Подписка на новости

Опрос

Нужны ли комментарии к статьям? Комментировали бы вы?

Реклама

 

2009 №4

Учет скин-эффекта в задачах о потоках самоиндукции и взаимоиндукции, наводимых током, протекающим в проводнике с прямоугольным поперечным сечением

Лупандин Владислав  
Булгаков Олег  
Петров Семен  

В статье представлены новые аналитические выражения для расчета магнитных потоков самоиндукции и взаимоиндукции в плоских прямоугольных контурах, которые обусловлены протеканием токов в проводниках прямоугольного сечения. Рассмотрен обобщенный случай расположения проводника и контура в параллельных плоскостях при высокочастотном приближении.

Планарные (полосковые) системы соединений обеспечивают воспроизводимость электрофизических параметров твердотельных ВЧ и СВЧ усилителей мощности и максимально пригодны для автоматизации процессов сборки. Однако формулы, применяемые для расчетов индуктивностей полосковых и балочных соединений в конструкциях СВЧ-транзисторов [1–3], не отличаются высокой точностью, так как получены с учетом упрощений для некото рых предельных случаев и не учитывают конечные размеры контуров, в которых наводятся потоки самоиндукции и взаимоиндукции. В то же время, на частоте свыше 300 МГц индуктивные составляющие импедансов ВЧ-и СВЧ-транзисторов оказывают определяющее влияние на их усилительные и частотные свойства. Поэтому повышение точности расчетов малосигнальных параметров транзисторов, связанных с явлениями самоиндукции и взаимоиндукции в системах соединений, обеспечивает в конечном итоге повышение достоверности прогнозирования коэффициентов усиления по мощности и оптимальное проектирование согласующих цепей усилительных каскадов.

Рассмотрим проводник в виде тонкой металлической полоски длиной l ишириной w, по которой протекает ток с комплексной амплитудой , наводящий поток взаимоиндукции в плоском прямоугольном контуре площадью h l (рис. 1), параллельном плоскости полоски. В общем случае плоскости проводника и контура расположены на расстоянии h2 одна от другой; h0 — расстояние между проекцией проводника на плоскость контура и смежным краем контура.



Рис. 1. Расчет потока взаимоиндукции от тока, протекающего по тонкой металлизированной полоске

Полоска может быть представлена рядом N параллельных проводников квадратного сечения, а величина магнитного потока в контуре вычисляется как сумма потоков, наводимых каждым проводником:

при условии равномерного распределения плотности тока по сечению проводника [4] (2),

где r0 = d/2 — радиус проводника круглого сечения, «вписанного» в проводник квадратного сечения; h0 — расстояние между смежными краями проводника и контура; μ0 =4π×10–7 Гн/м— магнитная постоянная в СИ;

Произведение третьего и четвертого сомножителей в левой части (2) представляет собой геометрический индуктивный фактор (ГИФ) Fi прямолинейного проводника круглого сечения по отношению к прямоугольному контуру, расположенному по отношению к проводнику в соответствии с рис. 1. ГИФ проводника ρn по отношению к участку площади контура Sk определяется отношением [4]:

где Фξ(Sk ; ρn )— величина магнитного потока, наведенного в участке площади Sk некоторого замкнутого контура током Iξ, протекающим по отрезку ρn того же или другого замкнутого контура.

Как следует из определения ГИФ, он не зависит от величины тока Iξ. И при равенстве

Sk всей площади рассматриваемого контура, а ρn — всей совокупности проводников контура, ГИФ имеет физический смысл индуктивности контура L (если Ф (Sk ; ρn)) — поток самоиндукции) или коэффициента взаимоиндукции Мnk двух контуров. При этом Ф (Sk ; ρn)— поток взаимоиндукции. Таким образом, ГИФ объединяет в себе понятия индуктивности и коэффициента взаимоиндукции, являясь по отношению к ним обобщающим понятием.

Вначале рассмотрим случай, когда высота сечения проводника d не превышает удвоенной толщины скин-слоя σ. Таким образом, в первом приближении можно считать, что высокочастотный ток, протекающий по проводнику прямоугольного сечения шириной w, сосредоточен в пределах тонкой полоски с высотой сечения d = 2σ<<w. Устремим высоту сечения полоски к нулю: d→0. Тогда дискретная координата i-го проводника становится непрерывной: (2i –1)×r0y, h2+r0h2, а суммирование в (1) заменяется интегрированием по переменной у. В результате аналитическое выражение для геометрического индуктивного фактора тонкой металлической прямоугольной полоски длиной l и шириной w будет выглядеть следующим образом (4).

Для компактной записи результата интегрирования введем алгебраический оператор (5).

Тогда выражение (4) можно записать в компактном виде:

На рис. 2 приведены рассчитанные по формуле (6) значения зависимости ГИФ полоски металлизации длиной l = 5 мм, шириной w = 0,4 мм, от ширины контура при условии d<<w.



Рис. 2. ГИФ проводников прямоугольного сечения: 1) h2 = 0,5 мм, h0 = 0 мм; 2) h2 = 1 мм, h0 = 0 мм; 3) h2 = 1 мм, h0 = 0,5 мм; 4) h2 = 1,5 мм, h0 = 0,5 мм

Частным случаем взаиморасположения проводника и контура является их нахождение в одной плоскости, при этом h2 = 0. Тогда выражение (5) упростится:

а выражение (4) можно записать в таком виде:

На рис. 3 приведена зависимость ГИФ полосок металлизации, рассчитанных по формуле (8).



