Подписка на новости

Опрос

Нужны ли комментарии к статьям? Комментировали бы вы?

Реклама

 

2007 №2

Анализ способов стабилизации выходного напряжения повышающего импульсного преобразователя постоянного тока

Коршунов Анатолий


По непрерывной линеаризованной модели оценены точность и динамические свойства стабилизированного импульсного повышающего преобразователя при различных принципах стабилизации.

Введение

Стабилизированный повышающий преобразователь напряжения постоянного тока должен не только иметь выходное напряжение в нужное число раз больше входного, но и обеспечивать заданную стабильность выходного напряжения при допустимых колебаниях входного напряжения и тока (сопротивления) нагрузки. Сложность нелинейной дискретной модели импульсного преобразователя делает анализ его работы в автоматической системе стабилизации напряжения крайне затруднительным.

При проектировании ключевых источников электропитания (DС-DС преобразователей) широко применяют непрерывные линейные модели импульсных преобразователей для малых отклонений от установившегося режима. В монографии П. Чети [1], например, приведены линеаризованные непрерывные модели основных типов преобразователей. Однако методика их получения, основанная больше на физике процессов, чем на строгой математике, базируется на допущении отсутствия у дросселя активного сопротивления. Вследствие этого теряются существенные особенности преобразователей. Например, установившийся режим повышающего и инвертирующего преобразователей, полученный без учета сопротивления дросселя, значительно отличается от реального, особенно при относительной длительности подключения дросселя к источнику питания, близкой к 1. Очевидно, что и линеаризованная модель для малых отклонений от установившегося режима отличается от реальной.

Кроме того, использованный подход не позволяет учесть многие, часто весьма существенные особенности преобразователей. К ним, например, относятся выходное сопротивление источника питания, обычно активно-индуктивное, фильтр на входе преобразователя и т. д.

Далее делается попытка выполнить анализ, используя непрерывную нелинейную модель преобразователя, учитывающую активное сопротивление дросселя [2].

Непрерывная модель преобразователя и ее линеаризация

По расчетной схеме, представленной на рис. 1 в [1], получена непрерывная модель импульсного повышающего преобразователя в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:

где a11 = –r/L, a12 = –(1–γ)/L, a21 = (1–γ)/C, a22 = –1/(Rн×C), b1 = 1/L; L и r — индуктивность и активное сопротивление дросселя с учетом выходной индуктивности и выходного активного сопротивления источника входного напряжения u1; Rн — сопротивление нагрузки; С — емкость выходного конденсатора; γ = τ/T — относительная длительность пребывания ключа К в положении 1, которое соответствует замыканию источника входного напряжения на дроссель.

Рис. 1. Расчетная схема повышающего DC-DC-преобразователя

Разумеется, используемая модель является приближенной, но, как показано в [2], при реальных частотах коммутации плавные кривые i(t) и u2(t), полученные по непрерывной модели, являются средними линиями реальных пульсирующих кривых i(t), u2(t).

При u1 = U10 = const, γ = γ0 = const из системы уравнений (1) и (2) легко получить установившиеся значения:

Из выражения (4) следует пропорциональность выходного напряжения входному напряжению с коэффициентом:

и, следовательно, в нестабилизированном преобразователе:

Хотя выходное сопротивление преобразователя, равное согласно (4):

при достаточно малом r может оказаться удовлетворительным, при реальной нестабильности u1 в десятки процентов необходимо обеспечить стабильность u2, регулируя ? согласно выбранному принципу стабилизации.

Для анализа свойств стабилизированного преобразователя инженерными методами теории автоматического управления необходимо линеаризовать его дифференциальные уравнения относительно рабочей точки. Переход к отклонениям:

и отбрасывание величин второго порядка малости позволяет привести систему уравнений (1), (2) к виду:

Переходя в полученных линейных дифференциальных уравнениях (7), (8) к изображениям по Лапласу, несложно получить их в виде передаточных функций:

где ΔI(p), ΔU2(p), ΔГ(p), ΔU1(p) — изображения по Лапласу отклонений Δi(t), Δu2(t), Δγ(t) и Δu1(t) соответственно:

Нетрудно проверить, что при активном сопротивлении дросселя r = 0 передаточные функции W21(р) и W22(р) совпадают с известными [1], полученными в предположении нулевого сопротивления дросселя.

