Подписка на новости

Опрос

Нужны ли комментарии к статьям? Комментировали бы вы?

Реклама

 

2009 №1

Оптимальные множители сходимости, обеспечивающие подавление эффекта Гиббса. Часть 1

Лиференко Виктор  
Сердюков Юрий  

В статье описывается способ формирования множителей сходимости, обеспечивающих эффективное подавление эффекта Гиббса. Проведен сопоставительный анализ предложенного типа множителя сходимости с известными типами. Моделирование процесса исследования проводилось с использованием пакета LabVIEW на основе созданных виртуальных приборов.

Все статьи цикла:

Введение

Математическое моделирование процесса передачи информации по каналам связи с помощью сигналов, имеющих разрывы непрерывности 1-го рода, на основе функций Хевисайда, rect-функции и т. д. не позволяет наблюдать эффект Гиббса. Его проявление связано с конечностью полосы пропускания канала связи, вследствие чего сигналы представляются конечным рядом Фурье. Идеализация же на основе математических моделей опирается на представление их рядом с бесконечным числом членов. Проявляется эффект Гиббса в виде характерных колебаний синтезированной функции, описывающей сигнал в районе разрывов. Это одно из неприятных проявлений практического спектрального анализа сигналов с конечной полосой. Следует заметить, что даже использование такого современного математического аппарата описания и анализа сигналов, как вейвлеты, не устраняет этого эффекта. Эффект Гиббса невозможно устранить (и даже ослабить) лишь увеличением числа гармоник при синтезе сигналов. Он фактически вводит в синтезируемые сигналы новые компоненты, на самом деле отсутствующие. Это может привести к маскированию или искажению других спектральных компонентов. Поэтому обычно стремятся ослабить эффект Гиббса, даже за счет уменьшения точности синтеза.

Уже в 1905 году Фейер обратил внимание на тот факт, что ряд Фурье даже для монотонных функций плохо сходится [1]. Для устранения этого дефекта сходимости Фейер предложил использовать множители, улучшающие сходимость. В качестве таковых им было предложено использовать треугольную функцию. Ядро метода суммирования на его основе получило название ядро Фейера.

В контексте такого представления о методе улучшения сходимости рядов Фурье простое усечение числа членов ряда эквивалентно применению множителя в виде прямоугольного окна (окна Дирихле). На деле усечение числа членов ряда не улучшает сходимость ряда, а является, по сути, оператором усечения. Если учесть тот факт, что множители, улучшающие сходимость рядов, обеспечивают взвешивание членов суммируемого ряда Фурье в соответствии с особенностями и свойствами самих множителей, то множитель Дирихле не осуществляет такого взвешивания и является только оператором усечения.

Известно множество различных типов множителей сходимости. Их называют также частотными или временными окнами данных — в зависимости от того, где они используются: во временной или частотной областях. Они устраняют паразитные осцилляции в местах разрыва непрерывности функции за счет уменьшения коэффициентов ряда Фурье гармонических составляющих при больших значениях индекса суммирования.

С эффектом Гиббса следует бороться и потому, что амплитуда синтезированных сигналов (сами по себе они не имеют пульсации, например — модель сигнала на основе rectфункций) достигает 9%, а двойная амплитуда — 18% и практически не меняется при синтезе сигнала с большим числом членов ряда Фурье, его представляющим. Просто выбросы, обусловленные этим эффектом, становятся короче. Между тем существует множество практических задач в высокотехнологичных отраслях, где точность приближения формируемого сигнала должна быть очень высокой (проценты и даже доли процента), а амплитуда — фиксированной.

Постановка задачи

Целью данной публикации является формирование множителей сходимости, обеспечивающих как подавление эффекта Гиббса, так и сохранение точности приближения сигналов. Указанное обстоятельство позволит соответствовать противоречивым требованиям к формируемым множителям сходимости, которые бы не только подавляли эффект Гиббса, но и сохраняли бы особенности сигнала. Сформированные на основе разработанных критериев частотные окна данных, помимо подавления эффекта Гиббса, должны также сохранять высокие качественные показатели синтезируемых сигналов по отношению к их идеализированным математическим моделям, как в плане их амплитудных, так и временных и частотных свойств.

Все проводимые исследования проиллюстрированы путем создания с использованием среды программирования LabVIEW ряда виртуальных приборов. Показан прибор для синтеза прямоугольных импульсов. Виртуальный прибор (ВП), построенный на основе пакета LabVIEW, синтезирует сигнал в виде ряда Фурье по синусам, поскольку последний является нечетной функцией.

На панели результатов ВП выведено количество используемых гармоник для синтеза сигнала и максимальное по абсолютной величине значение выбросов в процентах. Формула, на основе которой синтезируется сигнал, представлена в окне выводов результата на рис. 1.

Рис. 1. Синтез сигнала прямоугольной формы с использованием 21 гармоники
Рис. 1. Синтез сигнала прямоугольной формы
с использованием 21 гармоники

Аналогичная панель результатов, но для случая использования 12 гармонических составляющих для синтеза, приведена на рис. 2.

