Асимптотический подход к управлению

Известно, что важным фактором внедрения АСУ ТП является наличие эффективных и достаточно просто реализуемых в промышленных условиях алгоритмов управления. Один из путей синтеза таких алгоритмов — использование специализированных математических моделей соответствующих блоков с распределенными параметрами. Указанные модели конструируются на основе асимптотических (по параметрам процесса) представлений фундаментальных решений или функций Грина (импульсных переходных функций). Не вдаваясь в детали асимптотических методов [1, 2] отметим, что в ряде случаев для этой цели могут быть использованы стандартные решения [3] соответствующих уравнений математической физики и формулы пересуммирования Пуассона: известная классическая [4] и менее известная, обобщенная на случай сингулярных рядов [5, 6] (1) при 0 < α <1.

Покажем, как практически реализуется изложенный подход. Для этого построим алгоритм оптимального программного управления одним из процессов технологической теплофизики — штамповки.

Состояние объекта Q(x, τ) опишем одномерным уравнением теплопроводности для полубесконечного тела при воздействии на его торец периодического теплового источника мощности K_i. Будем рассматривать квазиустановившийся процесс, которому соответствует периодическое температурное поле в теле. Для отыскания периодической составляющей температурного поля Q*(x, τ) воспользуемся асимптотическим в погранслое по x представлением фундаментального периодического по времени τ решения [7, 8] (2), где ς(k+1/2) — дзета-функция Римана [9].

С использованием (2) решение задачи при произвольном периодическом воздействии f(τ) запишется в пределах периода T следующим образом:

Перейдем к задаче управления периодическим тепловым режимом в стержне. Для системы, состояние которой описывается соотношением (3), необходимо определить периодическую функцию теплового источника f(τ) такую, чтобы к моменту времени τ = T обеспечить заданную температуру

в точке под источником x = 0 (поскольку именно максимальные температуры представляют наибольший интерес). Потребуем, кроме того, чтобы величина T достигала наименьшего значения.

На функцию f(τ) наложены несимметричные ограничения:

где A₁ и A₂ — минимальное и максимальное значения функции f(τ) при ∈(0, T) соответственно.

Из (3) с учетом (2) получим формулу для определения температуры Q*(0, τ):

где ς(1/2,(τ–u)/T) — обобщенная дзета-функция.

Решим сформулированную задачу управления, предварительно приведя ограничения в симметричную форму:

где l и k определяются так [10]:

Для момента τ = T из (6) с учетом (4) получим следующее соотношение:

Выражение (9) с учетом (7) можно рассматривать как проблему моментов [10]. Принципиально решение этой задачи известно [10], и для нашего случая оно имеет вид:

где числа ξ₀ и λ находятся из решения следующей задачи [10]:

Найти

при условии, что

Минимальное значение T определяется из (11) при λ = l, решение задачи в этом случае единственно.

Из (11) с учетом (12) найдем:

А управление в этом случае имеет вид:

Описание (14) периодически продолжается на все τ, лежащие вне интервала (0, T). Следовательно, оптимальный закон управления f(τ) имеет вид релейной функции, принимающей попеременно предельные значения. Моменты переключения с предельных уровней определяются нулями обобщенной дзета-функции.

Уравнение

имеет в промежутке τ∈(0, 1) единственный действительный корень с численным значением:

Поведение ς(1/2, τ) на всем интервале (0, 1) характеризуется следующим образом:

Вычисляя интеграл, входящий в (13), получим соотношение, устанавливающее связь между параметрами оптимального процесса и определяющее минимальное значение периода T:

А алгоритм оптимального управления может быть записан так:

Нетрудно заметить, что если T задано, то формула (18) может служить критерием управляемости: система управляема, если параметры процесса выбраны так, что выполняется условие (18). Таким образом, на практике устанавливается связь между A₁, A₂, K_i, Q* и T. Значение этого факта очевидно: для реальной технологической ситуации появляется возможность варьировать параметры процесса нагрева так, чтобы он обеспечивал выход системы на заданное состояние.

Отметим, что законы управления, содержащие дзета-функцию и аналогичные (14), получаются также в задачах управления периодическими тепловыми режимами, например в цилиндрических технологических аппаратах при наличии подвижных источников тепла. Таким образом, дзета-функция связана с широким кругом задач управления тепловыми режимами. Кроме того, выясняется, что использование в задачах управления асимптотических моделей температурных полей позволяет получать наглядные физически реализуемые законы управления, которые можно, по-видимому, назвать асимптотически оптимальными периодическими законами управления. Качество управления в системах, использующих такие алгоритмы, может быть повышено, например, за счет применения адаптивных процедур идентификации базовых моделей с последующей корректировкой самого алгоритма [11].

Литература

1. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972.
2. Каратыгин В. А., Розов В. А. Асимптотика сумм с быстроосцилирующими слагаемыми // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1977. Т. 17.
3. Бутковский А. Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977.
4. Заездный А. М. Гармонический синтез в радиотехнике и электросвязи. Л.: Энергия, 1972.
5. Даринский Ю. В., Зеличенко Е. Н., Лукьянов А. Т., Пустыльников Л. М. Температурное поле в полом ограниченном цилиндре при наличии сканирующего источника // Ф и ХОМ. 1975. № 3.
6. Бричкин Л. А., Зеличенко Е. Н., Даринский Ю. В., Пустыльников Л. М. Об одном обобщении формулы Пуассона. Сб. Физика, вып. 5. Алма-Ата: Изд-во МВ и ССО КазССР, 1971.
7. Камаев Ю. П., Дилигенский Н. В. Об одном методе анализа периодических процессов и его применении к задачам теплопроводности // ИФЖ. 1969. Том XVII. № 3.
8. Даринский Ю. В. Управление тепловыми режимами при периодических тепловых воздействиях. Сб. Электрооборудование и автоматизация производственных процессов НГМК. Норильск: Изд-во МВ и ССО РСФСР, 1971.
9. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977.
10. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975.
11. Райбман Н. С. Адаптивное управление с идентификатором // Измерение, контроль, автоматизация. 1976. № 1.