Минимум Δτ = 3,9 находится на кривой BD.

Для фильтров Чебышева II семейство зависимостей Δτ от f₂ на рис. 3в построено для ряда кривых ∆â = const в области S(a₀, f₂) на рис. 1в при N = 5. Минимум Δτ = 3 находится в точке C.

Для фильтров Золотарева — Кауэра семейство зависимостей Δτ от f₁ на рис. 3г построено для ряда кривых â₀ = const в области S(∆a, f₁, f₂) на рис. 1г при f₂ = f_2n и минимальном N = 4. Минимум Δτ = 1,8 находится на кривой BD.

Согласно рис. 3 разброс по Δτ для фильтров Золотарева — Кауэра и Чебышева I достигает примерно 10 раз, для фильт-ров Чебышева II — примерно двух раз, а для фильтров Баттерворта при N = 7 он очень мал. На самом деле для фильтров Золотарева — Кауэра разброс (но лишь в сторону увеличения Δτ) больше указанного, поскольку семейство кривых на рис. 3г, построенное при f₂ = f_2n, не охватывает всю область S(∆а, f₁, f₂) на рис. 1г.

Для всех фильтров в таблице 2 приведены минимальные значения Δτ, найденные при разных N. Кроме того, здесь даны исходные параметры, по которым получены эти результаты. На рис. 4 показаны зависимости Δτ от N, построенные по данным таблицы 2. Как видим, дополнительное уменьшение Δτ (более чем в 2 раза) может быть получено для фильтров большего порядка. Однако увеличение N более чем в 2 раза малоэффективно. Фильтры Золотарева — Кауэра имеют наименьшие, а фильтры Баттерворта — наибольшие значения Δτ. Фильтры Чебышева занимают промежуточные положения.

Рис. 4. Зависимости минимальной неравномерности ХГВЗ классических фильтров от порядка N

Неклассические минимально-фазовые БИХ-фильтры с минимальной неравномерностью ХГВЗ

Надлежащий выбор исходных параметров АЧХ и порядка позволяет получить классические фильтры с минимальной неравномерностью ХГВЗ в номинальной полосе пропускания. Однако такой подход может не дать ожидаемых результатов, поскольку обсуждаемые фильтры, когда-то предложенные для получения желаемых АЧХ, не обязательно обладают наименьшей неравномерностью ХГВЗ. Поэтому можно попытаться улучшить классические решения, сохраняя свойство минимальной фазы. Далее сформулируем задачу синтеза неклассических минимально-фазовых каскадных БИХ-фильтров с минимальной неравномерностью ХГВЗ, определим начальные приближения, представим возможные методы условной и безусловной оптимизации для решения этой задачи, приведем примеры синтеза фильтров и покажем, что результаты, полученные для классических БИХ-фильтров, могут быть значительно улучшены.

Постановка задачи синтеза фильтров

Передаточную функцию каскадного БИХ-фильтра нижних частот N‑го порядка запишем в виде:

где K = N/2 и K = (N+1)/2 соответственно для четных и нечетных N, коэффициенты А_2m = B_2im = 0 для некоторого m ≤ К и нечетного N.

Задачу минимизации неравномерности ХГВЗ в номинальной полосе пропускания для БИХ-фильтров с передаточной функцией (4) сформулируем как:

∆t(A) = t_max(A)–t_min(A) → min,

∆â(C) ≤ ∆a_max, â₀(C) ≥ a_0 min,             (5)

a_t(C) ≥ a_{t min},

A ∈ U, B ∈ R,

где A и B — векторы искомых коэффициентов знаменателей и числителей в (4), вектор C включает A и B, a_t — минимальное ослабление АЧХ в переходной полосе и его допустимое значение a_{t min}, выраженные в децибелах, U — область устойчивости, R — область, соответствующая единичной окружности.

В отличие от (2) Δτ, τ_max, τ_min, ∆â и â₀ в (5) представлены как функции вектора A или С. Требование к вектору B обеспечивает расположение нулей H(z) на единичной окружности и постоянство ХГВЗ (линейность ФЧХ) для фильтра с передаточной функцией в виде числителя (4).

