Рассеяние радионавигационных местоположений подвижных объектов и их статистические характеристики

№ 12’2014
PDF версия
В настоящее время все большее распространение среди автолюбителей находят бортовые комплексы сухопутной навигации (БКСН) — так называемые навигаторы, а в различных странах мира создаются и вводятся в эксплуатацию интеллектуальные транспортные системы (ИТС).

Введение

Функционирование БКСН и ИТС основано на приеме сигналов спутниковых радионавигационных систем (СРНС) — российской ГЛОНАСС или (и) американской GPS, определении с их помощью радионавигационного местоположения подвижных объектов — наземных транспортных средств (НТС) и отображении текущего местоположения объектов на электронной карте местности.

В городских условиях, особенно в районах плотной высотной застройки, прием сигналов необходимого числа спутников систем СРНС зачастую невозможен. В этом случае радионавигационное обеспечение системы ИТС дополняется локальной длинноволновой импульсно-фазовой (ИФ) РНС, функционирующей в дифференциальном режиме. Система ИФ РНС позволяет получать такую же точность местоопределения, что и спутниковая система РНС в стандартном режиме ее действия. На территории США для этого развернута система E-Loran; в европейской части России давно уже существует система ИФ РНС «Чайка» [1].

Наиболее важной статистической характеристикой аппаратуры БКСН является точность местоопределения НТС, от которой зависит достоверность отображения местоположения НТС на электронной карте местности. Эта точность обычно характеризуется точностью определения проекции НТС на горизонтальную плоскость {x, y}, точностью определения геодезической высоты НТС H, а также точностью синхронизации приемника радиосигналов системы СРНС: величиной Δtш отклонения бортовой шкалы времени БКСН от шкалы времени системы СРНС [1].

Считается, что короткопериодные погрешности местоопределения и синхронизации распределены по законам Гаусса и не имеют постоянных составляющих погрешностей, то есть имеют нулевые средние значения. Поэтому две последние характеристики — точность определения высоты H и точность синхронизации Δtш — выявляются своими среднеквадратическими значениями отклонений от средних значений (СКО): σh и σt. Что касается погрешностей местоопределения НТС в горизонтальной плоскости {x, y}, они представляют собой двумерный случайный вектор:

z = (x, y)T,

где T — знак транспонирования, и имеют различные числовые характеристики в зависимости от решаемой навигационной задачи.

Фактические значения точностных характеристик СРНС оцениваются на основании эмпирических выборок:

[(x1, y1, H1, t1), (x2, y2, H2, t2), …, (xi, yi, Hi, ti), …, (xn, yn, Hn, tn)] = [xi, yi, Hi, ti]1n,

где n — объем выборки, при известных истинных значениях всех величин (x0, y0, H0, t0).

Экспериментальные исследования 1990-х годов, проведенные в России, США, странах Евросоюза и Японии [1], показали, что все величины Δx = xx0, Δy = yy0, ΔH = HH0, Δt = tt0 в спутниковых РНС распределены приблизительно по четырехмерному гауссовскому («нормальному») закону, а взаимная корреляция случайных величин:

Формула

незначительно отличается от нуля. Поэтому величины ΔH и Δt можно рассматривать отдельно как одномерные гауссовские случайные величины, а величину Δz = (Δx, Δy)Т отдельно как двумерный гауссовский случайный вектор z на плоскости {x, y}.

В системах ИФ РНС геодезическая высота H не определяется, а точность синхронизации невелика.

Рассеяние одномерной случайной величины (например, ΔH или Δt) и ее статистические характеристики исследовались еще в конце XVIII века А. Лежандром и К. Гауссом [3]. В начале XX века в трудах К. Пирсона, К. Эджворта, Р. Фишера, С. Уилкса и других были подробно рассмотрены совместные статистические характеристики пары случайных величин α и β. В 1948 году советским геодезистом В. В. Каврайским [4] была опубликована статья «Теория определения положения точки на поверхности», в которой были заложены основы теории точности местоопределения точки на плоской поверхности Земли. Применительно к задачам радионавигации теория точности местоопределения была развита в 1958 году А. Г. Сайбелем [5], а также систематически изложена В. Т. Кондрашихиным в книге [6]. Ряд результатов по характеристикам радионавигационного рассеяния местоположения объектов на поверхности Земли и их статистической связи был опубликован автором в 2003 году [1].

