Компьютерная реализация методов вейвлет-анализа в среде разработки виртуальных приборов NI LabVIEW

Практика работы с функциями вейвлет-анализа и синтеза сигналов представлена почти во всех системах компьютерной математики (СКМ). В книге [7] дано подробное описание практики вейвлет-анализа в СКМ: Mathcad (Wavelet Extension Pack), MATLAB (Wavelet Toolbox) и Mathematica (Wavelet Explorer). Вопросы теории фильтрации, вейвлет-преобразований, кратно-масштабный анализ (КМА) и его применение в системе MATLAB представлены в [8]. Система Маple версии 15 и более поздних версий имеет систему программирования [9] и реализацию для проведения вейвлет-анализа, такие как дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) и другие. Очевидным недостатком СКМ является трудность использования их возможностей в построении автоматизированных КИС. Среда разработки ВП NI LabVIEW [10] имеет возможности не только разработки распределенных КИС, в том числе на базе средств технического зрения (модуль IMAQ Vision) [11, 12] и робототехники [13], но и заданной реализации математической обработки сигналов [14]. Дополнительный модуль Advanced Signal Processing Toolkit фирмы National Instruments (NI) содержит огромный набор функций, реализующих практически все современные математические методы обработки сигналов: частотно-временного анализа (Time Frequency Analysis); функций статистического и корреляционного анализа, оценки спектра и моделирования (Time Series Analysis); функции вейвлет-анализа (Wavelet Analysis). Среда разработки приложений на базе NI LabVIEW позволяет также использовать узлы свойств для обеспечения серверов сценариев, предоставляемых другими производителями ПО, такими, например, как MATLAB [15]. Это расширяет ее функциональные возможности информационного анализа сигналов. Несмотря на широкие возможности модуля Advanced Signal Processing Toolkit, в настоящее время в литературе отсутствует систематическое описание его состава и функциональных возможностей, отсутствует описание практики его применения для анализа сигналов.

Функции вейвлет-анализа входят в дополнительный пакет Advanced Signal Processing Toolkit. Наряду с другими функциями обработки сигналов эти функции представлены в палитре функций (Signal Processing) следующими палитрами виртуальных подприборов (ВПП): Continuous Wavelet, Discrete Wavelet, Wavelet Packet, Feature Extraction, Utilities, Online Wavelet Analysis (рис. 1).

Рис. 1. Палитры функций вейвлет-анализа (Wavelet Analysis)

В первой палитре ВПП Continuous Wavelet находится две функции вейвлет-преобразований:

• WA Continuous Wavelet Transform VI;
• WA Analytic Wavelet Transform VI.

Функция WA Continuous Wavelet Transform VI вычисляет непрерывное вейвлет-преобразование (CWT — НВП) входного сигнала, представленного 1D-массивом с различными типами вейвлетов. Вход данных для входного сигнала полиморфный, что обеспечивает возможность работы с разными форматами входных сигналов (массив, волна). ВПП WA Continuous Wavelet Transform VI реализует алгоритм НВП, который определяется следующим уравнением:

где s(t) — входной сигнал, j₀ — функция материнского вейвлета, a, τ — масштаб и сдвиг (a > 0 — вещественное).

Аналитическое вейвлет-преобразование (AWT-АВП) является частным случаем НВП с комплекснозначным вейвлетом Морле, который называется также вейвлетом Габора. Следующее уравнение определяет комплекснозначный вейвлет Морле:

Вторая палитра функций Discrete Wavelet реализует прямое или обратное дискретное вейвлет-преобразование (DWT — ДВП), вычисление недецимированного прямого или обратного вейвлет-преобразования (UWT), вычисление целочисленного прямого или обратного вейвлет-преобразования (IWT — ЦВП), на выходе которого получаются характерные коэффициенты DWT, UWT и IWT, а также позволяет производить вычисление любого пути преобразования или реконструкции. Палитра ВПП Discrete Wavelet (рис. 2) представлена набором из четырех экспресс-функций (табл. 1) и набором ряда простых ВПП (функций), представленных в таблице 2. Палитра содержит еще одну подпалитру четырех функций Filter Banks.

Рис. 2. Палитра функций дискретного вейвлет-анализа

Экспресс-функции — это многофункциональные функции, выбор параметров, работа которых и предварительный просмотр результатов их действия задается в окне конфигуратора.