Обычно при синтезе частотных фильтров к АЧХ в переходной полосе не предъявляется никаких требований. Это относится и к рассмотренным выше классическим фильтрам, для которых всплеск АЧХ в переходной полосе не превышает 0 дБ, или иначе ослабление АЧХ a_t ≥ 0 дБ. Однако при минимизации неравномерности ХГВЗ или нелинейности ФЧХ всплеск АЧХ в переходной полосе может оказаться неприемлемым, и поэтому его желательно ограничить [3,9], что и сделано в (5). Возможно еще более жесткое условие, а именно АЧХ в переходной полосе c увеличением частоты монотонно убывает. Это условие приводит к некоторому ухудшению результатов в сравнении с простым ограничением всплеска [9].

Формулировка задачи синтеза (5) с функциями ограничения, выраженными в децибелах, обусловлена удобством изложения данной статьи. На практике целесообразно представить эти функции в относительных единицах.

Начальные приближения

При решении поставленной задачи в качестве начального приближения удобно взять тот или иной классический БИХ-фильтр, поскольку все ограничения в (5) для такого исходного фильтра оказываются выполненными.

В общем случае требование в (5) к вектору B означает, что коэффициенты числителей H(z) в (4) для фильтров нижних частот должны удовлетворять следующим условиям:

|B_1i| ≤ 2, B_2i = 1, ∀i = 1…K и четного N и ∀i ≠ m и нечетного N;

B_1m = 1, B_2m = 0 для нечетного N.   (6)

В частном случае имеет место строгое равенство в (6), и тогда в (5) неизвестен только вектор A, поскольку вектор B будет содержать лишь известные целочисленные компоненты. Общему случаю отвечают фильтры Чебышева II и Золотарева — Кауэра, а частному — фильтры Баттерворта и Чебышева I.

При решении задачи (5) целесообразно в качестве исходного выбрать фильтр Золотарева — Кауэра или Чебышева I. Далее используем целый ряд исходных фильтров Золотарева — Кауэра, рассчитанных для точек области S(∆a, f₁, f₂) (на рис. 1г,д или 1е), располагающихся на кривых â₀ = const в некоторой ∆-окрестности кривой BD при a_0 min ≤ â₀ ≤ ≤ a_0 min+∆ и f₂ = f_2n [5]. Точку на той или иной кривой â₀ = const будем характеризовать параметрами f₁, â₀. Напомним, что на кривой BD, для которой â₀ = a_0 min, находится оптимальная точка, соответствующая минимуму Δτ для фильтров Золотарева — Кауэра.

Методы решения задачи

Задачу (5) можно решить теми или иными методами нелинейного программирования. Применим для сравнения два известных метода безусловной и условной оптимизации (см., например, [10, 11] и ссылки в этих работах), а именно метод градиента (МГ) и метод градиента с возвратом (МГВ).

В МГВ, как и в МГ, поиск в области допуска ведется в направлении -gradΔτ с постоянным шагом [10]. Для задачи (5) с тремя ограничениями на параметры АЧХ возможны семь ситуаций, когда в методе МГВ требуется возврат в область допуска. Эти три ограничения можно привести к виду g_i ≤ 0, t = 1, 2, 3, а возникающие ситуации описать функциями G_m, m = = 1, 2, …, 7. Так, G_m = g_m, m = 1, 2 или 3 при нарушении одного из трех ограничений, G₄ = g₁+g₂, G₅ = g₁+g₃ или G₆ = g₂+g₃ — при нарушении двух из трех ограничений и G₇ = g₁+g₂+g₃ при нарушении всех трех ограничений. После возникновения m‑й ситуации производится пошаговое перемещение в направлении -grad G_m для возврата в зону допуска.

Результаты решения задачи (5) с помощью обсуждаемых методов оптимизации можно улучшить благодаря следующим приемам:

• поиск на большем числе наборов параметров f₁, â₀;
• подбор начального шага поиска;
• поиск на большем числе наборов параметров f₁, â₀в окрестности найденного оптимума;
• неоднократный повтор поиска с уменьшенным шагом в окрестности найденного оптимума.

Для оценки необходимых градиентов используем аналитические выражения. Текущие оценки параметров АЧХ и ХГВЗ выполним по 100 частотным точкам в каждой из полос, а окончательные оценки для найденного решения уточним по 500 точкам.