В настоящей статье систематически изложены вопросы теории радионавигационного местоопределения объектов на поверхности Земли, представлены различные меры точности их местоопределения и оценки параметров рассеяния радионавигационного местоположения НТС по двумерным эмпирическим выборкам, а также даны асимптотические оценки статистических характеристик этих параметров.

Материалы статьи могут быть полезными как для пользователей аппаратура БКСН, так и для разработчиков ИТС.

 

Основные понятия и определения

 Обычно под мерой точности радионавигационного местоопределения понимают число, характеризующее степень близости местоположения объекта, полученного с помощью, например, GPS-приемника, относительно истинного или прогнозируемого местоположения объекта. Основной мерой точности является так называемая плановая радиальная среднеквадратическая погрешность (СКП) местоопределения (distance root mean squared — drms); используют также СКП определения геодезической высоты, СКП измерения системного времени, CKП определения составляющих вектора скорости движения НТС, эквивалентный радиус рассеяния и другие.

Одномерная случайная величина α (например, геодезическая высота H или расхождение шкал времени БКСН и системы СРНС Δtш), имеющая плотность вероятности pα(x) на числовой оси {–∞ < x < ∞}, характеризуется средним значением  и величиной среднеквадратического отклонения (СКО) от среднего σα:

Формула

Плотность вероятности гауссовской случайной величины α полностью определяется этими двумя числовыми характеристиками:

Формула

При этом значение Формула соответствует максимуму функции pα(x), равному Формула, а прямая pα(x) = 1/√e ≈ 0,606 и кривая pα(x) имеют две точки пересечения:

Формула

Величина Формуласлужит для точечной оценки, а значение σα — для интервальной оценки истинной величины x0 в процессе ее измерений [7].

Например, если в результате измерений получена оценка Формула некоторой неизвестной нам величины x0, и если оценка  — несмещенная Формула, а погрешности оценки имеют гауссовский закон распределения с дисперсией σ2, то с вероятностью (коэффициентом доверия) P ≈ 0,68 величина x0 лежит в пределах: (Формула — σ) < x0 < ( Формула+ σ).

Эмпирическая выборка случайной величины α есть совокупность величин {x1, x2,, …, xi, …, xn}, являющихся результатом серии независимых равноточных измерений величины x0. Эмпирическое (выборочное) среднее  и эмпирическая (выборочная) дисперсия sx2 вычисляются по формулам [7–9]:

Формула

Математические ожидания (теоретические средние значения) и СКО выборочного среднего , дисперсии sx2 и СКО Формула гауссовской случайной величины α вывели в 1794 году, независимо друг от друга, А. Лежандр и К. Гаусс [3]:

Формула

Разлагая функцию Формула в ряд Тейлора в окрестности точки Формула и удерживая линейные члены ряда, получаем:

Формула

Двумерный случайный числовой вектор-столбец γ = (α, β)T, характеризуется вектором средних Формула, дисперсиями Dα = σα2 и Dβ = σβ2, а также коэффициентом корреляции:

Формула

Двумерный гауссовский закон распределения вектора γ имеет вид:

Формула

Эмпирический коэффициент корреляции rαβ вычисляется по выборке [xi, yi]1n = [(x1, y1), (x2, y2), …, (xi, yi), …, (xn, yn)] объема n согласно формуле:

Формула

предложенной в 1915 году Р. Фишером. Величина rαβ имеет математическое ожидание

Формула

По аналогии с интервальной оценкой одномерной величины x0 можно ввести объемную оценку многомерной величины как минимальный объем пространства, в котором с заданной вероятностью (коэффициентом доверия) лежит неизвестная нам векторная величина.

