Фазовый преобразователь угла со статистическим контуром обратной связи для СКВТ высокой точности

В данной статье предложены новые решения с использованием программно-аппаратных средств для построения многофункциональных фазовых преобразователей угла, основы функционирования которых были описаны в отечественной литературе еще в [3].

Один из ключевых моментов данной статьи — замена элементарного разностного звена, традиционно используемого во всех без исключения структурных схемах автоматического регулирования, на более «интеллектуальное» статистическое звено. Идеологически отличаясь от хорошо известного фильтра Кальмана, звено такого типа позволяет в реальном времени формировать текущее значение ошибки управления с помощью математического регрессионного анализа всех ее предшествующих значений и тем самым устранить влияние случайных флуктуаций сигналов в контуре обратной связи на точность преобразования.

Синтезирован цифровой следящий алгоритм. Совместно со статистическим звеном регрессионной обработки он предоставляет возможность достоверно получить до 20 разрядов и более в двоичном коде измеряемого угла СКВТ.

Введение

Результаты глубокого изучения влияния стационарных случайных флуктуаций на точность работы следящей системы (в том числе для преобразователя угла СКВТ) представлены, например, в работах [4, 5]. В них предложены методы парирования стационарных случайных дискретных процессов с известным математическим ожиданием и корреляционной функцией.

В [6] описаны способы расчета статистической методической погрешности измерений, получаемой в тестовом режиме при моделировании СКВТ на ЭВМ и по результатам предварительно проведенных испытаний.

Эти примеры, однако, лишь частично касаются вопросов разработки средств для повышения точности измерений следящей системой СКВТ при ее функционировании на объекте в реальном времени.

В данной статье:

• во‑первых, синтезирован компактный алгоритм следящей системы многофункционального преобразователя угла фазового типа, способный работать в реальном времени;
• во‑вторых, новым техническим решением является замыкание контура обратной связи следящей системы преобразователя с помощью статистического звена, устраняющего влияние флуктуаций управляющего воздействия и сигнала обратной связи. Это решение позволяет повысить точность измерений.

Аналитический обзор многочисленной литературы по классической теории автоматического управления, например [7], позволяет утверждать, что замена традиционного разностного звена, применяемого во всех без исключения структурах следящих систем, на статистическое звено с программной математической регрессионной обработкой предшествующих значений ошибок, возникших на протяжении всего процесса управления в масштабе реального времени, является новым техническим решением. Это важное структурное отличие отражено на рис. 1, где F(t) — входное воздействие (целеуказание); U₁(t) — сигнал ошибки управления; U₂(t) — выходной сигнал управления; U₃(t) — сигнал датчика; U₄(t) — сигнал канала обратной связи; W(p) — передаточная функция прямого канала; K — передаточная функция канала обратной связи; R — статистическое (разностное) звено.

Рис. 1. Две структуры следящих систем:
а) традиционная структура содержит разностное звено (отмечено красным цветом);
б) предложенная структура со статистическим звеном (отмечено красным цветом)

Известно, что в структурных схемах следящих систем традиционно используют разностное звено, выполняющее операцию всего лишь элементарного алгебраического вычитания. При этом ошибка управления U₁(t) получается вычитанием из значения целеуказания F(t) значения сигнала обратной связи U₄(t), пропорционального сигналу, полученному от датчика исполняющего устройства. Далее эта ошибка вводится в звено с функцией передачи W(p), формирующее сигнал U₂(t) для управления исполняющим устройством. При этом анализ динамики следящих систем выполняется без учета случайных вариаций ошибки управления.

Однако на практике и сигнал целеуказания, и сигнал датчика исполняющего устройства имеют случайные (не методические!) флуктуации, связанные с реальными условиями эксплуатации. В структурной схеме невозможно придумать «звено» со сколь-нибудь детерминированной функцией передачи, чтобы заранее, в тестовом режиме, верифицировать, отстроить или настроить динамику от этих флуктуаций: они неминуемо приводят к ухудшению точности и воспроизводимости результатов работы следящей системы.