Заметим, что передаточная функция W21(р) не является минимально фазовой вследствие c1<0, c0>0. Этим объясняется характер приведенной в [2] фазовой характеристики преобразователя, представляющей зависимость от частоты фазы приращения Δu2, вызываемого гармоническим приращением Δγ.

Анализ вариантов построения стабилизированного преобразователя

Использование принципа обратной связи

Простейший принцип построения стабилизированного преобразователя — введение пропорциональной отрицательной обратной связи по отклонению:

Подстановка (11) в (10) дает передаточную функцию стабилизированного преобразователя:

где F2(p) = Q2(p)+Kп(c1p+c0) = h2p²+h1p+h0 — характеристический полином замкнутого преобразователя, h2 = l2, h1 = l1+Kпc1 = rC+L/Rн–KпLI0, h0 = l0+Kпc0 = r/Rн+(1–γ0)²+Kп[(1–γ0)U20–rI0].

Реальные значения параметров преобразователя таковы, что c0 = (1–γ0)U20–rI0 > 0 и свободный член F2(p) положителен при любом коэффициенте Kп > –l00 (–l00 < 0). Критическое значение Кп, соответствующее границе устойчивости замкнутого контура, определяется равенством нулю коэффициента h1:

Потеря устойчивости замкнутого контура второго порядка при Кп > Кпкр объясняется его неминимально-фазовым характером (с1 < 0).

Приняв минимальный запас устойчивости в 6 дБ (К = Кпкр/2), получаем максимально возможный коэффициент стабилизации:

Используя параметры исследованного в [1] повышающего преобразователя: U10 = 100 B, U20 = 200 B, 1–γ0 = 0,4888, r = 0,2 Oм, Rн=40Oм, L = 6,914×10–3 Гн, C = 1,414 мкФ, получаем:

Очевидно, что малое значение коэффициента стабилизации делает рассмотренный вариант построения стабилизированного преобразователя неэффективным.

Для уменьшения запаздывания по фазе, возникающего вследствие отрицательного коэффициента c1 в числителе передаточной функции W21(p), можно сигнал ошибки ΔU2 подавать на вход широтно-импульсного модулятора через дифференцирующее корректирующее устройство (КУ) с передаточной функцией:

что дает:

где F3k(p) = f3p³ + f2p² + f1p + f0, f3 = Tl2, f2 = l2 + l1T – Kпc1², f1 = l1 + l0T, f0 = l0 + Kпc0².

Согласно критерию Вышнеградского условие устойчивости замкнутого контура стабилизации требует выполнения следующих неравенств:

Из условия f2 > 0, f0 > 0 получаем:

а из неравенства Вышнеградского следует:

Таким образом, условие устойчивости имеет вид:

При выборе T << –c1/c0, что характерно для дифференцирующих КУ, получаем критическое значение Кп:

При двукратном запасе устойчивости (Кп = Кпкр/2) в рассматриваемом случае имеем:

Увеличение Кст практически не произошло. Причина в том, что амплитудно-частотная характеристика разомкнутого контура стабилизации при ω ? ∞ и Т = 0 стремится к Кпc1²/l2, а фазо-частотная характеристика при этом стремится к –π. Поэтому величина Кпc1² по условию устойчивости оказывается ограниченной значением l2пc1²/l2 < 1). Таким образом, применение дифференцирующего КУ (Т ≈ 0) нерационально.

Анализ зависимости Кпкр от постоянной времени Т показывает, что при Т ? ∞ и Кпкр ? ∞, а следовательно, и Кст (статический) неограниченно возрастает.

Лучшими свойствами обладает стабилизация интегральной обратной связью:

С учетом (15) получаем:

где d0 = 1 – γ0, F3(p) = g3p3 + g2p2 + g1p + g0 — характеристический полином:

Согласно критерию Вышнеградского условие устойчивости замкнутого контура стабилизации требует выполнения неравенств:

Из условия g1 > 0, g0 > 0 получаем:

Подстановка значений коэффициентов в неравенство Вышнеградского дает:

откуда следует:

Учитывая с1 < 0, при положительности остальных коэффициентов нетрудно заметить, что Kи'' < Kи'. Таким образом, условие устойчивости замкнутого контура имеет вид:

В рассматриваемом случае получаем критическое значение Ки, Кикр = 2,0468 (Вс)–1. Как следует из передаточной функции (16), при U1 = const ≠ U10 (Δu1 = const ≠ 0) получаем Δu2 = const = 0 (u2 = U20). Таким образом, коэффициент стабилизации в идеале (без учета погрешности интегратора и других элементов) равен ∞. Выходное же сопротивление стабилизатора равно в идеале 0, поскольку изменение выходного напряжения Δu2 при изменении нагрузки будет полностью скомпенсировано интегральным регулятором (15), который до тех пор будет изменять γ, пока Δu2 не станет равным 0, а u2 — равным u20.

