Подписка на новости

Опрос

Нужны ли комментарии к статьям? Комментировали бы вы?

Реклама

 

2010 №1

Синтез полосовых волновых аналоговых фильтров с характеристикой Золотарева-Кауэра

Петраков Валерий  
Лапшин Борис  

Рассматривается теория волновых аналоговых фильтров шлейфного типа, которая является основой аналитического метода синтеза фильтров СВЧ и оптического диапазонов с заданными частотными характеристиками рабочего затухания. Приводится пример расчета СВЧ-фильтра с характеристикой Золотарева-Кауэра.

Введение

Во многих областях избирательной техники находят широкое применение фильтры с распределенными параметрами, то есть фильтры, построенные на отрезках передающих линий, соединенных между собой определенным образом. Такие фильтры получили название волновых аналоговых фильтров, причем термином «волновой» подчеркивается свойство периодического повторения полос пропускания и полос задерживания на оси частот с периодом изменения частоты Δf = 2f), где f — средняя частота первой полосы пропускания фильтра.

При каскадном соединении отрезков в виде четырехполюсников с отличающимися друг от друга волновыми сопротивлениями получаем топологию волнового аналогового фильтра цепочечного типа (ВАФ-Ц). При соединении отрезков, когда чередуются четырехполюсники в виде проходных отрезков и неполные четырехполюсники с ко-роткозамкнутыми (КЗ) или разомкнутыми (холостой ход, ХХ) отрезками-двухполюсниками, получаем топологию ВАФ шлейфного типа (ВАФ-Ш).

В теории фильтров с распределенными фильтрами [1] различают отрезки линий, выполняющие роль резонаторов с волновым сопротивлением рр, и отрезки линий, выполняющие роль элементов связи между резонаторами — связки с волновым сопротивлением рс. В роли связок всегда выступают проходные четвертьволновые или полуволновые отрезки линий, а в качестве резонаторов — четвертьволновые отрезки-двухполюсники в ВАФ-Ш или проходные четвертьволновые отрезки линий в ВАФ-Ц.

Одним из наиболее важных параметров ВАФ является коэффициент неоднородности ν, определяемый как отношение волновых сопротивлений соседних элементов — связки и резонатора, то есть:

Синтез ВАФ основывается на методе моделирования четвертьволновых отрезков линии схемами с сосредоточенными элементами индуктивности L и элементов емкости C в виде фазовых контуров (звеньев) первого порядка (ФК1П), при этом нормированная частота x ФФК связана с частотой f ВАФ следующим выражением — функцией преобразования частоты:

где f0 — средняя частота ВАФ.

Из выражения (2) следует, что при изменении частоты f ВАФ в интервале 0 < f < 2f нормированная частота x фильтра на фазовых контурах (ФФК) изменяется в интервале 0 < x < ∝. Это означает, что ФФК полностью копирует частотные характеристики функций цепи ВАФ, изменяющиеся в пределах первого периода изменения частоты от 0 до 2f0. Важно и то, что ВАФ как система с распределенными параметрами имеет точную математическую модель — ФФК как систему с сосредоточенными элементами. А это означает, что задачу синтеза фильтров с распределенными параметрами можно перевести в задачу синтеза фильтров с сосредоточенными элементами и воспользоваться всем арсеналом наработанных методов синтеза электрических цепей. Более того, поскольку между схемами одного функционального назначения существуют единственно возможные взаимные преобразования частоты, то задачу синтеза, например, полосового ФФК (ПФФК), можно значительно упростить, воспользовавшись преобразованием частоты x ФФК в частоту η НЧ-прототипа с помощью функции преобразования в виде:

где x20 и x10 = 1/x20 — соответственно, верхняя и нижняя граничные частоты полосы пропускания ПФФК. Решение же задач синтеза фильтра нижних частот является наиболее разработанным разделом общей теории LC-фильтров.

Свойства полузвеньев волновых аналоговых фильтров

Моделью ВАФ-Ш является схема ФФК-Ш. В свою очередь, схема ПФФК-Ш с характеристикой Золотарева-Кауэра может быть найдена путем преобразования низкочастотного прототипа в виде ФНЧ с характеристикой Золотарева-Кауэра, который в литературе по фильтрам известен как фильтр с изоэкстремальной характеристикой, или эллиптический фильтр. Полузвено такого фильтра, в отличие от полиномиального полузвена НЧ-прототипа, имеет в своем составе резонансный контур, настроенный на частоту всплеска затухания, и относится к полузвеньям типа m (ФНЧ-m).

На рис. 1а приведена схема полузвеньев ФНЧ-m с Т- и Пm-окончаниями, а на рис. 1б — схема с П- и Тт-окончаниями.

