Индивидуальное прогнозирование долговечности интегральных схем ИС с использованием АРПСС-моделей временных рядов

При прогнозировании надежностных характеристик интегральных схем (ИС) по параметрическим отказам в расчеты закладывают максимальные (если в ТУ на параметр задана верхняя граница параметрического отказа), минимальные (если в ТУ на параметр задана нижняя граница параметрического отказа) или максимальные и минимальные (если в ТУ на параметр задана верхняя и нижняя граница) значения контролируемого параметра в выборке в конкретный момент времени (ОСТ В 073.902-78. Методика прогнозирования надежности ИС по постепенным отказам).

Например, для замера в момент времени t из четырех выходов одной ТТЛ ИС, связанных с параметром U_OL (выходное напряжение низкого уровня), выбирается минимальное, максимальное и среднее значение, после чего для 20 ИС формируется выборка из этих значений. Из этой выборки определяется наихудшее значение параметра U_OL (максимальное) для конкретной ИС. Далее определяют максимальное значение параметра U_OL в выборке из 20 шт. в момент времени t. В момент времени t+1 вышеописанная процедура по формированию ряда деградации повторяется. Таким образом формируется ряд деградации параметра U_OL, составленный из наихудших значений (ОСТ 11.0787-90. Оборудование для испытаний ИС на безотказность и долговечность. Общие технические требования) при испытаниях на долговечность.

Под параметрическим отказом будем понимать пересечение верхней (для параметра U_OL) границей 90%-ного доверительного интервала АРПСС-модели границ отказовых уровней по ТУ. Например, параметр U_OL ИС типа 106ЛБ1 по ТУ ограничен сверху, поэтому за параметрический отказ принимается условие: U_OL > 0,35 B.

Модель Бокса–Дженкинса [1–4] (модель авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего, АРПСС-модель) позволяет прогнозировать процесс деградации как по любому контролируемому электрическому параметру конкретной ИС, так и по параметру, составленному из экстремальных значений в выборке. То есть модель Бокса–Дженкинса позволяет вести как индивидуальное, так и групповое прогнозирование долговечности. При этом под прогнозом (forecast) понимается вероятностное утверждение о будущем с относительно высокой степенью достоверности.

Метод Бокса–Дженкинса основывается на том, что гладкий нестационарный временной ряд путем взятия разностей некоторого d-го порядка можно свести к эквивалентному стационарному, то есть к случаю, для которого разработаны методы анализа и прогнозирования. В методе Бокса–Дженкинса нестационарный временной ряд Z_t представляется в виде модели авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС, ARIMA) в прямой и возвратной формах:

Прямая форма:

Возвратная форма:

где φ(B), φ(F) — операторы авторегрессии (АР); B, F — операторы сдвига; Δ — оператор разности: Δ¹Z_t = Z_t – Z_t-1 = (1–B)Z_t; d — порядок разности, обеспечивающий переход от нестационарного ряда к эквивалентному стационарному; p — порядок авторегрессии; q, θ(B), θ(F)— порядок и операторы проинтегрированного скользящего среднего (СС) соответственно; a_t , e_t — последовательности независимых случайных величин, имеющих одинаковое нормальное распределение (белый шум).

В работах [5-7] модель Бокса–Дженкинса использовалась для прогнозирования процесса деградации экстремальных значений параметра U_OL ТТЛ ИС в выборке. Данная модель позволяет строить многошаговые прогнозы ряда деградации, когда полученные прогнозные значения используются для построения новых прогнозов. Очевидно, что многошаговое прогнозирование менее точно, чем одношаговое, так как в последнем используются только фактические величины. Примеры одношагового прогнозирования процесса деградации контролируемого параметра U_OL ТТЛ ИС были показаны автором ранее [8].

В данной работе предлагается использовать АРПСС-модель для индивидуального прогнозирования процесса деградации электрического параметра U_OL конкретной ТТЛ ИС.

Главное условие эффективности использования модели Бокса–Дженкинса — обеспечить должное число замеров контролируемых параметров. Модель для построения корректного прогноза требует не менее 30 наблюдений (оптимально — 100–200 наблюдений). Как при групповом, так и при индивидуальном прогнозировании долговечности ИС по параметрическим отказам большую трудность вызывают пропуски данных в рядах деградации.