Численные результаты

Представим два примера решения задачи (5), рассмотренные в [5]. Первый пример с требованиями к АЧХ (3), а второй — с требованиями к АЧХ из [12], которые использовались многими авторами. Первый пример проиллюстрируем и обсудим более подробно, что позволит понять детали, связанные с решением задачи (5) методами условной и безусловной оптимизации.

Пример 1. Как было отмечено выше, требованиям (3) удовлетворяет фильтр Золотарева — Кауэра с N ≥ 4. Вначале уделим внимание безусловной оптимизации на основе МГ, а затем условной — на основе МГВ. В обоих случаях ограничимся исходными фильтрами Золотарева — Кауэра, рассчитанными для N = 5, f₁ = 0,08, 0,1, 0,12, â₀ = 45, 50, 55 дБ и f₂ = f_2n = 0,2. Таким образом, количество исходных точек f₁, â₀ равно девяти.

Интересно посмотреть на процессы изменения параметров Δτ, ∆â, â₀ и a_t синтезируемого фильтра от числа итераций в каждом из методов. Для уменьшения числа графиков вместо контролируемых параметров ∆â и â₀ используем максимальную взвешенную ошибку АЧХ, связанную с этими параметрами как:

e = max[(1–10^–0,05∆â)/(1–10^{–0,05∆amax}), 10^{–0,05(â0–a0 min)}].

В этом случае двум ограничениям на ∆â и â₀ в (5) соответствует одно условие e ≤ 1.

Безусловная оптимизация

На рис. 5 представлены зависимости параметров Δτ, e и a_t синтезируемого фильтра от числа итераций в МГ для трех из девяти заданных исходных точек с f₁ = 0,12, â₀ = 45, 50, 55 дБ. Согласно рис. 5а с увеличением числа итераций значение Δτ существенно уменьшается. Характер трех кривых зависит от значения â₀. Замечено, что все три процесса минимизации Δτ прерываются нарушением условий устойчивости, не доходя до 3×10⁴ итераций, причем это обусловлено перемещением доминирующей (ближайшей к единичной окружности) пары комплексно-сопряженных полюсов фильтра за пределы единичной окружности.

Рис. 5. Зависимости параметров синтезируемого фильтра от числа итераций в МГ для трех значений â0 исходного фильтра Золотарева — Кауэра с N = 5, f1 = 0,12 и f2 = 0,2:
а) неравномерность Δτ;
б) ошибка;
e; в) ослабление аt

Для каждого â₀ примерно одно и то же устойчивое решение с очень малым значением Δτ ≈ 0,003 можно получить при числе итераций более 10⁴. Однако это решение становится бесполезным, если обратиться к зависимостям на рис. 5б. Еще до 10⁴ итераций значение ошибки e начинает возрастать и становится больше единицы, что по условию решаемой задачи неприемлемо. Тем не менее на рис. 5б можно выделить интервалы, в которых e ≤ 1. Один находится в ближней зоне (до 100 итераций) для всех трех кривых, а другой — в дальней зоне (от 10³ до 10⁴ итераций) и лишь для двух кривых.

На рис. 5в показаны зависимости ослабления в переходной полосе a_t от числа итераций. Выбор решения с e ≤ 1 на рис. 5б из ближней или дальней зоны зависит от значения a_{t min} в (5), которое до сих пор не было задано. Если a_t ≥ a_t min = 0 дБ, то решение с e ≤ 1 и минимальной Δτ можно найти лишь в ближней зоне.

Результаты безусловной оптимизации для всех девяти исходных точек f₁, â₀ представлены в табл. 3, где также указано число потребовавшихся итераций. Для некоторых значений â₀ даны два решения — в ближней и дальней зоне (вторая строка цифр). Решение в дальней зоне определяется исходя из того, чтобы получить как можно большее значение a_t. Поэтому процесс оптимизации должен быть прерван при появлении первого допустимого решения с e ≤ 1, что обусловлено поведением кривых на рис. 5в.

Данные таблицы 3 дают представление о влиянии выбора исходных параметров на результаты оптимизации. Как видим, для лучших решений в ближней и дальней зоне Δτ = 0,485 и Δτ = 0,036 соответственно. Благодаря приемам, описанным выше, эти значения были дополнительно уменьшены до Δτ = 0,212 дБ и Δτ = 0,009. Для сравнения, в [5] в ближней зоне получено Δτ = 0,315.