Рис. 1. Схемы полузвеньев ФНЧ-m: а) схема с Т- и Пт-окончаниями; б) схема с П- и Тт-окончаниями

Характеристическое сопротивление полузвена ФНЧ-т-Т на нулевой частоте равно:

Граничная частота собственной полосы пропускания полузвена ФНЧ-т-Т определяется по формуле:

Рис. 2. Преобразование полузвена ФНЧ-m в полузвено ПФ-m с различными типами сдвоенных резонаторов: а) полузвено ФНЧ-m; б) полузвено ФНЧ-т с инвертором; в—д) полузвенья ПФ-т

Из (4) следует, что в выражение для Zc(0) не входит элемент индуктивности α2 (рис. 1а), что дает возможность считать полузвено ФНЧ-т на нулевой частоте полузвеном НЧ-прототипа. На всех остальных частотах элемент индуктивности α2 оказывает влияние на частотные характеристики полузвена ФНЧ-т, а на частоте ηΜ, равной:

совместно с элементом емкости β2 обеспечивает всплеск затухания на резонансной частоте полузвена.

Поэтому для получения схемы полузвена ФНЧ-т с инвертором [1] в схеме, приведенной на рис. 2б, параллельно правой индуктивности α1 подключена емкость β1, значение которой определяется из (6):

Тогда от схемы полузвена ФНЧ-т с инвертором с помощью симметричного преобразования частоты [1]:

легко перейти к схеме полузвена ПФ-т, изображенного на рис. 2в.

Рис. 2. Преобразование полузвена ФНЧ-m в полузвено ПФ-m с различными типами сдвоенных резонаторов: а) полузвено ФНЧ-m; б) полузвено ФНЧ-т с инвертором; в—д) полузвенья ПФ-т

Четырехэлементный двухполюсник с элементами α5, β5, α6 и β6 в схеме на рис. 2в может быть эквивалентно преобразован в другие канонические формы двухполюсника. Его можно представить в виде последовательного соединения двух параллельных контуров с резонансными частотами xw3 и xcrA (рис. 2г) или в виде ко-роткозамкнутого полузвена ФФК-2-Ц (рис. 2д) с волновыми сопротивлениями ФК1П-резо-натора и ФКШ-связки, равными р и p.

Функции сопротивлений эквивалентных четырехэлементных двухполюсников, схемы которых представлены на рис. 2в-д, имеют общее выражение вида:

и отличаются только формой выражения коэффициентов через элементы соответствующих схем. Сравнение соответствующих коэффициентов функций сопротивлений двух эквивалентных двухполюсников позволяет выразить значения всех элементов полузвеньев ПФ-т через значения элементов ПФ-прототипа и частот всплесков затухания.

Для схемы на рис. 2в:

Для схемы рис. 2д:

При образовании звеньев ПФ-т из двух соседних полузвеньев с одинаковыми частотами всплесков затухания соседние четырех-элементные двухполюсники объединяются в один четырехэлементный двухполюсник, при этом все однотипные элементы объединяются по правилам последовательного соединения.

Переход от схемы полузвена ПФ-т к схеме полузвена ВАФ-т осуществляется с помощью преобразования частоты (2) и с учетом условий:

Тогда каждый четырехэлементный двухполюсник на рис. 2в-д преобразуется в два отрезка линии, соединенные между собой, соответственно, параллельно (рис. 3а), последовательно (рис. 3б) или каскадно (рис. 3в).

Рис. 3. Схемы соединения двух резонаторов, обеспечивающие Тт окончание полосового полузвена: а) параллельное; б) последовательное; в) каскадное

Значения волновых сопротивлений отрезков линии, изображенных на рис. 3, определяются через элементы соответствующих четырехэлементных двухполюсников по формулам:

На рис. 4 приведены схемы полузвеньев ПФ-т с П- и Тт-окончаниями, являющиеся дуальными по отношению к соответствующим схемам ПФ-т с Т- и Пт-окончаниями, изображенным на рис. 2. На рис. 4 видно, что четырехэлементные двухполюсники дуальны соответствующим двухполюсникам, представленным на рис. 2.

Рис. 4. Преобразование П полузвена ФНЧ-m в полузвенья ПФ-m с различными типами сдвоенных резонаторов: а) полузвено ФНЧ-m; б) полузвено ФНЧ-m с инвертором; в—д) полузвенья ПФ-m

Значения элементов четырехэлементных двухполюсников, входящих в состав схем ПФ-т и приведенных на рис. 4в-д, определяются по следующим формулам:

для схемы на рис. 4в:

для схемы на рис. 4г:

для схемы на рис. 4д:

Переход от схемы полузвена ПФ-т-П к схеме полузвена ВАФ-т-П осуществляется с помощью преобразования частоты (2) и условий (13).