Эффективным, а часто и единственным «средством борьбы» в таких случаях считают введение в структуру следящей системы фильтра Кальмана, способного работать в реальном времени.

Справедливости ради, для дальнейшего изложения с применением теории линейного автоматического регулирования, аксиоматически примем, что абсолютные величины случайных возмущений не приводят к возникновению незатухающих переходных процессов, а сама система все время остается устойчивой и линейной. Этому способствуют выбранные передаточные функции звеньев следящей структуры.

При включении СКВТ по схеме фазовращателя (рис. 2) обе его первичные фазные обмотки должны возбуждаться генератором гармонических сигналов соответственно синусной и косинусной формы [1, 2]. Далее, с помощью компаратора сигнала «синусной» фазной обмотки возбуждения, компаратора сигнала выходной обмотки СКВТ и логической схемы последовательностного конечного автомата Log формируют сигналы Com1, Com2 и Gate, показанные на временной диаграмме (рис. 3).

Рис. 2. Включение СКВТ по схеме фазовращателя

Рис. 3. Временные диаграммы сигналов при включении СКВТ по схеме фазовращателя, показаны два случая направления вращения вала СКВТ:
а) прямое;
б) реверсивное

Наиболее чувствительным к флуктуациям и при этом играющим большую роль в достижении точных результатов измерений является N‑разрядный CNTR-счетчик мерных импульсов, входящий в состав схемы (рис. 2) и управляемый сигналом Gate. В зависимости от направления вращения вала СКВТ, вперед или назад, в обоих случаях счетчик CNTR мерных импульсов формирует цифровой N‑разрядный код, пропорциональный углу поворота СКВТ, причем для точных преобразователей N может достигать 20 разрядов и даже больше. Мерные импульсы должны иметь кварцевую стабилизацию частоты. Об особенностях построения логической схемы последовательностного конечного автомата Log для процесса преобразования длительности импульса в цифровой код с помощью квантизатора временных интервалов рассказано в [8].

На рис. 1б этот код обозначен как входное воздействие F(t) (целеуказание) и используется далее при синтезе следящего алгоритма.

Синтез цифрового следящего алгоритма с регрессионным статистическим звеном в контуре обратной связи

Учитывая пожелания и результаты, полученные при разработке многофункционального цифрового фазового преобразователя угла, описанного в [2], [3], введем в контур обратной связи регрессионное статистическое звено в виде, показанном на рис. 1б, и, кроме того, создадим дополнительные выходы, придающие многофункциональность фазовому преобразователю (рис. 4).

Рис. 4. Структура предлагаемого многофункционального цифрового следящего алгоритма с регрессионным статистическим звеном в контуре обратной связи

Отобразим систему уравнений, описывающих эту структуру (рис. 5):

Рис. 5. Блок-схема цифрового следящего алгоритма с регрессионным статистическим звеном в контуре обратной связи для высокоточного преобразователя угла СКВТ, включенного по схеме фазового вращателя

Первое уравнение из системы (2)

Ему соответствует математическая модель регрессионного статистического звена в контуре обратной связи.

В фильтре Кальмана используют линейный регрессионный математический аппарат (иногда применяют и нелинейную регрессию). В данном случае в качестве передаточной функции предложена альтернативная, целевая функция ошибки (ЦФО), напоминающая функцию фильтра Кальмана, но имеющая взаимно независимые коэффициенты регрессии α и β:

где F(t) — сигнал целеуказания, рад; U₅(t) — сигнал обратной связи, В; α (рад/В), β (рад) — размерные коэффициенты регрессии, в общем случае зависят от N; N — количество точек измерения. По мере работы алгоритма в реальном времени, количество точек, естественно, растет, а из-за сходящегося следящего процесса величина регрессионной ошибки очевидно имеет в пределе значение ЦФО = U₁(t) = 0.