Условная оптимизация

В данном случае положим a_t min = 0 дБ. На рис. 6 представлены зависимости параметров Δτ, e и a_t синтезируемого фильтра от числа итераций в МГ и МГВ для исходной точки с f₁ = 0,08, â = 55 дБ. Для этой точки (из девяти ранее упомянутых) МГВ дает наилучший результат. Графики на рис. 6 наглядно иллюстрируют, как видоизменяются зависимости Δτ, e и a_t от числа итераций в случае применения МГВ вместо МГ. На рис. 6а кривая Δτ для МГВ после достижения минимума резко возрастает. На рис. 6б,в наблюдается движение вдоль границ с e = 1 и a_t = 0 дБ и резкое нарушение этих границ после 10³ итераций с последующим нарушением условия устойчивости. Заметим, что резкие колебания кривой для МГВ на рис. 6в после 10³ итераций обусловлены недостаточным числом точек для оценки a_t. Однако нет смысла увеличивать это число, поскольку процесс поиска должен быть прерван из-за резкого возрастания Δτ еще до появления этого эффекта. Метки на кривых для МГВ на рис. 6 обозначают решение задачи (5) с Δτ = 0,032, e = 1 и a_t = 0,01 дБ.

Рис. 6. Зависимости параметров синтезируемого фильтра от числа итераций в МГ и МГВ для исходного фильтра Золотарева — Кауэра с N = 5, â0 = 55 дБ, f1 = 0,08 и f2 = 0,2:
а) неравномерность Δτ;
б) ошибка
e; в) ослабление at

Благодаря приемам, описанным выше, можно получить фильтр с Δτ = 0,022, e = 1 и a_t = 0 дБ. При этом исходный фильтр, рассчитанный для точки f₁ = 0,083, â₀ = 54 дБ, имеет Δτ = 4,6. Карты полюсов/нулей исходного и оптимизированного фильтров показаны на рис. 7а,б. Как видим, для этих фильтров сильно отличаются лишь позиции доминирующих полюсов. Для сравнения на рис. 7в приведена карта полюсов/нулей для фильтра Золотарева — Кауэра с минимальной неравномерностью ХГВЗ. Хотя для этого фильтра согласно таблице 2 Δτ = 1,5 при N = 5, использование его в качестве исходного дает результат гораздо хуже полученного.

Рис. 7. Карты полюсов/нулей:
а) исходного фильтра Золотарева — Кауэра (Δτ = 4,5);
б) синтезированного с помощью МГВ фильтра (Δτ = 0,022);
в) фильтра Золотарева — Кауэра с минимальной неравномерностью ХГВЗ (Δτ = 1,5)

Сравнение результатов

Параметры синтезированных с помощью МГ и МГВ неклассических фильтров сведены в таблице 4. Там же для сравнения даны параметры фильтра Золотарева — Кауэра с минимальной неравномерностью ХГВЗ, взятые из таблицы 2 при N = 5. Как видим, для неклассических фильтров можно получить значительно меньшие значения Δτ, чем для фильтра Золотарева — Кауэра, а именно в 68 раз при a_t ≥ 0 дБ и в 167 раз при a_t = –0,869 дБ. Найденные фильтры являются минимально-фазовыми и согласно таблице 4 их максимальные значения ХГВЗ в номинальной полосе пропускания не превышают значения для фильтра Золотарева — Кауэра. В случае, когда всплеск АЧХ в переходной полосе недопустим (a_t ≥ 0 дБ), применение МГВ позволяет для данного примера более чем на порядок уменьшить значение Δτ, полученное с помощью МГ.

В таблице 5 приведены значения Δτ и коэффициентов, на рис. 8а,б — АЧХ, а на рис. 8в — ХГВЗ всех синтезированных фильтров. В номинальной полосе задерживания (0,2 ≤ f ≤ 0,5) на рис. 8а и в номинальной полосе пропускания (0 ≤ f ≤ 0,1) на рис. 8б АЧХ всех фильтров удовлетворяют заданным требованиям. В номинальной полосе пропускания АЧХ трех неклассических фильтров практически совпадают. Наибольшие различия проявляются в переходной полосе по уровням всплесков, которые соответствуют значениям a_t в таблице 4.