Для двумерной гауссовской случайной величины γ вместо стандартного интервала величиной 2σα вводится единичный эллипс рассеяния случайного вектора γ, определяемый уравнением:

Формула

Он представляет собой сечение поверхности по уровню pγ(x, y) = 1/√e ≈ 0,606.

На рис. 1 представлен единичный эллипс рассеяния пары статистически связанных случайных величин α и β и некоторые его характеристики.

Единичный эллипс рассеяния случайного вектора γ и его характеристики

Рис. 1. Единичный эллипс рассеяния случайного вектора γ и его характеристики:
a и b — полуоси единичного эллипса рассеяния;
σr — радиальное СКО вектора γ от среднего γ = (x–, y–)Tr2 = a2 + b2 = σx2 + σy2);
AB — линия регрессии величины β на α;
rэ — эквивалентный радиус рассеяния;
σj — СКО вектора γ в заданном направлении φ

Вероятность попадания оцениваемого вектора γ = (α, β)T в единичный эллипс рассеяния составляет P = 1 – 1/√e ≈ 0,394.

Для многомерных случайных числовых векторов γ = (α1, α2, …, αj, …, αm)T С. Уилкс в 1932 году предложил ввести понятие обобщенной дисперсии:

γ = │Bγ│,

где Bγ — корреляционная матрица с элементами Формула, и оценил математическое ожидание и СКО обобщенной дисперсии выборки из многомерного гауссовского вектора γ [8, 9].

Для двумерного случая обобщенная выборочная дисперсия Δвбр вычисляется по формуле [8]:

Δвбр = sx2sy2(1 – rxy2),

имеет среднее значение

Формула

и СКО от среднего

Формула

 Значит Формула.

В спутниковых РНС различают плановую (в горизонтальной плоскости) точность местоопределения НТС, точность определения σh его геодезической высоты и точность оценки σt расхождения шкал бортового и системного времени Δtш. Как указывалось во «Введении», погрешности синхронизации и расхождение шкал времени можно рассматривать по отдельности и характеризовать рассмотренными выше числовыми параметрами — мерами точности.

Рассмотрим подробнее меры точности радионавигационного местоопределения проекции НТС на плоскость, касательную к земному референц-эллипсоиду [1].

 

Двумерное рассеяние местоположения объектов и основные меры точности их местоопределения

 Пусть имеется двумерный случайный вектор z = (x, y)Т на плоскости {x, y}, конец которого является проекцией местоположения НТС на плоскость, касательную к земному референц-эллипсоиду в точке истинного местоположения НТС на поверхности Земли. Кроме средних значений Формула  и Формула вектор z характеризуется дисперсиями составляющих погрешностей местоопределения sx2, sy2 по осям Ox и Oy соответственно (рис. 1), а также их коэффициентами корреляции rxy = ryx. Последние четыре величины можно записать в виде матрицы:

Формула

Как положительно определенная (квадратичная форма) матрица Вz имеет два инварианта относительно ортогональных линейных преобразований вектора z (поворотов системы декартовых координат {x, y}):

  • след — trBz = sx2 + sy2 = sr2
  • определитель — detBz = |Bz| = sx2sy2(1 – rxy2).

Величина Формула давно и широко используется как в классической навигации, так и в радионавигации [5, 6] и называется радиальной среднеквадратической погрешностью (СКП) местоопределения. На рис. 1 она представлена вектором Формула.

Второй точностной характеристикой является СКО местоположения НТС по заданному направлению φ: Формула (рис. 1). Вводя параметрическое уравнение единичного эллипса рассеяния:

Формула

получаем зависимость СКО sj от угла φ в виде:

Формула

Величина σd2 = σr2/2 является средней по произвольному (равновероятному) направлению дисперсией отклонения вектора z от вектора (ФормулаФормула)T на произвольное направление φ.

