Технология численного оценивания пропускной способности цифровых каналов электросвязи

Введение

Аналитическую оценку пропускной способности каналов электросвязи удается получить в очень редких случаях. В 2009 г. профессор СЗТУ Г. И. Худяков опубликовал статью [1], в которой предложил численный метод оценки пропускной способности каналов связи с многопозиционной фазовой манипуляцией, основанной на формуле Шеннона для оценки количества информации I_kj, содержащейся в k-м выходном символе канала связи относительно j-го входного знака.

Впоследствии Г. И. Худяков написал еще три статьи [2–4], в которых получили развитие численные методы оценивания пропускной способности цифровых каналов электросвязи на основе других методов модуляции.

Таким образом, автор статей [1–4] разработал методику численного расчета характеристик каналов электросвязи, на основе которой инженеры могут, используя, например, различные программные продукты, вроде MATLAB, MathCAD и др., строить содержательные математические модели своих конкретных цифровых систем электросвязи, оценивать их пропускную способность C(Q) и другие информационные характеристики.

В статье предлагается способ реализации методики Г. И. Худякова.

Постановка задачи и общий алгоритм

Используя методики, приведенные в статьях [1–4], составим общий алгоритм численного оценивания пропускной способности цифровых каналов электросвязи безотносительно к способу модуляции.

Постановка задачи выглядит следующим образом [2].

Пусть имеется источник дискретных (знаковых) сообщений (ДИС) и канал передачи дискретных сообщений (КПДС), на вход которого поступают независимые элементарные сообщения (знаки) u_j с априорными вероятностями P_j (j = 1, 2, …, N). На выходе КПДС появляются, соответственно, символы w_k с вероятностями P_k (k = 1, 2, …, N).

Канал КПДС характеризуется переходной матрицей Р, элементы которой являются условными вероятностями того, что при поступлении на вход канала сообщения u_j на выходе канала появится символ w_k: P_jk = P(w_k|u_j) (канал передачи дискретных сообщений без памяти).

Среднее на один знак источника ДИС количество информации, получаемое на выходе канала КПДС (бит/знак), определяется формулой [2, 5]:

По формуле полной вероятности:

Если передача сообщений {u_j} осуществляется с помощью сигналов одинаковой длительности (t_j = τ), то скорость передачи информации V_с (бит/с) определяется выражением V_с = H(U, W)/τ.

Будем полагать, что величина τ равна некоторой единице времени (доля миллисекунды, несколько микросекунд, несколько десятков наносекунд и т. п.). Тогда скорость V_с численно равна величине H(U, W) ≡ I(U, W), которую будем измерять в «битах на знак».

Пропускная способность C канала КПДС является максимальным значением величины V_с по всем возможным источникам ДИС с алфавитом U и с учетом всех ограничений, соответствующих этому каналу электросвязи.

Используя данную постановку задачи [2] и частные примеры из [1–4], построим общий алгоритм численного способа нахождения пропускной способности КПДС. Схема алгоритма представлена на рис. 1.

Рис. 1. Схема алгоритма

Вид зависимости числа позиций сигнального созвездия N от порядка созвездия m зависит от типа модуляции сигнала. Например, для амплитудной модуляции (N-ASK) и многопозиционной фазовой модуляции (N-PSK) будем использовать зависимость N = 2^m. То есть рассматривать, например, 2-SK, 4-SK, 8-SK и т. д. Для квадратного созвездия квадратурной амплитудной модуляции (N-QAM) зависимость уже будет иметь вид N = 4m².

Расстояние между соседними позициями сигнального созвездия Δu — это максимально возможное расстояние, при котором все позиции созвездия будут размещены в соответствии с конфигурацией этого созвездия и ограничением амплитуды сигнала U₀. Например, в случае N-ASK это задача размещения N точек на отрезке [–U₀, U₀] через максимально возможные равные промежутки. Очевидно, что в этом случае Δu = 2U₀/(N–1). При N-PSK вместо Δu используется Δj — угловое расстояние между соседними позициями N-PSK. Очевидно, что в этом случае Δj = 2π/N.