Хотя по точности контур стабилизации с регулированием по интегралу не оставляет желать лучшего, по динамическим свойствам он весьма далек от идеала.

Интегральный регулятор, как известно из теории, увеличивает инерционность системы регулирования, что ухудшает ее динамические свойства. Для иллюстрации этого рассмотрим «частотный коэффициент стабилизации» преобразователя:

где А(ω) = |Ф2(jω)| — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) стабилизированного преобразователя. График зависимости Кст(ω) для рассматриваемого случая при К = 0,5Ккр представлен на рис. 2 (кривая 1).

Рис. 2. График зависимости Кст(ω) при интегральной ОС-1; пропорционально интегральной ОС-2; при управлении по ΔU1–3

Более совершенными свойствами обладает стабилизированный преобразователь с пропорционально-интегральной обратной связью:

Подстановка (21) в (10) дает:

где F3'(p) = pQ2(p) + (Kп + Kиp–1)(–c1p + c0) = m3p3 + m2p2 + m1p + m0, m2 = l1 + Kпc1, m1 = l0 + Kпc0 + Kиc1, m1 = Kиc0.

Согласно критерию устойчивости Вышнеградского получены неравенства, выполнение которых обеспечивает устойчивость стабилизированного преобразователя:

С учетом первого из неравенств (23) последнее можно переписать в виде:

С учетом c1 < 0 и выполнения первого из неравенств (23) при выполнении условия (24) второе из неравенств (23) выполняется тождественно. Таким образом, в плоскости параметров ПИ-регулятора (Кп, Ки) область устойчивости замкнутого контура ограничена отрезком оси Кп: –l0/c0 < Кп < –l1/c1 и отрезком графика функции ƒ(Кп) (24) (гиперболы), проходящей через концы отрезка оси Кп. На рис. 3 построена область устойчивости в рассматриваемом случае. Очевидно, что отрезки осей координат Кп и Ки, принадлежащие области устойчивости, определяются условиями устойчивости преобразователя при пропорциональной и интегральной обратной связи соответственно.

Рис. 3. Область устойчивости при пропорционально-интегральной ОС

Добавление пропорциональной составляющей к интегральной обратной связи позволяет при сохранении бесконечного коэффициента стабилизации (статического) и нулевого выходного сопротивления улучшить динамические свойства замкнутого контура. Иллюстрацией этому служит кривая 2 на рис. 2, представляющая график «частотного коэффициента стабилизации» рассматриваемого преобразователя при Кп = 0,5Кпкр, Ки = 0,5Кикр.

Использование принципа управления по возмущающему воздействию

Управление по возмущающему воздействию Δu1 реализуется при изменении Δγ соответственно изменению Δu1. Очевидно, что положительному Δu1 должно соответствовать отрицательное Δγ и наоборот. Пусть связь между Δγ и Δu1 в динамике определяет неизвестная пока передаточная функция, то есть:

Подставив (25) в (10), после несложных преобразований получаем:

где Ф4(p) = W22(p) – G(p)W21(p) = [d0 – G(p)×(c1p + c0)]/Q2(p).

Очевидно, полная компенсация отклонений u2 (Δu2 = 0) достигается при:

Однако вследствие c1 < 0 передаточная функция (27) соответствует неустойчивому звену первого порядка, реализация которого делает преобразователь неустойчивым. Хотя нельзя добиться абсолютной инвариантности Δu2 от Δu1, в идеале возможно получить бесконечный коэффициент стабилизации (статический). Для этого достаточно выбрать:

что дает:

«Частотный коэффициент стабилизации», представленный кривой 3 на рис. 2, в рассматриваемом случае оказывается выше, чем в преобразователе с интегральной и пропорционально-интегральной обратной связью.