Рис. 2. Синтез сигнала прямоугольной формы с помощью 12 гармоник
Рис. 2. Синтез сигнала прямоугольной формы
с помощью 12 гармоник

Блок-диаграмма прибора представлена на рис. 3 и состоит из блока поиска минимальных и максимальных значений массивов, блоков индикации и подприбора для вычисления суммы ряда.

Рис. 3. Блок-диаграмма виртуального прибора синтеза сигнала
Рис. 3. Блок-диаграмма виртуального прибора синтеза сигнала

Основной частью подприбора для вычисления суммы ряда является блок-формула, в котором содержится код программы. Блок содержит два входа и один выход. На первый вход подается числовой массив с заданным равномерным шагом, определяющий временной интервал синтеза. На второй вход соответственно подается числовое значение, определяющее число гармонических составляющих в синтезируемом сигнале. Структура кода приведена на рис. 4.

Рис. 4. Блок-формула синтеза сигнала
Рис. 4. Блок-формула синтеза сигнала

Некоторые комментарии к структуре вычислителя. Во-первых, подприбор выполняет 1001 шаг итераций. Шаг итераций равен π/50. На выходе формируется числовой одномерный массив, содержащий указанное выше число значений, который поступает далее на виртуальный блок индикации. В программе подприбора предусмотрен вывод максимального элемента массива высшей гармоники. Таким образом, данный ВП позволяет осуществить синтез сигнала с заданным числом гармоник и определить величину выброса амплитуды, обусловленного эффектом Гиббса. Реализация блок-формулы осуществляется виртуальным подприбором, показанным на рис. 5.

Рис. 5. Виртуальный подприбор для реализации блок-формулы
Рис. 5. Виртуальный подприбор для реализации блок-формулы

Кроме того, при проведении исследования необходимо учесть влияние используемых типов множителей сходимости на результирующую форму синтезируемого сигнала. Отметим, что в разделе «обработка сигнала» пакета LabVIEW присутствует набор из 22 типов множителей сходимости. В качестве таковых, на основе которых будет проведен систематический анализ, использованы следующие множители: Дирихле (None), Фейера (Triangle), Хэмминга (Hamming). Исследуемым сигналом является импульс прямоугольной формы.

Рис. 6. Множитель сходимости Дирихле: а) вид во временной области; б) спектральная характеристика
Рис. 6. Множитель сходимости Дирихле: а) вид во временной области; б) спектральная характеристика

На рис. 6, 7 представлены временные и спектральные характеристики некоторых из указанных типов множителей сходимости.

Рис. 7. Множитель сходимости Фейера: а) вид во временной области; б) спектральная характеристика
Рис. 7. Множитель сходимости Фейера: а) вид во временной области; б) спектральная характеристика

Анализ множителей сходимости и критерии их оптимальности

Пусть имеется ряд Фурье, представляющий разложение некоторой функции. Если ряд бесконечен, то дефекта сходимости не наблюдается. В случае конечности ряда дефект его сходимости присутствует в местах разрыва представляемой функции. Дефицит высокочастотных составляющих, обеспечивающих компенсацию на точках разрывов, — это и есть проявление эффекта Гиббса. Чем больше число членов ряда, тем уже пик, обусловленный эффектом Гиббса, и круче фронты импульсов в точках разрыва. Эта тенденция четко проявляется для множителя сходимости Дирихле (оператор усечения), но эффект Гиббса (амплитуда его выброса) остается неизменным и равным 18% от амплитуды сигнала. При увеличении числа гармоник аппроксимирующего ряда выброс становится все менее продолжительным по времени.

Для множителя сходимости Фейера (треугольная функция), умножаемого на ряд, представляющий функцию, его равномерно убывающие склоны имитируют быстрое уменьшение уровня высокочастотных составляющих ряда (что характерно для сходящегося ряда с бесконечным числом членов). Это обстоятельство приводит к действенному подавлению эффекта Гиббса, но при этом в силу свойств самой треугольной функции и ограниченного числа членов ряда одновременно снижается роль высокочастотных составляющих, уровень и число которых, собственно, и определяют крутизну фронтов аппроксимируемого рядом Фурье сигнала, а также скорость сходимости ряда в точках разрыва. Можно сказать, что множители Дирихле и Фейера являются по своим свойствам антиподами.

Аналогичная ситуация с проявлением эффекта Гиббса наблюдается и для других типов множителей сходимости, используемых в представленном материале.

Для лучшего понимания механизма влияния параметров множителей сходимости на формируемый сигнал следует рассмотреть представление функции не только во временной области, но и частотной. Итак:

где K ( t ) — множитель сходимости.