Величина H(U, W) ≡ Ī(U, W) будет зависеть от так называемого «отношения сигнал/шум», определяемого как отношение средней мощности сигнала P̄_s к средней мощности аддитивной помехи P̄_n. Среднеквадратичное значение помехи σ можно определить, зная отношение сигнал/шум, вид модуляции сигнала и закон распределения помехи в канале.

Для N-PSK средняя мощность сигналов P̄_s равна U₀². Средняя мощность помехи при круговом гауссовом распределении:

будет равна:

Значит, отношение сигнал/шум в этом случае есть:

Пример численного расчета

Приведем конкретный пример расчета для простого случая — «многоуровневого телеграфа», то есть для канала электросвязи с амплитудной манипуляцией (N-ASK).

Пусть ошибки в канале имеют гауссов закон распределения p(u). Возьмем параметры U₀ = 1, M_max = 5 (то есть пять графиков: для N = 2, 4, 8, 16, 32), n_p = 1000, Q_min = 1, Q_max = 10 000.

Для случая многоуровневого телеграфа будут справедливы следующие формулы:

P_j = 1/N (полагаем, что все уровни равновероятны);

где Ф(x) — интеграл вероятности.

Применяя эти формулы в приведенном выше алгоритме, получаем следующий график (рис. 2).

Рис. 2. Графики: 1 — для классической формулы Шеннона; 2 — результат проведенного расчета I₀(Q)

Как видно на рис. 2, результаты численного расчета для многоуровневого телеграфа лежат несколько ниже результатов, получаемых по классической формуле Шеннона: C = 0,5log₂(1+Q).

Заключение

На сегодня для оценки пропускной способности цифровых каналов связи в распоряжении инженеров имеются [6]:

• точная формула для пропускной способности симметричного бинарного канала связи C = [1+plog₂p+(1–p)log₂(1–p)]/T;
• асимптотическая формула для канала с гауссовым сигналом и аддитивным гауссовым шумом C = Wlog₂(1+S/N);
• приближенная зависимость пропускной способности канала связи с ограниченной пиковой мощностью сигналов и аддитивным гауссовым шумом C → Wlog₂[1+2P₀/(πeN)] ≈ Wlog₂(1+0,234P₀/N) [бит/с] при P₀/N → ∞.

В ряде статей [1–4] профессора Худякова предложен и развит метод численного расчета пропускной способности цифровых каналов связи. В настоящей статье предложен численный способ реализации этого метода. Метод Г. И. Худякова позволяет численно оценивать, с достаточной для практического применения точностью, значение пропускной способности цифровых каналов электросвязи. Этот метод реализуется для большого числа типов модуляции, например используемых в современных цифровых каналах радиосвязи. На основе приведенной схемы общего алгоритма численного расчета инженеры могут составлять программы расчета ожидаемых характеристик конкретной разрабатываемой ими системы, учитывая способ модуляции, закон распределения шума в канале и т. д.

Литература

1. Худяков Г. И. Оценка пропускной способности каналов авиационной цифровой электросвязи // Электросвязь. 2009. № 5.
2. Худяков Г. И. Пропускная способность цифровых каналов электросвязи с квадратурной амплитудной модуляцией // Электросвязь. 2010. № 6.
3. Худяков Г. И. О пропускной способности современных цифровых каналов электросвязи // Компоненты и технологии. 2011. № 3.
4. Худяков Г. И., Осипов А. Д. Сравнительная оценка пропускной способности современных цифровых каналов радиосвязи // Радиоэлектроника интеллектуальных транспортных систем. 2010. № 2.
5. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963.
6. Худяков Г., Осипов А. Развитие теории оценивания пропускной способности систем электро- и радиосвязи // Компоненты и технологии. 2011. № 7.