Рис. 3. ГИФ проводников прямоугольного сечения: 1) h0 = 0 мм; 2) h0 = 2 мм; 3) h0 = 5 мм; 4) h0 = 10 мм

В случае примыкания магнитного контура к проводнику (h0 = 0), β(0) = 0, тогда выражение (8) упростится:

Рассмотрим случай, когда плоскость прямоугольного контура, расположенного в створе тонкого проводника, перпендикулярна плоскости проводника и делит сечение проводника на две одинаковые половины высотой d/2 (рис. 4).



Рис. 4. Схема, иллюстрирующая получение формулы для расчета ГИФ прямоугольной полоски фольги по отношению к прямоугольному контуру, расположенному в перпендикулярной плоскости

Величина ГИФ при представлении проводника набором N проводников круглого сечения диаметром d = 2r0 = w c учетом симметрии относительно плоскости XOY:

где Fi определяется выражением (2);

Устремив толщину фольги w к нулю, перейдем в выражении (9) от суммирования к интегрированию по переменной z. В результате получим:

где (11).

Частным случаем взаиморасположения проводника и контура является h1 = 0. Тогда выражение (10) можно записать в виде:

На рис. 5 приведены значения зависимости от ширины контура ГИФ полосок металлизации, рассчитанных по формулам (10–12), l = 5,0 мм, d = 0,2 мм. В отличие от графиков, представленных на рис. 2–3, ГИФ проводника, плоскость которого перпендикулярна плоскости контура, характеризуется большей величиной и большей зависимостью от ширины контура при h>>d.



Рис. 5.
ГИФ прямоугольной полоски фольги по отношению к прямоугольному контуру, расположенному в перпендикулярной плоскости: 1) h1 = 3 мм; 2) h1 = 10 мм; 3) h1 = 0 мм

Для учета скин-эффекта в проводнике конечной толщины будем считать, что весь протекающий по проводнику ток с комплексной амплитудой сосредоточен, в приближении постоянной плотности, в приповерхностной области, толщина которой равна удвоенной толщине скин-слоя r0 (рис. 6).



Рис. 6. Расчет ГИФ проводника с прямоугольным поперечным сечением с учетом скин-эффекта

Комплексная амплитуда 1-й гармоники потока взаимоиндукции i в плоском контуре шириной h, отстоящего от проводника на расстоянии h1, может быть найдена как сумма комплексных амплитуд магнитных потоков, наводимых токами, протекающими по приповерхностным областям граней проводника:

здесь || — магнитные потоки от параллельных плоскости контура участков слоя толщиной 2r0; , — соответственно магнитные потоки от ближнего и дальнего перпендикулярных плоскости контура участков токового слоя.

С учетом симметрии сечения проводника относительно оси OY выражение (13) можно записать в виде:

где B, B — магнитные потоки от «верхних» (расположенных над осью OY) частей участков токового слоя, перпендикулярных плоскости контура.

Представим каждый участок, поток от которого фигурирует в выражении (14), набором проводников круглого сечения диаметром 2r0. Тогда для участков, параллельных плоскости контура:

где i вычисляется по формулам (2), (4–6).

Аналогичным образом определим магнитные потоки для участков сечения проводника, перпендикулярных плоскости контура, с учетом выражения (11):

Искомое выражение для геометрического индуктивного фактора проводника с прямоугольным сечением по отношению к отстоящему на расстоянии h1 прямоугольному контуру с учетом скин-эффекта получается делением на правой части формулы (13).

На рис. 7 приведены значения зависимости ГИФ проводников с прямоугольным поперечным сечением от ширины контура, рассчитанных по формуле (12) при значениях l = 5,0 мм, d = 0,5 мм, w = 0,2 мм.



Рис. 7. ГИФ проводника с прямоугольным поперечным сечением с учетом скин8эффекта: 1) h1 = 1 мм; 2) h1 = 3 мм; 3) h1 = 5 мм

Сравнение рис. 3, 5, 7 показывает, что основной вклад в величину ГИФ проводника, ориентированного по отношению к прямоугольному контуру, как это показано на рис. 6, вносит приповерхностный токовый слой, расположенный перпендикулярно плоскости контура и наводящий магнитный поток величиной 2 B.

Результаты вычислений по полученным выражениям в предельных случаях (h→∞) совпадают с расчетами индуктивностей проводников с прямоугольным поперечным сечением по известным формулам [1, 3]. Формулы (11), (12) согласуются с выражениями для индуктивностей двухпроводных и микрополосковых линий [1–3]. В то же время полученные выражения позволяют осуществлять трехмерное моделирование индукционных взаимодействий в системах соединений ВЧ- и СВЧ-транзисторов и твердотельных ВЧ (СВЧ) усилителей мощности в гибридном исполнении, учитывать конечную ширину контуров, в которых наводятся потоки самоиндукции и взаимоиндукции. В условиях сильно выраженного скин-эффекта (σ<<d) отличие новых формул особенно проявляется при вычислении магнитных потоков в контурах, ширина которых сопоставима с шириной или высотой сечения проводника, что характерно как для ленточных проводников (фольга на полиимидной основе), так и балочных и планарных внутрикорпусных полосковых соединений ВЧ (СВЧ) транзисторов и усилительных ГИС.

Литература

  1. Данилин В. Н. Аналоговые полупроводниковые интегральные схемы СВЧ. М.: Радио и связь, 1985.
  2. Антенны и устройства СВЧ / Под ред. Д. И. Воскресенского. М.: Радио и связь, 1981.
  3. Калантаров П. Л. Расчет индуктивностей / Справочник. Л.: Энергоатомиздат, 1986.
  4. Булгаков О. М. Композиционные модели индукционных взаимодействий в мощных ВЧ- и СВЧ-транзисторах. Воронеж: Воронежский государственный университет, 2005.

Скачать статью в формате PDF  Скачать статью Компоненты и технологии PDF

 


Другие статьи по данной теме:

Сообщить об ошибке