Недостатком преобразователя с управлением по Δu1 по сравнению с управлением по Δu2 оказывается более высокое выходное сопротивление, поскольку при управлении по Δu1 преобразователь никак не реагирует на изменение Δu2, вызванное изменением нагрузки. Кроме этого, нелинейность статической характеристики преобразователя позволяет компенсировать Δu2 при выполнении условия (28) только при достаточно малых Δu1. При значительных Δu1 необходима нелинейная связь:

График зависимости Δγ = ƒ(Δu1/U10) для рассматриваемой системы представлен на рис. 4. Подобную нелинейную зависимость можно реализовать с помощью обычного функционального преобразователя, осуществляющего кусочно-линейную аппроксимацию. При линейном напряжении развертки широтно-импульсного модулятора (ШИМ) на его вход можно подавать u1 через функциональный преобразователь, описываемый выражением

где uу — входное напряжение ШИМ, α и Т — крутизна и период напряжения развертки ШИМ.

Рис. 4. График зависимости Δγ = ƒ(Δu1/U10), компенсирующий влияние изменения U1

В случае использования линейной связи (28) можно исключить ошибки, вызванные нелинейностью функции Δγ = ƒ(Δu1), с помощью принципа комбинированного управления, то есть добавив отрицательную обратную связь (15) или (21).

Использование принципа комбинированного управления

При добавлении интегральной обратной связи (15) подстановка

в уравнение (10) дает:

Аналогично при добавлении пропорционально-интегральной обратной связи:

получаем:

Из передаточных функций (32) и (33) следует, что в линейной зоне не только постоянное u1 не вызывает отклонение u2 (Δu2 = 0), но и линейно изменяющееся Δu1. В теории автоматического управления это соответствует второму порядку астатизма. Повышение степени р до 2 в числителе передаточных функций (32) и (33) стабилизатора комбинированного управления вызывает также и улучшение динамических свойств. Это видно «из частотных коэффициентов стабилизации», представленных на рис. 5. Кривая 1 соответствует добавлению интегральной, а кривая 2 — пропорционально-интегральной обратной связи.

Рис. 5. Кривые частотных коэффициентов стабилизации при комбинированном управлении

Из графиков рис. 2 и 5 видно, что при логарифмическом масштабе по осям координат «частотный коэффициент стабилизации» линейно падает до частоты порядка 100 Гц и при более высоких частотах стабилизация практически отсутствует. Линейное падение графиков в области низких (до 100 Гц) частот объясняется характером А(?)— АЧХ стабилизированного преобразователя в области низких частот.

Так, при интегральной и пропорционально-интегральной обратной связи в области низких частот:

при управлении по возмущающему воздействию:

а при комбинированном управлении:

Анализ выражений (34–36) показывает, что для уменьшения АЧХ, а следовательнодля увеличения Кст(ω), необходимо уменьшать индуктивность дросселя L и емкость конденсатора С. Учитывая, что при этом возрастают пульсации потребляемого преобразователем тока и выходного напряжения, для повышения динамических свойств стабилизированного преобразователя необходимо повышать частоту коммутации. Это позволяет уменьшить L и С без увеличения пульсаций.

Выводы

  1. Пропорциональная отрицательная обратная связь по отклонению выходного напряжения от заданного значения не позволяет получить высокую точность стабилизации, поскольку замкнутый контур стабилизации теряет устойчивость уже при небольших коэффициентах обратной связи.
  2. Применение дифференцирующего корректирующего устройства в цепи обратной связи не приводит к заметному повышению точности стабилизации.
  3. Интегральная обратная связь в статике в идеальном случае дает бесконечный коэффициент стабилизации и нулевое выходное сопротивление, но в динамике не обеспечивает высокую точность стабилизации.
  4. Управление по отклонению входного напряжения от номинального значения в статике при линейной связи дает стабильное выходное напряжение при малых, а при нелинейной связи и при больших отклонениях.
  5. Лучшую точность стабилизации в статике и динамике обеспечивает сочетание управления по отклонению входного напряжения с пропорционально-интегральной обратной связью по отклонению выходного напряжения.
  6. Повышение частоты коммутации позволяет повысить точность стабилизации в динамике за счет уменьшения индуктивности дросселя и емкости конденсатора преобразователя.

Литература

  1. Чети П. Проектирование ключевых источников электропитания. М.: Энергоатомиздат. 1990.
  2. Коршунов А. И. Методика построения непрерывных моделей импульсных преобразователей напряжения постоянного тока // Компоненты и технологии. 2006. № 8.

Скачать статью в формате PDF  Скачать статью Компоненты и технологии PDF

 


Сообщить об ошибке