Пример работы экспресс-функции Multiresolution Analysis 2D Express VI в окне ее конфигуратора представлен на рис. 3. В конфигураторе ВПП выбирается изображение или указывается путь к файлу изображения, устанавливается уровень разложения (Levels), тип вейвлета (Wavelet). Выбранные параметры позволяют сразу увидеть результат в окнах просмотра. Как и для всех экспресс-функций, часть установленных параметров не является впоследствии ее входными данными, то есть после закрытия окна конфигуратора их изменить нельзя.

Рис. 3. Экспресс-функции Multiresolution Analysis 2D Express VI

Экспресс ВП Wavelet Design Express VI конструирует заданные фильтры вейвлетов анализа и фильтры синтеза для дискретного вейвлет-анализа и реконструкции (рис. 4). Общее количество синтезируемых фильтрами вейвлетов (табл. 2) превышает количество известных поименованных. В нижнем окне графика (Zeros of G0 and H0) отображается название вейвлета, соответствующего сконструированным фильтрам.

Рис. 4. Экспресс-функции Wavelet Design Express VI

В палитре дискретного вейвлет-преобразования представлена палитра простых (низкоуровневых) функций (ВПП), использующих набор двухканальных (квадратурных) фильтров для вычисления одноуровневого дискретного вейвлет-преобразования или синтеза, используя для вычисления материнской и масштабирующей функций набор фильтров, получение заранее проектируемой функции вейвлета для коэффициентов, заданных фильтрами анализа. Описание и назначение функций ВПП палитры Discrete Wavelet представлены в таблице 3. Вход данных сигнала для ВПП полиморфный относительно типов (форматов) подаваемых сигналов.​

Таблица 3. Палитра функций дискретного вейвлет-анализа (Discrete Wavelet)

№	Иконка	Название	Описание
1.		WA Discrete Wavelet Transform VI	Вычисляет дискретное многоуровневое вейвлет-преобразование (DWT — ДВП) сигнала. ВПП возвращает коэффициенты аппроксимации на верхнем уровне и коэффициенты детализации на всех нижних уровнях для 1D входного сигнала. Этот ВПП возвращает коэффициенты аппроксимации и коэффициенты детализации на всех уровнях для 2D входного сигнала. Этот ВПП вычисляет ДВП на каждом уровне, используя фильтры НЧ- и фильтры ВЧ-анализа с коэффициентами прореживания 2.
2.		WA Integer Wavelet Transform VI	Вычисляет многоуровневое целочисленное вейвлет-преобразование (IWT — ЦВП) сигнала, используя восходящую схему. Этот ВПП возвращает коэффициенты аппроксимации на верхнем уровне и коэффициенты детализации на всех нижних уровнях для входа 1D-сигнала и возвращает коэффи-циенты аппроксимации и коэффициенты детализации на всех уровнях для 2D входного сигнала.
3.		WA Undecimated Wavelet Transform VI	В отличие от ДВП, которое производит снижение разрешения коэффициентов аппроксимации и коэффициентов детализации на каждом уровне разложения, недецимированное вейвлет-преобразование (UWT) не включает даунсамплинг операции. Таким образом, коэффициенты аппроксимации и коэффициенты детализации на каждом уровне имеют одинаковую длину, как и исходный сигнал. UWT пересчитывает коэффициенты нижних и верхних фильтров на каждом уровне. Операция дискретизации эквивалентна дилатации вейвлетов. Разрешение коэффициентов UWT уменьшается с увеличением уровня разложения.
4.		WA Arbitrary Path Decomposition VI	Выполняет анализ разложением частотного поддиапазона каскадными фильтрами НЧ и фильтрами ВЧ с применением коэффициента прореживания 2 после каждого шага фильтрации. Путь указывает поддиапазон частот и определяет каскад НЧ- и ВЧ-фильтров анализа сигнала.
5.		WA Inverse Discrete Wavelet Transform VI	Вычисляет многоуровневое обратное ДВП (IDWT — ОДВП) и возвращает реконструированный сигнал от коэффициентов аппроксимации и детализации. Интерполятор с коэффициентом 2 синтезирующих фильтров НЧ и ВЧ осуществляет обратное ДВП на каждом уровне.
6.		WA Inverse Integer Wavelet Transform VI	Вычисляет многоуровневое обратное целочисленное вейвлет-преобразование (ОЦВП) и возвращает восстановленный сигнал от коэффициентов аппроксимации и коэффициентов детализации.
7.		WA Inverse Undecimated Wavelet Transform VI	Вычисляет многоуровневое обратное недецимированное вейвлет-преобразование (IUWT) и возвращает реконструированный сигнал от коэффициентов аппроксимации и детализации.
8.		WA Arbitrary Path Reconstruction VI	Восстанавливает сигнал с коэффициентами частотных поддиапазонов.
9.		WA Get Coefficients of Discrete Wavelet Transform VI	Возвращает коэффициенты аппроксимации или детализации на определенном уровне ДВП. Для вычисления ДВП сигнала используется ВПП WA Discrete Wavelet Transform VI.
10.		WA Get Coefficients of Integer Wavelet Transform VI	Возвращает коэффициенты аппроксимации или детализации на определенном уровне ЦВП. Для вычисления ЦВП сигнала используется ВПП WA Integer Wavelet Transform VI.
11.		WA Get Coefficients of Undecimated Wavelet Transform VI	Возвращает коэффициенты аппроксимации или детализации на определенном уровне недецимированного вейвлет-преобразования (UWT). Для вычисления UWT сигнала используется ВПП WA Undecimated Wavelet Transform VI.
12.		WA Set Coefficients of Discrete Wavelet Transform VI	Устанавливает коэффициенты аппроксимации или детализации на определенном уровне ДВП. Для вычисления ДВП сигнала используется ВПП WA Discrete Wavelet Transform VI. Для получения коэффициентов ДВП используется ВПП WA Get Coefficients of Discrete Wavelet Transform VI.
13.		WA Set Coefficients of Integer Wavelet Transform VI	Устанавливает коэффициенты аппроксимации или детализации на определенном уровне ЦВП. Для вычисления ЦВП сигнала используется ВПП WA Integer Wavelet Transform VI. Для получения коэффициентов ЦВП используется ВПП WA Get Coefficients of Integer Wavelet Transform VI.
14.		WA Set Coefficients of Undecimated Wavelet Transform VI	Устанавливает коэффициенты аппроксимации или детализации на определенном уровне недецимированного вейвлет-преобразования (UWT). Для вычисления UWT сигнала используется ВПП WA Undecimated Wavelet Transform VI. Для получения коэффициентов UWT используется ВПП WA Get Coefficients of Undecimated Wavelet Transform VI.

В отличие от дискретного преобразования Фурье (ДПФ), которое представляет собой дискретный вариант преобразования Фурье, дискретное вейвлет-преобразование (DWT — ДВП) на самом деле не является дискретным вариантом непрерывного вейвлет-преобразования (НВП). ДВП функционально отличается от НВП. Для реализации ДВП использует дискретные банки фильтров для вычисления дискретных вейвлет-коэффициентов. Использование банков двухканальных фильтров реконструкции — идеальный и эффективный способ (perfect reconstruction — PR) реализации ДВП. На рис. 5 показана двухканальная система PR-банка фильтров.

Рис. 5. Двухканальная система PR-банка фильтров

Сигнал X(z) сначала фильтруется банком фильтров, состоящих из фильтров G₀(z) и G₁(z). Выходы G₀(z) и G₁(z) затем прореживаются с коэффициентом 2 (децимация). После некоторой обработки модифицированные сигналы повышают дискретизацию с коэффициентом 2 и фильтруются другим банком фильтров, состоящим из H₀(z) и H₁(z). Если нет обработки между двумя банками фильтров, сумма выходов H₀(z) и H₁(z) совпадает с исходным сигналом X(z), с учетом времени задержки. Это система двухканальных PR-фильтров, где G₀(z) и G₁(z) образуют банк фильтров анализа, H₀(z) и H₁(z) образуют банк фильтров синтеза.

Обычно считают G₀(z) и H₀(z) фильтрами НЧ, а G(z) и H₁(z) — фильтрами ВЧ. Индексы 0 и 1 относятся к фильтрам низких и высоких частот соответственно. Операция ↓2 обозначает прореживание сигнала с коэффициентом два (децимация). Применение фактора децимации до сигнала гарантирует, что количество выходных отсчетов двух фильтров нижних частот равно числу исходных входных выборок сигнала X(z). Таким образом, нет избыточной информации, которая добавляется при разложении сигнала. Можно использовать систему PR-банка двухканальных фильтров при последовательном разложении сигнала фильтрами НЧ, как показано на рис. 6.

Рис. 6. Последовательное использование двухканальной системы PR-банка фильтров:
а) декомпозиция;
б) реконструкция

Фильтры НЧ удаляют высокочастотные колебания из сигнала и сохраняют медленные тренды. Выходы фильтров НЧ обеспечивают аппроксимацию сигнала, фильтры ВЧ — удаляют медленные тренды из сигнала и сохраняют высокочастотные колебания. Выходы фильтров ВЧ обеспечивают подробную информацию о сигнале. Выходы фильтров НЧ и ВЧ определяют коэффициенты аппроксимации и коэффициенты детализации соответственно. Символы «А» и «D» на рис. 6 представляют информацию аппроксимации и детализации соответственно.

В описании ВП вейвлет-анализа используемые LabVIEW индексы «0» и «1» описывают путь разложения, где «0» указывает фильтрацию НЧ, а «1» указывает фильтрацию ВЧ. Например, D₂ на рис. 6 обозначает вывод двухкаскадной фильтрации операции фильтрации НЧ, а затем ВЧ-фильтрации. Таким образом, описывается путь разложения с последовательностью «01». Аналогично, D_L обозначает выход из операций фильтрации «000…1», в котором общее количество разложений: 0…L–1. Импульсный отклик «000…1» асимптотически сходится в материнский вейвлет, и импульсный отклик «000…0» сходится к масштабирующей функции в вейвлет-преобразовании.

Сигнальное 1D-вейвлет-разложение и реконструкцию можно расширить для обработки 2D-сигнала. На каждом уровне этот ВПП реализует ДВП 1D на каждой строке сигнала. Затем данный ВПП применяет ДВП к каждому столбцу 1D-сигнала предыдущего выхода. Этот ВП выполняет обратное преобразование с обратной операцией. Рис. 7 показывает реализацию банка фильтров для 2D ДВП. Выход low_low — это приближение входного 2D-сигнала в большем масштабе, выходы low_high, high_low и high_high соответствуют детальной информации по столбцу, строке и диагональным направлениям.

Рис. 7. Реализация банка фильтра для 2D ДВП

Функции ВПП банков фильтров (Filter Banks) применяются для вычисления двухканального дискретного вейвлета путем одноуровневого преобразования или синтеза на основе банка фильтров, путем вычисления функции материнского вейвлета и масштабирующей функции из банка фильтров и получения коэффициентов анализирующих и синтезирующих фильтров для заданного вейвлета. Описание и назначение ВПП подпалитры Filter Banks (рис. 2) представлены в таблице 4. Вход данных сигналов ВПП полиморфный для различных типов сигналов.

Пример использования WA Analysis Filter Bank VI для 2D-изображения представлен на рис. 8.

Рис. 8. Пример использования WA Analysis Filter Bank VI

Палитра функций ВПП Wavelet Packet предназначена для вычислений различных видов пакетного вейвлет-анализа, таких как пакетное разложение, реконструкция пакетов и различные операции по дереву вейвлет-разложения пакетов. Состав палитры представлен на рис. 9.

Рис. 9. Палитра функций ВПП Wavelet Packet

Экспресс-функция (ВПП) Wavelet Packet Analysis Express VI из данной палитры разлагает сигнал в соответствии с указанной
древовидной структурой и восстанавливает сигнал от указанных узлов. Этот ВП возвращает также коэффициенты разложения и энтропию выбранных узлов (рис. 10). Настройки ВПП позволяют выбрать тип вейвлета, уровень декомпозиции, тип энтропии. Узлы в дереве декомпозиции (Decomposition Tree) активны для выбора, два окна предварительного просмотра отображают исходный и выбранный узлы сигналов.

Рис. 10. Экспресс-функция Wavelet Packet Analysis Express VI

Описание и назначение других функций ВПП палитры Wavelet Packet позволяют реализовать алгоритм пакетной обработки низкоуровневым способом, их описание представлено в таблице 5. Вход данных сигнала ВПП полиморфный для различных типов сигналов.

Палитра функций Feature Extraction используется для оценки плотности вероятности функции, обнаружения пиков, обнаружения границ и гребней функций на основе кратномасштабного вейвлет-анализа (КМА), с целью снижения шума, путем вычитания трендов. Функции палитры Feature Extraction представлены на рис. 11.

