Подписка на новости

Опрос

Нужны ли комментарии к статьям? Комментировали бы вы?

Реклама

 

2003 №6

Автоматические регуляторы в системах управления и их настройка. Часть 3. Цифровые регуляторы и их настройка

Мазуров В


В настоящее время наблюдается тенденция вытеснения аналоговых систем управления цифровыми. Объясняется это широкими возможностями по реализации самых совершенных алгоритмов регулирования.

Все статьи цикла:

Алгоритмы цифрового ПИД-регулирования

Наиболее распространенными алгоритмами являются ПИ и ПИД-алгоритмы цифрового управления.

Рассмотрим процедуру вывода алгоритма цифрового ПИД-регулятора из соответствующего непрерывного закона, имеющего вид

где e = y–yзад — ошибка регулирования.

Запишем уравнение (1) в конечных разностях путем замены t = kTK

где k = 1, 2, 3… — номер периода квантования, TK — период квантования.

На практике вместо вычислений абсолютных значений управляющего сигнала удобней вычислять его приращения Δu(k) на каждом такте. В результате получаем скоростной алгоритм управления, полностью эквивалентный исходному.

Или, приведя подобные члены, получим

где

Структурная схема цифрового ПИД-регулятора приведена на рис. 1, где через Z–1 обозначен блок задержки сигнала на один период квантования.

Алгоритм работы всей системы управления при использовании цифровой модели объекта будет иметь вид

При этом параметры цифровой модели объекта управления в координатах «вход — выход» находятся путем взятия модифицированного Z-преобразования от передаточной функции объекта первого порядка с запаздыванием, что приводит к следующим формулам

где /TK = M+c , где M — целая часть, а c — дробная часть отношения.

Выбор периода квантования

Для того чтобы эффект квантования по времени мало сказывался на динамике системы цифрового регулирования, рекомендуется выбирать период квантования из соотношения T95/15<TK<T95/5, где T95 — время достижения выходным сигналом уровня 95% от установившегося значения при подаче на вход объекта ступенчатого сигнала. Если объект первого порядка, то T95 ≈ τ+3T.

Другой подход к выбору величины периода квантования основан на рекомендациях американских ученых Зиглера и Никольса, согласно которым TK = 0,1TКР, где TКР — период критических колебаний объекта управления.

Упрощенная методика расчета настроек цифрового ПИД-регулятора

С целью упрощения процедуры настройки цифрового ПИД-регулятора рекомендуется (согласно Зиглеру и Никольсу) выбирать следующие значения отношений при TK = 0,1TКР:

В этом случае, согласно формулам (3), соответствующие коэффициенты будут равны:

Таким образом, в алгоритме (4) настраиваемым параметром остается лишь один коэффициент усиления регулятора KF.

Для цифрового ПИ закона управления (Td = 0) получим:

После определения периода квантования TK единственным настраиваемым параметром в алгоритме (4) является коэффициент усиления цифрового регулятора KF. Его достаточно просто настроить экспериментально, так чтобы декремент затухания в системе был равен 1/4.

Расчет настроек цифрового регулятора по формулам

Предположим, что переходная характеристика объекта управления аппроксимирована звеном первого порядка с запаздыванием. При этом, с целью исключения или уменьшения бросков управляющего сигнала при ступенчатом изменении сигнала задания используется несколько другая форма записи дискретного ПИД-закона управления, а именно:

Выбрав период квантования TK, рассчитывают параметры настройки дискретного ПИ или ПИД-регулятора по формулам:

Для ПИ-регулятора

Для ПИД-регулятора

В этих формулах учтено запаздывание на величину TK/2, свойственное всем замкнутым цифровым системам регулирования.

Оптимальные регуляторы для объектов с запаздыванием

Объекты с запаздыванием

Характерной особенностью большинства объектов является наличие значительных запаздываний в каналах управления и измерения.

Другая особенность — их многоемкостность, то есть наличие каскадов или цепочек объектов, что приводит к появлению множества достаточно малых постоянных времени объекта и повышению порядка дифференциального уравнения объекта в целом. В этом случае, с целью упрощения динамической модели объекта вводится дополнительное звено запаздывания — динамическое, величина которого равна сумме отбрасываемых постоянных времени объекта.

Кроме этого, в некоторых объектах, охваченных контуром обратной связи (объекты с рециклом), появляется дополнительное запаздывание в контуре рециркуляции.