В силу инвариантности величин σr и |Bz| относительно азимута As их можно выразить через полуоси единичного эллипса рассеяния a и b [1]:

σr2 = σx2 + σy2 = a2 + b2; |Bz| = sx2sy2(1 — rxy2) = a2b2 = rэ4.    (2)

Если ввести еще одну характеристику точности местоопределения НТС — площадь круга, равновеликого единичному эллипсу рассеяния, то радиус этого круга rэ также будет мерой точности местоопределения НТС и определится из равенства: πrэ2 = πab, то есть Формула.

Из выражений (2) с учетом равенства σd2 = σr2/2 можно получить выражения для величин полуосей a и b единичного эллипса рассеяния через величины sd и rэ:

Формула

Повернув систему координат {x, y} на угол Ψ, получим диагональную матрицу Bz в новой системе координат {x’, y’}, оси которой направлены параллельно полуосям единичного эллипса рассеяния (рис. 1). Угол Ψ при этом определится равенством:

Формула

Отсюда получаем явное выражение для угла Ψ, если σy < σx:

Формула

При σy > σx величина Ψ равна: Ψ = (π/2) sign rx y — Ψ.

Таким образом, основные теоретические меры точности местоопределения НТС относительно точки Формула вычисляются по следующим формулам:

  • радиальное СКО:

Формула

где σx и σy — СКО по осям местной плоской декартовой системы координат (Гаусса — Крюгера [1]) {х, у}. Полную среднеквадратическую погрешность (СКП) S местоопределения НТС можно определить из формулы: Формула;

  • СКО по произвольному направлению:

Формула

  • эквивалентный радиус рассеяния:

Формула

При этом полуоси единичного эллипса рассеяния вычисляются по формулам (3).

Ориентация большой полуоси эллипса рассеяния Ψ определяется формулой (4).

Основные теоретико-вероятностные меры точности σx, σy, σr, σφ и rэ навигационного местоопределения НТС показаны на рис. 1.

Меры точности σr, σd и rэ имеют различную величину и применяются для различных целей:

  • σr — служит общей характеристикой точности местоопределения НТС в РНС;
  • σd — используется при выработке требований к точности координатного обеспечения НТС для привязки его местоположения к цифровым картам местности;
  • rэ — применяется для оценки информационной емкости РНС и необходимой разрешающей способности электронной картографии.

 

Выборочные статистические оценки параметров рассеяния и их вероятностные характеристики

 При разработке в данном регионе конкретной интеллектуальной транспортной системы (ИТС) для уточнения прогнозируемых точностных характеристик координатного обеспечения системы ИТС требуется эмпирически оценить значения приведенных выше мер точности и параметров единичного эллипса рассеяния. Для этого на данной территории выбирают места с «хорошими» условиями приема радионавигационных сигналов, организуют в них контрольные точки с точной геодезической привязкой, устанавливают в этих точках приемоизмерители СРНС и проводят сеансы измерений радионавигационных координат контрольных точек. По каждой выборке [(x1, y1); (x2, y2); …, (xi, yi); …, (xn, yn)] объема n с помощью приведенных в разделе 1 формул математической статистики определяют точечные оценки нужных величин и пределы, в которых могут находиться их истинные значения (интервальное оценивание).

Именно (при n >> 1):

Формула

Величину эмпирического радиального СКО sr определим формулой:

sr2 = sx2 + sy2.

Тогда Формула, и при условии некоррелированности величин Формула и  получим:

Формула.

Можно вывести асимптотику СКО(rэ) эмпирического эквивалентного радиуса рассеяния Формула

Разлагая это выражение в ряд Тейлора около эмпирического среднего, удерживая линейные члены этого ряда и вычисляя математическое ожидание квадрата отклонения rэ от эмпирического среднего , получим окончательно:

Формула

Сложнее вывести оценку дисперсии угла Ψ между большой полуосью единичного эллипса рассеяния и осью Ox.

Эмпирически величину Ψ можно определить равенством:

Формула

где bxy и byx — эмпирические коэффициенты регрессии случайной величины x на y и y на x соответственно [8, 9].

Исходя из этого равенства в работе [1] показано, что асимптотически (при σΨ << 1) для среднеквадратического значения σψ справедливо выражение:

Формула

где k — коэффициент сжатия единичного эллипса рассеяния (k = b/a).