Например, временной ряд замеров параметра U_OL ТТЛ ИС типа 106ЛБ1 при испытаниях на долговечность согласно ТУ должен иметь вид: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 35; 40; 45; 50; 60; 70; 80; 90; 100; 110; 120; 130 тыс. ч. Общее число замеров N = 41, размер выборки 20 шт.

При индивидуальном прогнозировании использовался еще более короткий ряд замеров: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 10; 15; 20; 40; 60; 80; 100 тыс. ч. Общее число замеров N = 13, размер выборки 20 шт.

Для получения значений ряда в равные интервалы времени необходимо использовать специальные методы получения недостающих значений, например, заполнение пропусков средними значениями ряда, методом линейной интерполяции или прогнозами линейной регрессии, аппроксимация недостающих значений кубическими сплайнами и др.

Проанализируем результаты испытаний выборки из 20 шт. ТТЛ ИС типа 106ЛБ1 на долговечность в течение 130 тыс. ч. Параметрических отказов за время испытаний зафиксировано не было.

Построим ряд деградации, составленный из экстремальных значений параметра U_OL в выборке из 20 шт. при испытаниях в течение 130 тыс. ч (кривая 1) и ряды деградации этого же параметра конкретных ИС в выборке при длительности испытаний 100 тыс. ч, например, ряд деградации параметра U_OL ИС под номером 1. На рис. 1 показан ряд деградации (кривая 2) параметра U_OL ТТЛ ИС типа 106ЛБ1 № 1, пропуски которого заполнены методом линейной интерполяции с использованием модуля анализа временных рядов системы Statistica for Windows. Для сравнения показана подгонка уравнения линейной регрессии к исходным данным (кривая 6). Предлагается пропуски исходного ряда деградации параметра U_OL заполнять случайными числами (кривая 3). Случайные числа генерируются методом Монте-Карло с использованием модуля «Анализ данных» (меню «Генерация случайных чисел») Microsoft Exel, в предположении, что справедливо нормальное распределение с конкретными параметрами μ и σ (табл. 1). Затем к ряду была подогнана модель авторегрессии второго порядка АР(2)-модель или модель авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего АРПСС(2,0,0) и построен интервальный и точечный прогноз на глубину 30 тыс. ч.

Было предложено сравнить прогноз модели АРПСС(2,0,0) с рядом, составленным из экстремальных значений параметра U_OL в выборке из 20 шт. этих же ИС при продолжении испытаний до 130 тыс. ч (кривая 1). Недостающие значения ряда, составленного из экстремальных значений, заполнялись методом линейной интерполяции. Далее для этого ряда (кривая 1) была идентифицирована модель АРПСС(0,1,2). Сравнивая интервальный прогноз модели АРПСС(2,0,0) с кривой 1, видим, что точечный прогноз удаляется в сторону увеличения параметрического запаса, а по верхней границе 90%-ного доверительного интервала фиксируется параметрический в момент 110 тыс. ч. Такой параметрический отказ можно рассматривать как потерю доверия к точечному прогнозу модели АРПСС(2,0,0). Однако кривая 1 показывает отсутствие параметрического отказа после 130 тыс. ч испытаний. Таким образом, разброс при прогнозировании с учетом 90%-ных интервальных прогнозов составляет 20 тыс. ч, и по точечным прогнозам параметрический отказ не фиксируется. В данном случае удается построить достоверный прогноз только на глубину 10 тыс. ч.

Аналогичным способом было предложено заполнить пропуски в рядах деградации ИС с порядковыми номерами 2, 3, 4, 5 генерацией случайных чисел и рассмотреть, как ведут себя интервальные и точечные прогнозы (рис. 2). Для рядов деградации ИС с порядковыми номерами 2, 3, 4, 5 были идентифицированы модели АРПСС(2,0,0) и построены прогнозы (табл. 2). Параметрические отказы в таблице 2 могут быть истолкованы лишь как потеря доверия к прогнозам моделей АРПСС(2,0,0). Потеря доверия к прогнозу модели АРПСС(2,0,0) для ИС № 1 произойдет через 12 тыс. ч, для ИС № 2 — через 18 тыс. ч, для ИС № 3 — через 23 тыс. ч. Точечные прогнозы АРПСС-моделей, идентифицированных для ИС с порядковыми номерами 1, 3, 4, 5, показывают не ухудшение параметров U_OL рассматриваемых ИС в течение прогнозных 30 тыс. ч.