Рис. 11. Палитра функций ВПП Feature Extraction

Экспресс-функция Wavelet Denoise Express VI выполняет шумоподавление для 1D-сигналов с помощью дискретного вейвлет-преобразования (ДВП) недецимированного вейвлет-преобразования (UWT) заданным типом вейвлета. На рис. 12 показан результат действия функции в окне ее конфигуратора для зашумленного сигнала (Gaussian White Noise, σ = 0,6), сигнала типа меандр (square) частотой 25 Гц, частотой выборки 5000 Гц.

Рис. 12. Экспресс-функция Wavelet Denoise Express VI

Описание и назначение других ВПП палитры Feature Extraction представлены в таблице 6. Тип входного сигнала полиморфного входа устанавливается автоматически или выбирается вручную.

Палитра утилит функций Utilities содержит ВПП для чтения файлов данных, которые используют как демонстрационные данные и отображают квадрат величины амплитуды или фазы вейвлет-коэффициентов сигнала на графике интенсивности. Палитра содержит три ВПП, показанные на рис. 13а, описание и назначение функций представлено в таблице 7.

Рис. 13. Дополнительные палитры функций ВПП:
а) Utilities;
б) Online Wavelet Analysis

Палитра функций Online Wavelet Analysis предназначена для онлайн-вейвлет-анализа путем выполнения онлайн-вычитания тренда и пикового детектирования. Палитра содержит два ВПП, показанных на рис. 13б. Описание функций ВПП палитры Online Wavelet Analysis представлено в таблице 8. Вход данных сигнала полиморфный для различных типов сигналов.

Наряду с NI LabVIEW среда программирования LabWindows/CVI была разработана фирмой National Instruments в середине 1980‑х годов. В отличие от ряда широко известных средств разработки (Borland C++, Delphi, MS Visual Studio и т. д.), LabWindows/CVI ориентирована на разработку ПО, управляющего научным экспериментом, технологическим либо измерительным процессом. Эта направленность и определила содержание и функциональность данного программного продукта. Среда LabWindows/CVI включает интегрированную среду разработки (IDE) на основе языка ANSI C и обширную библиотеку компонентов, которая состоит из следующих составных частей: набор компонентов для создания пользовательского интерфейса; набор библиотек для управления измерительными и управляющими устройствами (VISA Library, VXI Library, RS‑232 Library, GRIB/Grib 488.2 Library); средства для удаленного управления приложениями через локальную сеть или Интернет (Network Variable Library); средства обработки полученных данных — фильтрация, математическая обработка полученных данных, генерация сигналов различной формы (Analysis Library, Advanced Analysis Library); стандартная библиотека ANSI C. Также в библиотеку входят средства для использования технологий DDE, ActiveX, различных сетевых протоколов, технологий .NET, создания многопоточных приложений и др.

Библиотека Signal Processing Toolkit for CVI позволяет реализовать в приложении функции проведения всех видов вейвлет-анализа. Удобный набор приложений, включающий объединенный частотно-временной анализ (JTFA), сверхразрешающий спектральный анализ (Super-Resolution Spectral Analysis) и вейвлет-анализ, представлен приложением с запускающей панелью CVI SPT Start-Up (рис. 14). Этот программный продукт предназначен в первую очередь для демонстрационных целей и оценочного анализа полученных данных.

Рис. 14. Палитра приложений Signal Processing Toolkit for CVI

Анализ представленных средств модуля Advanced Signal Processing Toolkit показывает, что в настоящее время среда разработки NI LabVIEW имеет полный набор функций, реализующих все методы вейвлет-анализа, позволяющие в интерактивном режиме проводить анализ 1D и 2D (изображений) сигналов. Экспресс-функции набора указанных средств дают возможность концептуально оценить эффективность использования вейвлет-анализа с различными параметрами для различных исследуемых сигналов. Методы вейвлет-обработки и анализа сигналов могут выполняться как модельно, так и в реальном времени с использованием аппаратных средств сбора данных, поэтому их можно быстро интегрировать в промышленную платформу КИС. В то же время среда разработки NI LabVIEW позволяет быстро адаптировать ранее созданные готовые решения к различным условиям обработки и сигналам, изменять алгоритм или выбранные параметры, обеспечить быстрое модельное и натурное тестирование независимо от используемой платформы. В отличие от средств математической реализации вейвлет-анализа в СКМ, методы вейвлет-анализа, реализованные в NI LabVIEW, сочетают исследовательский и практический уровень обработки реальных сигналов, расширяя возможности КИС и повышая точность определения параметров исследуемых сигналов.