Рис. 8. Частотные характеристики синтезированных БИХ-фильтров:
а) АЧХ в основной полосе;
б) АЧХ в номинальной полосе пропускания и переходной полосе;
в) ХГВЗ в номинальной полосе пропускания

Согласно представленным результатам уменьшение неравномерности ХГВЗ в номинальной полосе пропускания для всех полученных минимально-фазовых БИХ-фильтров приводит фактически к расширению полосы пропускания. Дополнительного уменьшения этой неравномерности для неклассических фильтров можно достичь, увеличивая всплеск АЧХ в переходной полосе. Интересно, что подобные факты наблюдаются и для неминимально-фазовых БИХ-фильтров [3].

Пример 2. Требования к АЧХ [12]: ∆a_max = 0,5 дБ, a_0 min = 32 дБ, a_t = 0 дБ, f_1n = 0,25 и f_2n = 0,3. Этим требованиям удовлетворяет фильтр Золотарева — Кауэра с N ≥ 4. В данном случае уменьшить минимальные неравномерности ХГВЗ фильтров Золотарева — Кауэра для N = 4, 5, …, 12 с помощью МГ, так же как и в [5], не удается. Применение МГВ не приводит к существенным результатам. Например, при N = 5 для фильтра Золотарева — Кауэра с минимальной неравномерностью ХГВЗ, соответствующего точке B на рис. 1г, значение Δτ = 3,85, а для фильтра, найденного с помощью МГВ, — Δτ = 3,76. Увеличение допустимого всплеска АЧХ до 3 дБ (a_t = –3 дБ) также дает мало значимый результат с Δτ = 3,19. Дальнейшее уменьшение Δτ до 1,75 возможно при допущении a_t = –20 дБ. Такое несущественное уменьшение Δτ при сильном снижении требования к a_t можно объяснить узкой относительной переходной полосой. Действительно, в данном примере отношение переходной полосы к полосе пропускания равно 0,2, а в примере 1, для которого получены превосходные результаты, отношение равно 1.

Таким образом, невозможность достаточного расширения полосы пропускания в процессе оптимизации из-за узкой относительной переходной полосы требует допущения очень большого всплеска АЧХ. Однако чрезмерный всплеск АЧХ в переходной полосе может оказаться неприемлемым на практике.

Обсуждаемый пример был рассмотрен в ряде публикаций, и в частности в [3], где при N = 12 были получены варианты решений с чрезвычайно малой неравномерностью ХГВЗ, но лишь для неминимально-фазовых фильтров.

Заключение

Представлены два подхода к синтезу минимально-фазовых БИХ-фильтров с минимальной неравномерностью ХГВЗ в номинальной полосе пропускания и требуемой АЧХ. Хотя рассмотрены только фильтры нижних частот, синтез может быть распространен и на полосовые фильтры.

Первый подход основан на оптимальном выборе исходных параметров АЧХ классических фильтров в пределах определенной области допуска. В зависимости от требований к АЧХ и порядка фильтров, разброс в значениях неравномерности ХГВЗ для точек области может быть очень большим, что оправдывает применение этого подхода. Наименьших неравномерностей ХГВЗ можно достичь для фильтров Золотарева — Кауэра, затем в зависимости от ширины полосы пропускания для фильтров Чебышева II или Чебышева I и лишь потом для фильтров Баттерворта. Дополнительное уменьшение неравномерности ХГВЗ можно получить для большего порядка фильтров. Однако увеличение порядка более чем в два раза малоэффективно.

Второй подход основан на безусловной и условной оптимизации коэффициентов каскадного фильтра c нулями передачи на единичной окружности. При этом ряд фильтров Золотарева — Кауэра используется в качестве исходных. Полученные таким путем неклассические минимально-фазовые фильтры могут иметь значительно меньшие неравномерности ХГВЗ (в частности, в 68 и 167 раз), чем присущие фильтрам Золотарева — Кауэра, найденным с помощью первого подхода. К сожалению, результаты оптимизации сильно зависят от относительной переходной полосы и допустимого уровня всплеска АЧХ в этой полосе. Желание получить узкую переходную полосу и малый допустимый уровень всплеска может свести на нет эффект оптимизации. Для получения существенного результата в случае узкой переходной полосы требуется допущение чрезмерного всплеска АЧХ, что может оказаться неприемлемым на практике. Это ограничивает возможности минимизации неравномерности ХГВЗ минимально-фазовых БИХ-фильтров.