Подписка на новости

Опрос

Нужны ли комментарии к статьям? Комментировали бы вы?

Реклама

 

2012 №1

Корневой метод расчета настроек распределенного ПИД-регулятора для системы с распределенными параметрами

Золотов Олег  
Ляшенко Александр  

В настоящее время частотные методы синтеза распределенных регуляторов основываются на применении обычных частотных характеристик, при этом, как правило, накладываются ограничения на запас устойчивости по модулю и фазе. В статье представлена методика расчета настроек распределенного ПИД-регулятора с применением расширенных частотных характеристик объекта управления, при этом накладываются ограничения на степень колебательности m переходного процесса.

Введение

Сегодня известны следующие направления в решении проблемы синтеза регуляторов для распределенных систем:

  1. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов, рассматриваемое в работах Т. К. Сиразетдинова, Г. Л. Дегтярева и др.
  2. Частотный метод анализа синтеза, рассмотренный в работах В. А. Бессекерского, Е. П. Попова, В. В. Солодовникова, И. М. Першина и др.
  3. Параметрический синтез регуляторов, при котором задается структура распределенного регулятора, а параметры его подбираются в процессе экспериментальных исследований. Основные вопросы параметрического синтеза регуляторов на основе структурной теории рассмотрены в трудах А. Г. Бутковского, В. Л. Рожанского, И. М. Бегимова.

Остановимся более подробно на втором направлении. В настоящее время частотные методы синтеза распределенных регуляторов основываются на применении обычных частотных характеристик [3], при этом, как правило, накладываются ограничения на запас устойчивости по модулю и фазе. В статье представлена методика расчета настроек распределенного ПИД-регулятора с применением расширенных частотных характеристик объекта управления, при этом накладываются ограничения на степень колебательности m переходного процесса.

Постановка задачи

Для системы управления распределенным объектом (задана его математическая модель либо имеется возможность проводить экспериментальные исследования с реальным объектом) необходимо синтезировать ПИД-регулятор. При этом на запасы устойчивости системы наложены следующие ограничения:

  • запасы по модулю ΔLLзад;
  • запасы по фазе Δφ ≥ Δφзад;
  • степень колебательности m = mзад.

Передаточная функция синтезируемого регулятора согласно [4] имеет вид:

где Е1, Е2, Е4 — коэффициенты усиления; n1, n2, n4 — весовые коэффициенты;

На рис. 1 представлена структурная схема синтезируемой системы управления.

Структурная схема системы управления

Рис. 1. Структурная схема системы управления

Анализ объекта управления

Объект управления представлен на рис. 2.

Объект управления

Рис. 2. Объект управления

Математическая модель имеет вид:

Граничные и начальные условия задаются следующими соотношениями:

Математическая модель объекта описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных. Передаточные функции таких объектов управления могут быть представлены в виде совокупности передаточных функций по каждой пространственной моде [4]. Известно [3], что для тепловых объектов управления передаточные функции по каждой моде входного воздействия могут быть аппроксимированы передаточными функциями вида:

Значения параметров Kη, Tη, τη определяются по результатам численного моделирования.

Для этого на вход системы подадим входное воздействие вида:

При определении указанных параметров для η = 1,3 учитывались динамические свойства процесса распространения теплового поля внутри объекта.

По результатам численного моделирования определим значения параметров Kη, Tη, τη. Вычисленные значения равны: K1 = 0,7; T1 = 70; τ1 = 6; K3 = 0,5; T3 = 67; τ3 = 6.

Для частотного анализа объекта предположим, что в (6):

где ω — круговая частота, m — степень колебательности.

Определим модуль Мη и фазу φη [12]:

По результатам вычислений построим расширенные частотные характеристики.

Процедура синтеза

Предположим, что фазовый сдвиг, вносимый в систему регулятором, равен нулю. Тогда для определения частот среза модуля разомкнутой системы получим следующие выражения:

где W(m, jω, η, γ) — комплексный передаточный коэффициент объекта управления, определенный численным способом.

Подставляя значение Tη, τη и Δφη = π/6 в (10), определим значение частот среза модуля: η = 1, γ = 1, ω1 = 0,15347; η = 3, γ = 3, ω3 = 0,15408.

Определение параметров регулятора будем осуществлять, исходя из условий, что значение частот ωη принадлежит линии перегиба. Для частот ωη, принадлежащих линии перегиба, фазовый сдвиг, вносимый в разомкнутую систему регулятором, равен нулю.

Подставляя ω = ω1, ω = ω3 в выражение:

получим систему уравнений:

Вычитая (11) из (12), придем к следующему результату:

Используя (13), определим значение n2, n4. Так как Δω2 > 1, то предположим в (11) n2 = ∞. Тогда n4 определяется соотношением:

Рассматривая совместно уравнение:

и уравнения:

получим E4 и E2.

Введем параметр Δ(G1), выбор значения которого связан с возможностью компенсации параметрических возмущений объекта управления:

Для этого к уравнению (16) допишем уравнение, связывающее параметры K4(G1) и K2(G1) с параметром Δ(G1). Уравнение связи может быть представлено в виде:

Подставляя значения ω = ω1, ω = ω3 в уравнение:

определим значение модуля: М1, М3.

Так как ω = ω1, ω = ω3 являются частотами среза модуля разомкнутой системы, то коэффициенты усиления регулятора в этих точках равны:

Определим параметры n1, E1. Поделив (18) на (19), придем к следующему результату:

Произведя расчеты параметров регулятора по изложенной выше методике, получаем следующие результаты: n1 = 246,245; n4 = 15707,189; E1 = 5,55197; Е2 = 3,664; Е4 = 0,085964.

Запишем передаточную функцию распределенного высокоточного регулятора:

После преобразования получим:

Для проверки полученных данных и моделирования замкнутой системы управления, описываемой уравнениями (1)–(5) и (20), было разработано с помощью Borland Delphi 7 специальное программное обеспечение. Результаты моделирования показали, что переходные процессы обладают заданными показателями качества.

На основе разработанной методики были рассчитаны распределенные ПИД-регуляторы для различных объектов управления. Результаты моделирования замкнутых систем управления свидетельствуют о положительном качестве управления в полном соответствии с предъявляемыми к системам требованиями. Из этого можно сделать вывод, что разработанная методика позволяет рассчитывать настройки распределенного регулятора, реализующего пропорционально интегрально-дифференциальный закон управления, по заданному значению степени колебательности, а следовательно — и с требуемой степенью затухания переходного процесса.

Литература

  1. Дудников Е. Г. Основы автоматического регулирования тепловых процессов. Уч. пос. для вузов. М., Л.: Госэнергоиздат, 1956.
  2. Лазарева Т. Я., Мартемьянов Ю. Ф. Основы теории автоматического управления: Уч. пос. Тамбов: Изд-во Тамбовского ГТУ, 2003.
  3. Першин И. М. Анализ и синтез систем с распределенными параметрами. Пятигорск. РИА на КМВ, 2007.
  4. Рапопорт Э. Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами. М.: Высшая школа, 2003.

Скачать статью в формате PDF  Скачать статью Компоненты и технологии PDF

 


Другие статьи по данной теме:

Сообщить об ошибке