Четырехэлементные двухполюсники на рис. 4в-д преобразуются с помощью (2) в два отрезка линии, соединенные между собой, соответственно, последовательно (рис. 5а), параллельно (рис. 5б) или каскадно (рис. 5в).

Рис. 5. Схемы соединения двух резонаторов, обеспечивающие nm окончание полосового полузвена: а) последовательное; б) параллельное; в) каскадное

Синтез ПФФК-Ш с характеристикой Золотарева-Кауэра

Задача синтеза волновых аналоговых фильтров формулируется как задача определения наиболее приемлемой системы, реализуемой с минимальным количеством отрезков передающих линий.

Исходными данными для расчета ВАФ являются: граничные частоты ПП f10 и f20, неравномерность рабочего затухания в ПП Δα, граничные частоты ПЗ f1e и f2e, гарантированное рабочее затухание в ПЗ a1e и a2e, нагрузочные сопротивления на входе и выходе фильтра йг и По требованиям к ВАФ с помощью преобразования частоты (2) определяются требования к ПФФК, а с помощью преобразования частоты (3) — требования к ФНЧ.

Рабочее затухание ФНЧ прототипа в виде ФНЧ-m с характеристикой Золотарева-Кауэра как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания имеет изоэкстремальный характер. В [1] показано, что при заданном классе фильтра по затуханию N наименьшее значение рабочего затухания, начиная с частоты

we = 1/k, будет максимально возможным, и его можно выразить для симметричных (Nз — дробное число) фильтров формулой:

и для антиметричных фильтров — целое число) формулой:

В этих выражениях в соответствии с [1, 2] приняты обозначения:

Краткое изложение метода решения задачи синтеза ФНЧ-m в общем виде приведено в [1]. Подробное изложение метода можно найти в [2]. Однако с появлением современных справочников по расчету ФНЧ-m для широкого спектра условий, например, [3], в большинстве практических случаев можно воспользоваться табулированными типовыми решениями.

Переход от известной схемы ФНЧ-m (N — дробное число) к схеме ПФФК-Ш-m осуществляется с помощью преобразования (3). При таком преобразовании частоты, как это легко убедиться при анализе функций (18) и (19), частотная характеристика рабочего затухания ФНЧ-m, приведенная на рис. 6а для частного случая N = 3,5, в полосе частот от η = 0 до η = ηΜ1 = M01 копируется на геометрически симметричные полосы частот ПФФК-Ш-m, соответственно, от x = 1 до x = 0 и от x = 1 до x = ∝. На частотах x = 0 и x = ∝ рабочее затухание оказывается равным ae, а не бесконечности, как это было бы при использовании преобразования частоты (8).

Рис. 6. Частотные характеристики затухания а) исходного ФНЧ-m б) полосового ПФФК-Ш-m

Частоты η∝i всплесков затухания ФНЧ-m копируются на ось реальных частот ПФФК-Ш-m в виде:

На рис. 6б приведена частотная характеристика рабочего затухания искомого ПФФК-Ш-m.

Минимально необходимое количество звеньев N/2 ПФФК-Ш-m определяется через значение класса по затухания Nз вспомогательного ФНЧ-m, которое находится по формуле [1, 2]:

где a =20%[(1+≏k´)/(1-≏k´) = N/2+0,5 = n/2; ≏k´ = x1 — левая граничная частота рабочей ПП ПФФК-Ш-m; ηe1 = 1/k — граничная частота рабочей ПЗ ФНЧ-m; n — количество ветвей ФНЧ-m.

Пример расчета ВАФ-Ш с характеристикой Золотарева-Кауэра

Рассчитать шлейфный полосовой фильтр на отрезках передающих линий с изоэкстремальной характеристикой рабочего затухания без учета потерь, если:

  • В полосе частот f1 = 860,46 < f < f2 = 1139,54 МГц рабочее затухание фильтра не должно превышать 0,044 дБ.
  • В полосах частот 0 < f < f1e = 817 МГц и f2e = 1183 < f < 1817 МГц рабочее затухание фильтра не меньше a1e = a2e = 56 дБ.
  • Фильтр должен включаться между нагрузками R =75 Ом.

Алгоритм расчета:

  • f0 =1000 МГц; x1e = 0,74714; x1 = 0,80174; x0 = 1; x2 = 1,24728; x2e = 1,33843 (2); Vfc´ = x1 = 0,80174; k = 0,76604 (20); η1e = 1,30541 (3).
  • h = 0,10091 (20); ak = 19,16916 (18); N3 = 3,5; N = 6; n =7 (22).

Расчет элементов НЧ-прототипа производим по методике, изложенной в [2]: α1 = 0,91789; α2 = 0,1 1268; β2 = 1,30786; α3 = 1,63297; α2 = 0,32600; β4 = 1,23544; α3 = 1,39314; α6 = 0,70509; β6 = 0,78207; α., = 0,52873; η2οο = 2,60494; η6 = 1,57574; η6"= 1,34665; r0 = 1,15975.