Зависимость величины Формула от коэффициента k при различных значениях Ψ представлена на рис. 2.

Зависимость погрешностей оценки Ψs от k = b/a

Рис. 2. Зависимость погрешностей оценки Ψs от k = b/a:
красная линия — Ψs = 0°, ± 90°;
зеленая линия — Ψs =±30°, ±60°;
синяя линия — Ψs = ±45°

Зависимости, представленные на рис. 2, соответствуют интуитивно ясным представлениям о том, что:

  • ориентацию сильно вытянутого единичного эллипса рассеяния (k = b/a << 1) эмпирически можно оценить наиболее точно;
  • ориентация почти кругового эллипса рассеяния (k = b/a ≈ 1) эмпирически не определяется;
  • ориентация эллипса рассеяния при Ψ ≈ 45° может быть статистически оценена более точно, чем при Ψ ≈ 0° или при Ψ≈ 90°;
  • при n >> 1 дисперсия σψ2 оценки угла Ψ обратно пропорциональна объему выборки nψ2~ 1/n).

 

Соотношения между мерами точности радионавигационного местоопределения НТС с помощью сигналов СРНС

 В американской литературе в качестве основной меры точности местоопределения с помощью спутниковой радионавигационной системы GPS используется величина планового кругового вероятного отклонения местоположения НТС от истинного значения — CEP (Circular Error Probable).

На фирме GARMIN (а также Magellan) точность радионавигационного местоопределения НТС характеризуют так называемой предвычисленной (плановой) погрешностью местоопределения EPE (Estimated Positional Error). Встречается и такая характеристика, как радиус круга, содержащего 95% радионавигационных местоположений НТС: R95.

В Интернете наблюдается некоторая путаница в этих определениях. А потому имеет практический смысл разобраться в такой терминологии.

Как уже указывалось, погрешности определения координат НТС, полученные с помощью радиосигналов спутниковых РНС, распределены по многомерному закону, близкому к гауссовскому. При этом единичный эллипс рассеяния местоположения НТС в горизонтальной плоскости почти круговой, то есть σx ≈ σy ≈ σr/√2, а величина СКО σh геодезической высоты H НТС σh ≈ 2σr.

Вероятность P(r) попадания радионавигационного местоположения НТС в круг радиуса r зависит от эксцентриситета (вытянутости) единичного эллипса рассеяния и в общем случае аналитически не вычисляется. В предельном случае a = b = rэ (круговое рассеяние) σx = σy = σ, и двумерная плотность вероятности pγ(x, y) вектора γ = (α, β)Т в полярной системе координат {ρ, φ} будет иметь вид:

Формула

и не будет зависеть от угловой координаты φ.

Вероятность попадания P0(r) радионавигационного местоположения НТС в круг радиуса r в этом случае равна:

Формула

Заменой переменной R = ρ/(2σ) получаем:

Формула

График функции P0(rr) представлен на рис. 3 красной кривой (σr2=2 σ2).

Зависимость вероятности попадания P радионавигационного местоположения НТС в круг радиуса r от относительного радиуса r/σr этого круга

Рис. 3. Зависимость вероятности попадания P радионавигационного местоположения НТС в круг радиуса r от относительного радиуса r/σr этого круга

В другом предельном случае (b << a) вычисление Pγ(rr) сводится к одномерной вероятностной модели:

Формула

где erf(z) — так называемый интеграл вероятности ().

График функции P1(rr) показан на рис. 3 синей кривой.

Если r = σr, то вероятность попадания радионавигационного местоположения НТС в круг радиуса, равного радиальному СКО σr, лежит в пределах от 63 до 68% (рис. 3). В морской радионавигации [6] в качестве критерия вероятного местоположения судна принята величина Rс = 2σr. Вероятность радионавигационного местоположения судна в круге радиуса Rс может составлять от 95 до 98% (рис. 3).Оставшаяся неопределенность местоположения судна в 2–5% приходится на «человеческий фактор».