Рассматривая параметрические отказы как «условные», можно построить основные показатели надежности партии, такие как интенсивность отказов λ(t), вероятность безотказной работы P(t) и вероятность появления отказа F(t).

Рассмотрим, как можно оценить статистическое значение интенсивности отказов с учетом достоверности. Для этого воспользуемся следующей формулой [9]:

где K_p — коэффициент, выбираемый из таблицы 3; N — объем выборки; T — период наработки.

Предположим, что объем выборки N = 5 и испытания проводятся до достижения 100% отказов ИС в выборке. Используя результаты прогнозирования времени наступления параметрических отказов (табл. 2), вычислим статистическую интенсивность отказов (табл. 4 и рис. 3).

Тем не менее, остается открытым вопрос: следует ли доверять прогнозам АРПСС-моделей, если они так сильно занижают фактическую долговечность? С целью дать ответ на этот вопрос рассмотрим процесс деградации этих же 5 ИС после 120 тыс. ч испытаний, представив информацию в ином виде.

На рис. 4а и в показан процесс деградации параметров U_OL и U_OH (выходное напряжение высокого уровня) ТТЛ ИС типа 106ЛБ1 с порядковыми номерами 1–5 из выборки 20 шт. в координатах «параметр — логарифм времени». На рис. 4б и г показано отношение изменения наихудших значений параметров U_OL и U_OH, приведенных к первичному значению. Под областью расходования ресурса понимается область, в которой происходит движение параметров к верхней или нижней границе параметрического отказа (на рис. 4 эта область обозначена значком «+»). Рис. 4б, г показывают, что наихудшие значения параметров U_OL и U_OH в большей части времени испытаний находятся в области расходования ресурса. Для параметра U_OL в период времени 20–40 тыс. ч и для параметра U_OH в диапазоне 0–15, 40–60, 80–120 тыс. ч наблюдается выход из этой области. Максимальная величина дрейфа параметра U_OL за 120 тыс. ч составляет 0,164 В (16%), что выше погрешности измерения (3% от среднего значения в выборке — 0,01 В). Максимальный размах значений напряжений параметров U_OL и U_OH по модулю не превышает 0,2 В. Это в два раза меньше допустимого уровня статической помехи, который для большинства ТТЛ-ключей составляет 0,4 В (в полном диапазоне рабочих температур).

Наиболее значительный рост дрейфа параметра U_OL наблюдается в последние 100–120 тыс. ч испытаний (рис. 4). Это подтверждает тот факт, что рост скорости деградационных изменений гораздо сильнее проявляется при больших временах наработки, чем при малых.

Таким образом, АРПСС-модели позволяют строить индивидуальные прогнозы деградации контролируемых электрических параметров конкретных ИС в выборке и оценивать интенсивность отказов.

Работа выполнена по программе гранта РФФИ 05-08-01225-а.

Литература

1. Справочник по прикладной статистике. Т. 2: Пер. с англ. / Под ред. Э. Лойда, У. Ледермана, С. А. Айвазяна, Ю. Н. Тюрина. М.: Финансы и статистика. 1990.
2. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир. 1974.
3. Боровиков В. П., Ивченко Г. И. Прогнозирование в системе STATISTICA в среде Windows. Основы теории и интенсивная практика на компьютере: Учеб. пособие. М.: Финансы и статистика. 1999.
4. Грешилов А. А., Стакун В. А., Стакун А. А. Математические методы построения прогнозов. М.: Радио и связь. 1997.
5. Строгонов А. Прогнозирование деградации выходных параметров ТТЛ ИС. Часть I // Компоненты и технологии. 2005. № 8.
6. Строгонов А. Прогнозирование деградации выходных параметров ТТЛ ИС. Часть II // Компоненты и технологии. 2005. № 9.
7. Строгонов А. Верификации прогнозов АРПСС-моделей временных рядов, применяемых для прогнозирования долговечности ИС // Компоненты и технологии. 2006. № 5.
8. Строгонов А. Использование цифровых фильтров для моделирования деградации выходных параметров ТТЛ ИС в системе MATLAB/SIMULINK // Компоненты и технологии. 2005. № 8.
9. Горлов М. И., Королев С. Ю. Физические основы надежности интегральных микросхем. Воронеж: Издательство Воронежского университета. 1995.