Для процедуры программы статистической обработки необходимо в явном виде иметь формулы для вычисления коэффициентов α и β в (3). Математически эта задача сводится к нахождению минимума ЦФО, а потому следует записать и решить линейную систему уравнений, составленную из частных производных ЦФО по коэффициентам α и β. Приравняв уравнения к нулю, чтобы найти экстремум, после простых преобразований получим:

Решая систему (4), получим:

Поскольку ЦФО (3) представлена четной функцией, то текущую ошибку следует вычислять так:

U₁(t) = F(t)–α₀×U₅(t)+β₀,           (7)

подставляя значения α₀ = α, β₀ = β, вычисленные по (5).

Вычисления значений α и β в реальном масштабе времени потребуют определенных вычислительных ресурсов. Для этого уравнения (5, 6 и 7) следует представить в рекуррентном виде, но эта несложная задача и выбор элементной базы легко решаются с применением современных микроконтроллеров (например, примененного Atmel Atmega‑328P или практически любого микроконтроллера из семейств PIC‑18 или PIC‑23).

Теперь перейдем к остальным уравнениям системы (2), применяя к ним метод алгебраического Е‑операторного преобразования дифференциальных уравнений. Этот эффективный метод преобразования дифференциальных уравнений к виду алгебраических разностных уравнений описан в [9]. Напомним, что E‑оператор аналогично оператору Лапласа позволяет «заменить» операции дифференцирования на совокупность алгебраических действий. Причем оператор p^k надо заменить на выражение (1–E)^k/Δt^k и затем явно выписать выходную переменную в виде разностного алгебраического уравнения с параметром времени.

Второе уравнение из системы (2)

Физически оно выражает значение углового ускорения вращения вала СКВТ.

С учетом (6) ему соответствует:

Используя Е‑метод [9] преобразования операторного уравнения в разностное алгебраическое уравнение, получим:

Третье уравнение из системы (2)

Физически оно выражает значение угловой скорости вращения вала СКВТ. Опять используя Е‑метод, получим разностное алгебраическое уравнение:

U₃(t) = U₂(t)×∆t+E×U₃(t).          (10)

Четвертое уравнение из системы (2)

Физически оно выражает значение угла поворота вала СКВТ.

Аналогично, используя Е‑метод, получим разностное алгебраическое уравнение:

U₄(t) = U₃(t)×∆t+E×U₄(t).          (11)

Пятое уравнение из системы (2)

Ему соответствует совсем простое алгебраическое уравнение:

U₅(t) = U₄(t)×K₂.                   (12)

Полученные уравнения (7, 9, 10, 11, 12) очевидно полностью описывают структуру блок-схемы алгоритма, и теперь осталось только, строго (!) следуя полученным уравнениям, нарисовать блок-схему алгоритма цифрового фазового следящего преобразователя угла СКВТ высокой точности с регрессионным статистическим звеном в контуре обратной связи (рис. 5).

Напомним, что все коэффициенты — числовые константы, вычисляемые в процессе программирования до момента прошивки в flash-память микропроцессора.

Замечания к программной реализации алгоритма:

• для реализации формул (7, 9, 10, 11, 12) на практике можно использовать недорогой микроконтроллер, например из семейств PIC18F, AVR Atmega или Cortex M3;
• в регистрах хранятся глобальные переменные типа Real (действительное число), адресуемые указателем стека.

Выводы

1. Синтез альтернативного алгоритма выполнен с учетом особенностей многофункционального цифрового преобразователя угла, приведенного в отечественной литературе [3].
2. Представленный алгоритм настолько компактен, что позволяет реализовать его программно-аппаратными средствами на основе современных недорогих микроконтроллеров, например PIC18F, AVR Atmega или Cortex M3.
3. Синтез алгоритмов проведен с применением математического Е‑операторного метода, изложенного в [9], позволяющего получить компактные алгоритмические структуры для построения по ним реальных вычислительных программ.