Наличие запаздывания в объектах резко ухудшает динамику замкнутой системы. Обычно при отношении τ/Т>0,5 типовые законы управления не могут обеспечить высокую точность и быстродействие процесса регулирования. Главной причиной здесь является резкое снижение критического коэффициента усиления системы при увеличении запаздывания в объекте управления.

В связи с этим повысить качество управления можно либо путем уменьшения запаздывания в объекте, либо за счет применения регулятора более сложной структуры, а именно оптимального регулятора. Из теории оптимального управления следует, что такой регулятор в своей структуре должен содержать модель объекта управления.

Постановка задачи синтеза оптимального регулятора

С целью применения метода пространства состояний и метода оптимального линейного управления перейдем от описания динамики объекта в терминах передаточной функции к описанию в пространстве состояний.

Структурная схема объекта первого порядка с запаздыванием в канале управления приведена на рис. 2, где w(t) — сигнал внешнего возмущающего воздействия.

Для придания астатических свойств замкнутой системе в структуру объекта управления вводится интегральная составляющая оптимального регулятора (рис. 3).

Синтезируем регулятор, который оптимизирует только свободное движение объекта управления (то есть движение, возникающее из-за ненулевых начальных условий). Поэтому возмущающий сигнал w(t) положим равным нулю. Запишем соответствующие передаточные функции:

или

Переходя от операторных уравнений к дифференциальным, получим

где τ≤t≤0, а ψ(t) — начальная функция звена запаздывания, описывающая предысторию движения объекта до момента включения в работу регулятора.

Запишем систему уравнений (6) в нормальной форме Коши:

где τ≤t≤0.

Таким образом, получено описание модифицированного объекта управления в пространстве состояний. Перепишем систему (7) в матричном виде:

где τ≤t≤0,

В качестве критерия оптимизации применяют интегральный квадратичный критерий качества, обеспечивающий получение линейного оптимального закона управления

Q и R — это известные, выбираемые проектировщиком, матрицы штрафов на координаты векторов состояния и управления. Такая постановка задачи синтеза известна под названием аналитического конструирования регуляторов.

Предполагается, что все компоненты вектора состояния X(t) доступны для измерения. Кроме того, матрица штрафа Q на коэффициенты вектора состояния должна быть положительно полуопределенная, то есть Q≥0. Условие положительной полуопределенности означает, что главный определитель и все миноры матрицы должны быть не меньше нуля.

Для упрощения структуры критерия качества матрица Q должна иметь структуру

Для аналитической разрешимости задачи синтеза матрица штрафа на координаты вектора управления R должна быть положительно определенная.

В нашем случае u — скаляр, поэтому R = r, r > 0, q11≥0, q22≥0. Критерий качества при этих условиях примет вид

При выборе численных значений коэффициентов штрафа в простейшем случае можно задаться q11 = q22 = 0. В этом случае варьируется только коэффициент штрафа r. Известно, что при увеличении r динамика системы становится менее форсированной, переходные процессы затягиваются.

Часто принимают r = 1 и варьируют только q11 и q22. При этом с увеличением штрафа q11 усиливается эффект действия пропорциональной составляющей оптимального регулятора, а с увеличением штрафа q22 — интегральной составляющей.

Решение задачи синтеза

Решение задачи синтеза основано на формировании внутри регулятора упрежденного вектора состояния X(t+ ) модифицированного объекта управления. Формирование вектора X(t+ ) осуществляется с помощью модели объекта, входящей в структуру оптимального регулятора.

Таким образом, оптимальный закон управления должен иметь вид:

или в раскрытом виде:

Это позволяет вычислить компоненты k1, k2 вектора обратных связей KОС регулятора для объекта без учета запаздывания.

Задача определения оптимального управляющего сигнала распадается на две подзадачи:

  1. Задача вычисления вектора KОС для системы без запаздывания.
  2. Задача формирования упрежденного сигнала X(t+τ).

Вычисление вектора КОС

Вычисление вектора KОС осуществляется через элементы матрицы Риккати

где матрица Р является единственным положительно определенным решением нелинейного матричного уравнения Риккати

Раскрывая уравнение Риккати, получим

Для упрощения записей введем обозначения a = –1/T. B = K/T.