Вероятность нахождения НТС в единичном эллипсе рассеяния не зависит от его эксцентриситета и составляет 39%, а вот вероятность нахождения НТС в круге радиуса Формулазависит от соотношения полуосей a и b и лежит в пределах 39–53%.

Величина CEP, наоборот, соответствует строгой вероятности P = 50%, а потому имеет неопределенность своей величины в пределах от 0,67σr до 0,84σr.

Уровень вероятности P(rr) для меры EPE выбран по аналогии с одномерной интервальной гауссовской оценкой Δ = 2σ, то есть P(rr) = 0,68. Поэтому неопределенность величины EPE лежит в пределах (1–1,07)σr.

Уровень вероятности P(rr) для меры R95 выбран по аналогии с одномерным случаем для Δ = 4σ, то есть P(R95r) = 95%. Неопределенность этой меры составляет (1,72–1,95)σr.

Судя по рис. 3, наиболее определенной мерой точности радионавигационного местоположения НТС является величина, равная . Вероятность попадания НТС в круг радиуса Rопт не зависит от эксцентриситета единичного эллипса рассеяния и составляет P(Rопт) = 79%. К сожалению, эта оптимальная мера точности не нашла практического применения в радионавигационной практике.

Если в ИФ РНС типа Loran и «Чайка» условие a b не выполняется в большинстве областей их рабочих зон, то в глобальных спутниковых РНС это условие не выполняется в основном только в приполярных регионах. Поэтому специалисты по интеллектуальным транспортным системам, основанным на местоопределении НТС по глобальным спутниковым РНС, в своей практической деятельности используют таблицы перехода различных мер точности друг в друга. Ниже приводится таблица перевода мер точности, взятая из статьи [10] и дополненная автором относительно меры EPE [11] (точность данных таблицы — два знака после десятичной запятой).

Подчеркнем, что данные таблицы справедливы для кругового рассеяния радионавигационного местоположения НТС и не применимы, например, для длинноволновых ИФ РНС (рис. 3).

Таблица. Теоретические соотношения мер точности местоопределения в стандартных условиях радиоопределения по сигналам СРНС GPS

СКО высоты σh

CEP

Радиальное СКО σr (drms)

R95 горизонтальное

EPE

 

1

0,44

0,53

0,91

0,57

σh

2,27

1

1,2

2,1

1,28

CEP

1,89

0,83

1

1,7

1,08

σr

1,1

0,48

0,58

1

0,62

R95

1,77

0,78

0,93

1,61

1

EPE

 

Заключение

В статье систематизированы материалы, касающиеся математико-статистических вопросов теории точности радионавигационного местоопределения наземных транспортных средств — различные меры точности местоопределения и соотношения между ними, а также представлены формулы для получения их оценок по реальным экспериментальным данным.

Приведенные формулы математической статистики позволяют наиболее полно исследовать точность координатного обеспечения наземных транспортных средств и откалибровать рабочую зону проектируемой интеллектуальной транспортной системы.

Литература
  1. Худяков Г. И. Транспортные информационно-управляющие радиоэлектронные системы. СПб: Изд-во СЗТУ, 2003.
  2. ITS Handbook. Paris: PIARC (Word Road Association), 2011.
  3. Плошко Б. Г., Елисеева И. И. История статистики. М.: Финансы и статистика, 1990.
  4. Каврайский В. В. Избранные труды. Том I. Астрономия и геодезия. Л.: Изд. Управления начальника Гидрографической службы ВМФ, 1956.
  5. Сайбель А. Г. Основы теории точности радиотехнических методов местоопределения. М.: Оборонгиз, 1958.
  6. Кондрашихин В. Т. Теория ошибок и ее применение к задачам судовождения. М.: Транспорт, 1969.
  7. Фишер Р. Статистические методы для исследователей. М.: Госстатиздат, 1958.
  8. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.
  9. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967.
  10. Van Diggelen F. GNSS Accurace: Lies, Damn Lies, and Statistics. GPS World. 2007, vol. 18, № 1.
  11. What is EPE? NPS GPS Support Facility.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *