Подписка на новости

Опрос

Нужны ли комментарии к статьям? Комментировали бы вы?

Реклама

 

2007 №12

Параллельная работа импульсных повышающих преобразователей постоянного тока при наличии индуктивной связи дросселей

Коршунов Анатолий


Параллельная работа импульсных повышающих преобразователей постоянного тока с независимыми дросселями рассмотрена в статье [1]. Наличие отрицательной взаимоиндуктивности между дросселями позволяет скомпенсировать подмагничивание общего сердечника дросселей постоянными составляющими токов обмоток. Отсутствие постоянного подмагничивания существенно уменьшает габариты дросселя. Исследование этого важного для практики варианта параллельной работы преобразователей выполнено в данной статье.

Математическое описание преобразователя

На рис. 1 представлена схема исследуемого преобразователя. При достаточной индуктивности рассеяния обмоток дросселя Дp0 дроссели Дp1 и Дp2 не нужны. При недостаточной индуктивности рассеяния при одновременном включении нижних транзисторов ключей К1 и К2 скорость нарастания токов обмоток может достичь недопустимой величины. Для ограничения скорости нарастания токов и уменьшения размаха их пульсаций в этом случае дроссели Дp1 и Дp2 необходимы.

Рис. 1

Ключи преобразователя работают с одинаковой частотой и фазовым сдвигом на полпериода коммутации.

Примем для простоты сопротивления ключей К1 и К2 и дросселей Дp1 и Дp2 одинаковыми. Это позволяет изобразить расчетную схему преобразователя в виде, представленном на рис. 2. Идеальные ключи К1 и К2 в течение времени ? находятся в положении «1», а оставшуюся часть периода коммутации Т–τ — в положении «2». Сопротивление r учитывает суммарное сопротивление дросселей и замкнутого ключа. Ключ К1 переходит в положение «1» в начале каждого периода коммутации, а ключ К2 — в середине каждого периода. В зависимости от величины ? возможны два варианта распределения состояния ключей К1 и К2 в течение периода при 0 < τ < Т/2 и Т/2 < τ < Т, представленные на рис. 3а, б. На рис. 3 видно, что период коммутации распадается на четыре последовательных временных интервала, на границе каждого из которых происходит изменение расположения одного из ключей. При 0 < τ < Т/2 имеются два интервала, в которых оба ключа находятся в положении «2», то есть обе ветви одновременно отдают запасенную электромагнитную энергию в нагрузку. При Т/2 < τ < Т присутствуют два интервала, в которых обе ветви одновременно запасают электромагнитную энергию, поскольку оба ключа находятся в положении «1».

Рис. 2
Рис. 3

Общее потокосцепление параллельных ветвей ψ0 вызывает их взаимоиндуктивность (–М), а потокосцепление рассеяния и дросселей Дp1 и Дp2, в сумме составляющее ψ1 и ψ2, вызывают собственные индуктивности L и L (L = L = Lσ). Считая магнитные цепи линейными, можно записать:

Напряжение на обмотках Дp0, Дp1 и Дp2 (рис. 2) определяется следующими выражениями:

Суммарное напряжение на обмотке Дp0 и последовательно включенном дополнительном дросселе (Дp1 или Дp2) можно представить в виде:

где L = Lσ + М > М.

Как известно, при достаточно высокой частоте коммутации пульсационные составляющие токов и напряжений импульсного преобразователя становятся практически незаметными на фоне их гладкой (полезной) составляющей. Преобразователь в этом случае можно представить его предельной непрерывной моделью, получаемой при Т?0 (Т — период коммутации [1]). Для построения предельной непрерывной модели рассматриваемого преобразователя используем методику, изложенную в [1].

Для этого необходимо выбрать фазовые координаты, определяющие состояние преобразователя. Из теоретической электротехники известно, что таковыми являются токи в индуктивных элементах и напряжения на емкостных элементах. В рассматриваемом случае вектор фазовых координат Х преобразователя согласно расчетной схеме (рис. 2) имеет вид:

где Т — знак транспонирования, x1 = i1, x2 = i2, x3 = u2, x4 = iН.

В зависимости от положения ключей К1 и К2 на расчетной схеме преобразователя (рис. 2) возможны четыре ее конфигурации, которые удобно обозначать двузначным числом ij, первая цифра которого (i) обозначает положение ключа К1, а вторая (j) — положение ключа К2.

В общем виде расчетную схему можно описать векторно-матричным дифференциальным уравнением:

где Aij — 4 × 4 квадратная матрица, hij и gij — четырехмерные векторы, u1 = U1 = const, V = const.

Матрицы и векторы несложно получить, записав систему дифференциальных уравнений в форме Коши для различных конфигураций схемы рис. 2.

В качестве примера рассмотрим случай i = 1, j = 2, соответствующий первому интервалу периода коммутации при 0 < τ < Т/2 и второму интервалу при Т/2 < τ < Т (рис. 3). На рис. 2 изображена соответствующая конфигурация схемы.

Составив по первому и второму законам Кирхгофа необходимое число независимых уравнений, равное размерности фазового пространства схемы, получаем, учтя (3) и (4):

Для представления (7) в форме Коши разрешим эту систему относительно

что дает (8).

Непосредственно из системы дифференциальных уравнений (8) получаем (9).

Аналогично получены и следующие матрицы и векторы:

Неизменность элементов векторов hij и gij объясняется тем, что при изменении положения ключей К1 и К2 характер приложения внешних напряжений не изменяется.

Из рис. 2 непосредственно следует, что расчетная схема преобразователя при 0 < τ < Т/2 описывается последовательно четырьмя дифференциальными уравнениями вида (6), соответствующими ij = 12, 22, 21 и 22, а при Т/2 < τ < Т также четырьмя уравнениями, но соответствующими ij = 11, 12, 11 и 21.

Для получения разностного уравнения, связывающего значения векторов фазовых координат в конце X((n+1)T) и в начале Х(nT) произвольного (n-го) периода коммутации, воспользуемся методом припасовывания решений дифференциальных уравнений. Этот метод основан на известном из электротехники принципе непрерывного изменения токов в индуктивных элементах и напряжений на емкостных элементах в случае приложения конечных напряжений и токов.

Решение векторного дифференциального уравнения (6) при невырожденной матрице Аij и начальных условиях Х(0) = Х0 имеет, как известно, вид:

где Hij(t) = exp(Аij t) — матричный экспоненциал, Е — единичная матрица размером 4 × 4.

Используя выражение (11), легко записать решение дифференциального уравнения на последовательных интервалах периода коммутации, считая начальное значение вектора фазовых координат на текущем интервале равным его конечному значению на предыдущем интервале.

Решение дифференциального уравнения на последнем интервале периода коммутации дает искомое разностное уравнение.

В результате получаем:

Дифференциальное уравнение предельной непрерывной модели

Для получения искомого дифференциального уравнения необходимо вычислить предел:

при τ = γT, γ = const.

Вычисление предела (14) дает следующий результат

где

Определение матрицы А (16) с учетом формул (9) и (10) приводит к одинаковому результату в обоих случаях:

По векторно-матричному уравнению предельной непрерывной модели преобразователя можно записать соответствующую систему дифференциальных уравнений в форме Коши:

Из формул (18) видно, что при γ = const предельная непрерывная модель преобразователя описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решая ее при известных начальных значениях фазовых координат: i1(0), i2(0), u2(0), iH(0), входном напряжении u1(t) и противо ЭДС нагрузки V(t), несложно аналитически построить процесс в неуправляемом преобразователе.

На практике преобразователь используется в большинстве случаев в управляемом или стабилизированном источнике постоянного напряжения. Это предполагает изменение управляющего воздействия γ = τ/T. Как видно из системы дифференциальных уравнений (18), управляющее воздействие преобразователя оказывается не сигнальным, а параметрическим, поскольку изменяет некоторые коэффициенты системы (18). Решение такой нелинейной системы дифференциальных уравнений практически возможно только численными методами с использованием ЭВМ.

Установившийся режим предельной непрерывной модели преобразователя

При U1 = const, V = const, γ = const существует частное решение системы линейных дифференциальных уравнений (18), соответствующее установившемуся режиму:

Для его определения достаточно положить в системе дифференциальных уравнений все производные равными нулю и решить полученную после элементарных упрощений следующую систему линейных уравнений:

В результате получаем:

Согласно (22) в установившемся режиме предельная непрерывная модель преобразователя представляет собой источник напряжения с ЭДС, равной U1/(1–γ), и выходным сопротивлением, равным 0,5r/(1–γ)², что показано на рис. 4.

Рис. 4

Характеристики рассматриваемого преобразователя в установившемся режиме, получаемые по предельной непрерывной модели, совпадают с характеристиками двух обычных преобразователей, работающих на общую нагрузку [2]. Статическая характеристика U2 = ƒ (γ) при U1 = const, V = const имеет максимум при:

а при дальнейшем увеличении ? резко падает до U2 = V при γ = 1 [2, рис. 6], а при V = 0 — до 0.

Оценка пульсаций токов и напряжений преобразователя

Для оценки пульсирующей составляющей токов параллельных ветвей i1 и i2 примем обычные в таких случаях допущения. Пренебрежем пульсациями выходного напряжения преобразователя и активным сопротивлением дросселей, то есть будем считать

Принятые допущения (24) не приводят к существенным ошибкам, поскольку в практически важных случаях допускаются весьма небольшие пульсации выходного напряжения u2(t), составляющие не более единиц процентов от полезной составляющей напряжения U2 (постоянной составляющей u2(t)). Реально активное сопротивление дросселей также составляет единицы процентов от сопротивления нагрузки (r << RH), поскольку КПД реальных преобразователей близок к 1.

Для оценки пульсаций токов дросселей i1 и i2 используем первые два уравнения системы дифференциальных уравнений преобразователя, которые с учетом принятых допущений (24), матриц Аij и векторов hij , gij (9) и (10) оказываются независимыми и имеют вид:

где

С учетом принятых допущений (24) выражения (20)–(22) принимают вид (26).

Подстановкой U2 = U1/(1–γ) в уравнения (25) они приводятся к виду:

где

Рассмотрим пульсации токов и напряжений отдельно при 0 < τ ≤ Т/2 (0 < γ ≤ 1/2) и Т/2 ≤ τ < Т (1/2 ≤ τ < 1).

При 0 < γ ≤ 1/2 положение ключей на четырех последовательных интервалах периода коммутации: 0 < t < τ, ? < t < T/2, T/2 < t < T/2 + τ и T/2 + τ < t < T определяется, как уже отмечалось выше, значениями ij : 12, 22, 21 и 22.

Интегрирование уравнений (27) на периоде коммутации дает:

где 0 < t < τ, 1(t) — единичная функция:

Подстановкой t = T – 0 в формулу (28) находим:

что подтверждает колебания тока i1(t) около своего среднего значения I1 = 0,5IH/(1–γ). Аналогичный результат несложно получить и для i2(t). Его анализ показывает, что кривая i2(t) совпадает с кривой i1(t), сдвинутой на Т/2. При изменении γ = τ/T изменяется и характер пульсаций токов i1 и i2. На рис. 5 для 0 < γ < M/(L+M) < 1/2 представлены кривые i1(t) и i2(t) с преувеличенными для наглядности пульсациями.

Рис. 5

Возрастание тока i1 (i2) на интервалах, где ij = 21(12), объясняется тем, что при небольших ? напряжение U1, действуя непосредственно и через взаимную индуктивность обмоток Др0, преодолевает действие небольшого при малых ? напряжения U2 = U1/(1–γ).

Для определения пульсаций выходного напряжения U2(t) положим, что ток нагрузки iH(t) = IH = const. Это весьма близко к реальности, поскольку индуктивность нагрузки LH практически полностью подавляет пульсации iH(t), вызванные незначительными пульсациями U2(t). Это позволяет считать, что пульсации U2(t) вызваны пульсационной составляющей тока i3(t) (рис. 2), замыкающейся через конденсатор C.

Согласно изменению структуры схемы, вызываемому изменением состояния ключей К1 и К2 (рис. 2), можно записывать выражение для i3(t):

где

Очевидно, что логические переменные S1 и S2 принимают значение 0, когда соответствующий ключ находится в положении «1», и значение 1, когда ключ — в положении «2». Ток i3(t), построенный по выражению (30), представлен на рис. 5 пунктиром. На рис. 5 видно, что частота пульсаций i3(t) вдвое выше частоты коммутации. Переменная составляющая тока i3(t), равная i3(t)–IH, возрастает с увеличением IH. Пренебрегая пульсациями токов i1(t) и i2(t), что тем более допустимо, чем больше ток нагрузки, можно считать форму тока i3(t) прямоугольной:

Вычитая IH из i3>(t), получаем прямоугольную переменную составляющую i3(t), равную ic(t):

При этом пульсации выходного напряжения имеют пилообразную форму с размахом пилы:

Несложно показать, что при заданном токе нагрузки IH максимальный размах пульсаций напряжения u2(t) имеет место при

и составляет 8,58×10–2IHT/C.

В граничном случае при γ = M/(L+M) характер пульсаций токов i1(t) и i2(t) показан на рис. 6. Постоянство тока i1(t) (i2(t)) на интервалах, где ij = 21 (12), объясняется тем, что при указанном γ напряжение U1, действуя непосредственно и через взаимную индуктивность дросселя Др0, точно уравновешивает напряжение U2 = U1/(1–γ). Там же пунктиром построен график i3(t). Ток конденсатора при достаточно больших токах нагрузки IH можно также считать прямоугольным (32), а пульсацию выходного напряжения определять по формуле (33).

Рис. 6

Кривые токов i1(t), i2(t) и i3(t) при дальнейшем увеличении γ(M/(L+M) < γ < 1/2) представлены на рис. 7. В этом случае ток i1

(i2) на интервалах, соответствующих ij = 21 (12), уменьшается, поскольку U2

= U1/(1–γ) преодолевает U1

, действующее непосредственно и через взаимную индуктивность обмоток дросселя Др0

.

Рис. 7

Особое положение занимает случай τ = T/2 (γ = 1/2), при котором период коммутации состоит не из четырех, а из двух отрезков длительностью T/2 каждый. На первом из них ij = 12, а на втором — ij = 21. Кривые токов i1(t), i2(t) и i3(t) для этого случая представлены на рис. 8.

Рис. 8

Как видно на рис. 8, при γ = 1/2 прямоугольная составляющая тока ic(t) = i3(t)–IH отсутствует. Вследствие этого нет и основной пилообразной составляющей пульсаций выходного напряжения U2~(t). Осталась только параболическая составляющая, вызванная пилообразными пульсациями ic(t). Размах пульсаций выходного напряжения составляет:

Интересно, что пульсации входного тока преобразователя i4 = i1 + i2 в этом случае полностью отсутствуют (при принятых допущениях), что легко понять при анализе рис. 8.

Рассмотрим теперь токи i1(t), i2(t), i3(t) при T/2 < τ < T(1/2 < γ < 1). Положение ключей на четырех последовательных интервалах периода коммутации (рис. 3б) 0 < t < τ–T/2, τ–T/2 < t < T/2, T/2 < t < τ, τ < t < T определяется значениями ij = 11, 12, 11, 21 соответственно. На рис. 9, 10, 11 построены кривые i1(t), i2(t), i3(t) для случаев: c12 > 0 (1/2 < γ < L/(L+M)), c12 = 0 (γ = L/(L+M)), c12 < 0 (L/(L+M) < γ < 1) соответственно.

Рис. 9
Рис. 10
Рис. 11

Убывание тока i1(t) (i2(t)) на интервале, где ij = 12 (21), объясняется тем, что напряжение U2 с ростом ? увеличилось до такой величины, что, действуя через взаимную индуктивность обмоток Др0, преодолевает напряжение U1. При γ = L/(L+M) их действие уравновешивается, и ток в ветви, подключенной к входному напряжению U1, не изменяется.

Пренебрегая пульсациями токов i1(t) и i2(t), как и выше, можно считать ток конденсатора прямоугольным с периодом T/2:

Размах пилообразных пульсаций выходного напряжения преобразователя, вызываемых прямоугольными пульсациями тока конденсатора определяется напряжением:

Зависимость основной составляющей пульсаций выходного напряжения преобразователя (пилообразной) от γ при постоянном токе нагрузки IH, построенная с учетом принятых допущений по выражениям (33) и (36), представлена в относительных единицах на рис. 12.

Рис. 12

Постоянство IH при увеличении γ предполагает соответствующее увеличение сопротивления нагрузки RH. Не меньший интерес представляет случай постоянного сопротивления нагрузки RH, при котором с ростом γ увеличивается и ток нагрузки, определяемый при принятых допущениях выражением:

Постановка (37) в (33) и (36) дает зависимость размаха пилообразной составляющей пульсаций u2 от γ при RH = const в виде:

На рис. 13 в относительных единицах представлена зависимость (38), по характеру напоминающая зависимость, изображенную на рис. 12, при постоянстве тока нагрузки. Отличие — в большем значении экстремума, составляющего 0,125, который двигается при большем значении γ, равном 1/3. Кроме того, при γ ? 1 2?u2 ? ?, поскольку при RH = const IH ? ? при принятых допущениях.

Рис. 13

Разумеется, полученные результаты имеют приближенный характер. Точность их уменьшается с ростом γ, поскольку из-за влияния отличного от нуля сопротивления дросселя r возрастает отличие U2 = U1/(1–γ) от реального меньшего значения U2. Можно ожидать, что реальные пульсации выходного напряжения окажутся меньше расчетных при том же γ.

Помимо пульсаций выходного напряжения, учитываемых при оценке качества преобразователя, имеют значение и пульсации токов параллельных ветвей i1 и i2 (рис. 2). Они увеличивают потери в дросселях и ключах, а также снижают использование транзисторов ключей К1 и К2 по току, поскольку максимальный ток транзисторов тем больше полезного среднего значения тока ветви, чем больше пульсации тока (рис. 1).

Анализ временных диаграмм токов i1 и i2, построенных на рис. 5–11, позволяет определить размах их пульсаций выражением (39).

При γ = 1/2 оба выражения (39) дают одно и то же значение:

Зависимость (39) на первом интервале изменения γ (от 0 до 1/2) в случае

при значении γ

имеет максимум, определяемый выражением:

Из выражений (39) и (40) очевидно, что при любом значении γ, кроме γ = 1/2, уменьшение собственной индуктивности параллельных ветвей Lσ вызывает неограниченное увеличение размаха пульсаций токов i1 и i2.

При γ = 1/2 размах пульсаций, согласно выражению (40), имеет конечное значение даже при Lσ = 0. Объясняется это тем, что при γ = 1/2 в течение каждого полупериода коммутации между началом и концом обеих обмоток дросселя Дp0 действуют одинаковые напряжения. В одном полупериоде эти напряжения равны +U1, а в следующем полупериоде –U1.

На рис. 14 представлены зависимости размаха пульсаций, отнесенного к величине U1T/Lσ, для различных значений отношения Lσ/М: 1, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, ?. Все кривые ограничены сверху прямой, соответствующей предельному значению Lσ /М ? ?, а снизу — характеристикой, соответствующей другому предельному значению Lσ/М ? 0. Верхняя граница соответствует отсутствию индуктивной связи, а нижняя — отсутствию собственной индуктивности ветвей. Очевидно, Lσ/М ? 0 соответствует 2?І ? ?.

Рис. 14

Выводы

  1. Индуктивная связь параллельных ветвей повышающего преобразователя не влияет на его статические характеристики.
  2. При достаточно высокой частоте коммутации преобразователь при изменении входного напряжения можно рассматривать как линейную цепь с постоянными параметрами, а при изменении относительной длительности включения транзисторов γ = τ/Т — как цепь, параметры которой зависят от γ.
  3. Взаимоиндуктивность параллельных ветвей преобразователя изменяет характер пульсаций токов в них и зависимость размаха пульсаций от γ. При изменении γ меняется и форма пульсаций.
  4. Уменьшение собственной индуктивности параллельных ветвей преобразователя вызывает неограниченное увеличение размаха пульсаций при всех значениях γ, кроме γ = 1/2.
  5. Пульсации выходного напряжения преобразователя имеют две составляющие: пилообразующую и параболическую. Пилообразная составляющая пульсаций наиболее существенная. При γ = 1/2 наблюдается только параболическая составляющая, поскольку в том же случае пилообразная составляющая пропадает.

Литература

  1. Коршунов А. И. Методика построения непрерывных моделей импульсных преобразователей напряжения постоянного тока // Компоненты и технологии. 2006. № 8.
  2. Коршунов А. И. Анализ параллельной работы импульсных повышающих преобразователей напряжения постоянного тока // Компоненты и технологии. 2007. № 8.

Скачать статью в формате PDF  Скачать статью Компоненты и технологии PDF

 


Сообщить об ошибке