Произведя перемножения матриц, получим

Это матричное уравнение распадается на систему алгебраических уравнений вида

Найдя p1, p2, p3 и раскрыв выражения для KOC, получим

Знание матрицы Риккати P позволяет наряду с получением коэффициентов вектора KOC также вычислить численное значение минимальной величины интегрального квадратичного критерия качества

Нахождение выражения для X(t+τ)

Известно, что для объекта без запаздывания уравнение, описывающее движение компонент его вектора состояния, имеет вид:

Первая часть выражения является свободной составляющей, которая зависит от динамических свойств объекта управления (матрицы A) и от вектора начальных условий X(t0), который характеризует величину начального отклонения системы от положения равновесия.

Интеграл является вынужденной составляющей, определяемой как динамическими свойствами объекта (матрицы A и B), так и видом управляющего сигнала U(S) .

При учете запаздывания в канале управления в уравнении (8) вместо сигнала U(S) должен использоваться запаздывающий сигнал U(S–τ). Тогда уравнение (8) примет вид

Из него получим упрежденный сигнал вектора состояния

Проведя преобразования и сделав замену переменной в выражении (9)

окончательно получим

Получение оптимального закона управления

С учетом полученного выражения (10) оптимальный закон управления имеет вид

Как видно, закон управления наряду с пропорциональной составляющей содержит и функциональную составляющую. Для формирования оптимального закона управления необходимо знание его математической модели, таким образом, оптимальный регулятор в своей структуре должен содержать модель объекта управления, с помощью которой будет реализовываться функциональная составляющая алгоритма. Для получения оптимального выражения в раскрытом виде найдем матричные экспоненты, входящие в выражение (11), используя теорему Сильвестра:

где λi — собственные значения матрицы A, которые находятся из характеристического уравнения |Aτ–λI| = 0.

Или

откуда λ1 = –1/Т, λ2 = 0.

Опуская промежуточные выкладки из формулы (12), найдем

Матричная экспонента e выглядит аналогично (при замене всех τ на r).

После проделанных преобразований оптимальный закон управления примет вид

Перемножив матрицы, получим

где коэффициенты усиления по пропорциональной KП и интегральной KИ составляющим, а также коэффициенты a и b равны

Полученный оптимальный закон управления содержит пропорциональную и интегральную составляющие (то есть ПИ-регулятор) и две функциональные составляющие, соответствующие апериодическому и интегрирующему звеньям модифицированного объекта управления с запаздыванием.

Реализация оптимального регулятора

Реализация оптимального закона управления (13) затрудняется наличием функциональных составляющих в его структуре. С целью упрощения реализации полученного закона найдем его изображение по Лапласу от всех составляющих:

где L[ ] — символ преобразования по Лапласу.

Отсюда оптимальный закон управления примет вид:

Знание операторной формы записи оптимального закона позволяет разработать структурную схему оптимального астатического регулятора для объекта первого порядка с запаздыванием (рис. 4).

Связь, обозначенная на схеме пунктиром, соответствует точному, теоретическому алгоритму управления (14). Однако на практике в объекте управления трудно выделить этот сигнал, поэтому его моделируют в регуляторе с помощью звена с чистым запаздыванием.

Как видно из структурной схемы, оптимальный регулятор для объекта первого порядка с запаздыванием состоит из типового ПИ-регулятора и корректирующего устройства, в структуре которого содержится модель объекта управления.

Данный регулятор особенно эффективен для управления объектами, в которых отношение τ/Т>0,5. На рис. 5 приведены графики отработки единичного возмущающего воздействия в оптимальной системе управления объектом первого порядка.

Параметры объекта управления были равны KOC = 2,4; T = 612 с; τ = 480 с. При этом коэффициенты закона (4.40) имели следующие значения КИ = 0,01, КП = 4,18, а = –0,0166, b = 0,024 при R=1, q11 = q22 = 0,0001.

По аналогичной методике может быть получена структура оптимального регулятора для объекта второго порядка с запаздыванием. В этом случае оптимальный регулятор состоит из типового ПИД-регулятора и корректирующего устройства, в структуре которого содержится два инерционных звена и одно интегрирующее.

Модальные цифровые регуляторы

Модальный цифровой регулятор для объекта первого порядка с запаздыванием

Рассмотрим наиболее общий случай, когда выбранный период квантования ТК не кратен величине запаздывания, а объект управления описывается передаточной функцией

Тогда цифровая модель объекта в координатах «вход u(k) — выход y(k)» будет иметь вид:

где коэффициенты вычисляются согласно формулам (5).

В системе пространства состояний это уравнение выглядит так:

Для придания астатизма модальному регулятору добавим в уравнение объекта уравнение дискретного интегратора, а дополнительный запаздывающий сигнал управления u(k–1–M) учтем в виде новой координаты состояния u1(k).

Тогда получим:

Запишем уравнения (16) в матричном виде

где

Уравнение регулятора состояния с упредителем для объекта (17) имеет вид

Таким образом, необходимо решить две задачи:

  1. Вычислить вектор обратных связей KOC для объекта без запаздывания.
  2. Сформировать упрежденный вектор состояния X(k + M).

Вычисление вектора

Для вычисления вектора KOC запишем уравнение замкнутой системы без запаздывания (M = 0).

где матица замкнутой системы равна ФЗ = Ф–GKOC.

Запишем характеристическое уравнение запаздывающей системы: |ФЗ–λI| = 0, но потребуем, чтобы это уравнение имело заданное расположение корней. Причем для удобства расчета коэффициентов вектора обратных связей поместим все три корня в одну точку bF = λ1 = λ2 = λ3. Тогда характеристический полином системы будет иметь вид

Это уравнение распадается на систему трех линейных алгебраических уравнений, получаемых путем сравнения коэффициентов при соответствующих степенях переменной λ. Решая систему трех уравнений, определим коэффициенты вектора обратных связей KOC = [K01K1K02]:

При выборе величины bF следует иметь в виду, что при уменьшении его значения быстродействие системы возрастает, но возрастает и амплитуда управляющего сигнала.

Формирование упрежденного вектора состояния X(k+M)

Такое формирование осуществляется путем последовательного (для M = 1, 2, …) нахождения выражений X(k+M) по уравнению (17)

Тогда модальный закон управления с упредителем примет вид

Раскрывая выражение (18), получим формулы для вычисления упрежденных сигналов:

где n = M–i–1.

По полученным формулам работает блок упреждения, введенный в структуру модальной цифровой системы регулирования, показанной на рис. 6.

В этой системе введен элемент сравнения, формирующий сигнал ошибки e(k) = x(k)–xзад, поступающий далее на блок упреждения. Сигнал u(k–1) можно получить, минуя блок упреждения, путем пропускания сигнала управления через звено задержки на один период квантования.

Пример расчета.

Пусть передаточная функция объекта имеет вид

Часто для упрощения расчетов выбирают величину периода квантования, кратную запаздыванию. В этом случае коэффициент b2 = 0 и вектор состояния X(k) становится двумерным. Примем Tk = 120 с, тогда в цифровой модели объекта (15) M = 1. Для получения максимального быстродействия в замкнутой системе зададимся величиной кратного корня bF = 0. На рис. 7 приведена структурная схема модальной системы цифрового управления для этого случая. На схеме отсутствует явно выраженный блок упреждения, хотя при расчете коэффициентов схемы использовались формулы (19). Значения сигналов в системе при отработке единичного сигнала задания приведены в таблице. Видно, что переходные процессы заканчиваются за 3 периода квантования, что и соответствует порядку системы. Отметим, что в реальных условиях модель объекта носит приближенный характер, что не позволяет задаваться нулевым значением величины кратного корня системы.

Таблица

Модальный цифровой регулятор для объекта второго порядка с запаздыванием

Для значительного числа объектов управления более точным является описание динамики с помощью передаточной функции второго порядка с запаздыванием.

Для синтеза модального алгоритма управления необходимо получить дискретное описание этого объекта при заданном периоде квантования Tk. Воспользуемся модифицированным Z-преобразованием от передаточной функции.

Вычисление коэффициентов проводим по формулам

где τ/Tk = M+c.

Заметим, что описание в виде (20) носит общий и универсальный характер, так как оно охватывает и объекты с колебательным переходным процессом и минимально-фазовые объекты.

Используя рассмотренный ранее подход, модальное управление объектом (20) осуществляем по закону

где коэффициенты вектора обратных связей вычисляются по следующим формулам:

где вспомогательные коэффициенты A, B, C, D, E, F, G вычисляются по формулам

На рис. 8 приведена упрощенная структурная схема модальной цифровой системы управления объектом второго порядка для случая M = 0, что соответствует условию τ < TK.

При наличии запаздывания (М>0) в эту схему необходимо ввести цифровой упредитель сигналов e(k) и μ(k).

Скачать статью в формате PDF  Скачать статью Компоненты и технологии PDF

 


Другие статьи по данной теме:

Сообщить об ошибке