Разбиваем схему ФНЧ-т на N = 6 Г-полузвеньев по варианту 1 [1]. Здесь и далее даются формулы только для первых двух полузвеньев, а значения всех рассчитанных параметров приводятся в таблице:

  •  Значения объединенных соседних сопротивлений ( в [1] - 3.139).
  •  Значения денормированных относительно сопротивления нагрузки Rjj = 75 Ом волновых сопротивлений отрезков фильтра: Zci;
  •  Значения денормированных резонансных частот λ/4 отрезков линии:

Таблица. Значения рассчитанных параметров

Параметр

Номер полузвена i (i, i+1 -

индекс общего элемента)

 

1 2

3 4 5 6
α1i 0,91789 0,84122 0,79175 0,86996 0,52318 0,52873
β2i 0,68243 0,62543 0,58865 0,64680 0,38897 0,39310
α2i 0,21595 0,23563 0,64819 0,62268 1,41766 1,40278
W| 1,13683 1,21852 1,07285 1,01774 1,15093 1,14763
*1i 0,77691 0,76229 0,78848 0,79850 0,77439 0,77498
Χ2i 1,28714 1,31184 1,26827 1,25235 1,29130 1,29036
xo3i 0,52612 0,52612 0,67272 0,67272 0,73015 0,73015
x^/ 1,90071 1,90071 1,48650 1,48650 1,36957 1,36957
ν. 0,47237 0,47237 0,16556 0,16556 0,10221 0,10221
α 1,76595 1,60870 1,90589 2,04045 1,73730 1,74391
αα 1,15975 1,15975 1,15975 1,15975 1,15975 1,15975
P1ki 3,53198 3,16063 3,10291 3,46272 2,00498 2,02820
Р1р2і 1,13314 1,01401 0,44075 0,49186 0,18593 0,18808
Р1с2і 0,53527 0,48760 0,059517 0,06372 0,02794 0,028045
p1ki, i+1 3,53198

6,26327

5,46770

2,02820
р1р2і, i+1 2,14 715 0,93 261 0,37 401
pk2i, i+1 1,02 287 0,12 324 0,55 985
Z1ki, i+1 264,9

469,7

410,1

152,1
ζα 87,0 87,0 87,0 87,0 87,0 87,0
Z1D2i, i + 1

161,0

69,95

28,05

Z 1с2і , i+1

76,72

9,243

4,2

f∝3i 616,67 616,67 753,99 753,99 803,001 803,001
f4i 1383,34 1383,34 1246,01 1246,01 1196,99 1196,99

 

В результате расчета получена топология ПВАФ-Ш-т, которая приведена на рис. 7 в виде эквивалентной схемы на отрезках двухпроводных линий. Сдвоенные резонаторы представлены на этой схеме двухполюсником, изображенным на рис. 3в.

Рис. 7. Эквивалентная схема рассчитанного шестизвенного полосового ВАФ-Ш-т Золотарева-Кауэра

На рис. 8 приведена расчетная характеристика затухания шестизвенного полосового ВАФ-Ш-т Золотарева-Кауэра.

Рис. 8. Характеристика затухания шестизвенного полосового ВАФ-Ш-т Золотарева-Кауэра (в полосе пропускания А = 100а)

При выборе типа сдвоенного резонатора из трех возможных (рис. 3а-в) предпочтение отдается схеме, практическая реализация которой будет наиболее технологичной.

В практике изготовления ВАФ-Ш-т может возникнуть необходимость использования в одном фильтре разных типов сдвоенных резонаторов. Такое решение возможно в силу эквивалентности их сопротивлений.

Сказанное в полной мере относится и к дуальным фильтрам, в которых используются двухполюсники, изображенные на рис. 5а-в.

Рассмотренная теория волновых аналоговых фильтров шлейфного типа является основой аналитического метода синтеза фильтров СВЧ [1] и оптического [4] диапазонов с характеристикой Золотарева-Кауэра.

Литература

  1. Лапшин Б. А. Новая теория и расчет фильтров и трансформаторов на отрезках передающих линий. СПб.: Наука, 1998.
  2. Улахович Д. А. Основы теории электрических цепей / Учеб. пособие. СПб.: БХВ-Петербург, 2009.
  3. Зааль Р. Справочник по расчету фильтров. М.: Радио и связь, 1983.
  4. Лапшин Б. А., Петраков В. А. Синтез оптических многослойных фильтров // Компоненты и технологии. 2006. № 10.

Скачать статью в формате PDF  Скачать статью Компоненты и технологии PDF

 


Другие статьи по данной теме:

Сообщить об ошибке