В частотной области:

То есть имеем свертку прообразов функции во временной области и множителя сходимости. Таким образом, прообразом множителя Дирихле в частотной области является функция типа (sin ω )/ ω . Убывает со скоростью 6 дБ/окт. Из свойств множителя очевидно следующее:

  1. Медленное убывание пульсаций и их большой уровень, как по амплитуде, так и по мощности, приводит к сильному проявлению эффекта просачивания.
  2. Наблюдается высокая степень концентрации энергии импульса вследствие узости главного лепестка функции (sin ω )/ ω . Это обеспечивает у синтезируемого импульса высокую крутизну фронтов.

Прямой противоположностью является множитель Фейера, который в частотной области имеет вид ((sin ω )/ ω )2. Главный лепесток спектральной характеристики множителя в 2 раза шире, чем у множителя Дирихле, и его скаты пологие. Пульсации боковых лепестков незначительны и убывают со скоростью 12 дБ/окт.

На основании анализа двух приведенных альтернативных примеров сформулируем основные требования к множителям сходимости:

  1. В частотной области представления функции рядом Фурье, они должны иметь высокую крутизну скатов спектральной характеристики главного лепестка.
  2. И его узость, что обеспечивает максимальную концентрацию энергии синтезируемого сигнала в максимально узкой полосе частот.
  3. Малый уровень боковых лепестков и высокую скорость их убывания.

Это позволяет при меньшем числе членов ряда, представляющего функцию, обеспечить формирование сигнала с высокой крутизной фронтов и высокой действенностью подавления эффекта Гиббса. Это в какой-то мере соотносится с аналогией увеличения числа членов ряда при одновременном уменьшении амплитуды выброса из-за наличия дефекта сходимости. В пределе, при стремлении числа членов ряда к бесконечности фронты максимально крутые, а эффект Гиббса отсутствует.

Учитывая сформулированные требования к множителям сходимости во временной области и характеристикам их в частотной области, можно сказать, что множитель сходимости как во временной, так и в частотной областях должен быть типа Дирихле, то есть быть максимально близким к прямоугольной форме. Однако следует отметить, что конечность множителя в частотной области и конечность его во временной области противоречит основным свойствам преобразования Фурье.

Для изыскания возможного пути преодоления указанного противоречия рассмотрим более подробно множитель Дирихле. Так, параметрами, влияющими на его спектральные характеристики, являются протяженность множителя и его амплитуда. Считаем их заданными, тогда спектральная плотность множителя, симметричного относительно нуля, отвечает выражению:

где A — амплитуда множителя, а T — его протяженность.

Рассмотрим конечную последовательность из N множителей с указанными выше параметрами и периодом следования Tn, продолженную как в область положительного, так и отрицательного времени. Спектральная плотность первого импульса, сдвинутого в положительном направлении времени на величину Tn, равна S2( ω ) = S1( ω )exp(−j ω Tn). Соответственно спектральная плотность первого импульса, сдвинутого в отрицательном направлении времени на величину Tn, равна S2( ω ) = S1( ω )exp(j ω Tn). Таким образом, суммарная спектральная характеристика последовательности множителей такова:

На частотах, отвечающих условию ω = (2 π k )/Tn, суммарная спектральная плотность

то есть в N раз больше спектральной плотности отдельного множителя. На частотах же ω = (1/N )×(2 π/Tn) сумма векторов exp(−j ω Tnk) обращается в ноль. При промежуточных значениях частот спектральная плотность S ( ω ) определяется как геометрическая сумма спектральных плотностей отдельных множителей сходимости.

Эти два предельных случая указывают на возможность управления совокупным спектром последовательности при соответствующем выборе параметров последовательности множителей Дирихле, то есть интервалом между единичными множителями, их длительностью и амплитудой, а также числом множителей в последовательности. Варьируя указанные параметры, можно обеспечить формирование спектральной характеристики в соответствии с заданным критерием оптимизации. В качестве таковых могут быть:

  • минимум совокупной мощности спектральных составляющих вне заданной полосы частот спектра;
  • наилучшее приближение совокупной спектральной характеристики к прямоугольному виду.

Возможны также и другие критерии оптимизации, однако в качестве базового, который собственно и будет использован в проводимых исследованиях, выбран критерий минимума мощности совокупного спектра мощности конечной последовательности множителей Дирихле.

Основные теоретические положения по формированию оптимальных множителей сходимости

Математическая модель последовательности из n = 2k + 1 множителей Дирихле с произвольными амплитудами во временной области, симметричная относительно нулевого отсчета времени, может быть представлена следующим образом [3]:

Варьируемыми параметрами в выражении (1) являются:

  • τi— сдвиг между соседними множителями длительностью Δ ti(также изменяемый параметр);
  • mi— коэффициент масштабирования дополнительных множителей, находящихся слева и справа от базового (центрального);
  • n — число множителей в последовательности.

Без потери общности рассуждений значение Sx(0) можно принять равным единице. Отметим, что длительность последовательности множителей, состоящей из n = 2k + 1 отдельных множителей Дирихле, равна:

Учитывая теорему о спектре смещенного во времени импульса [4], а также производя группировку однотипных членов, запишем:

Для частного случая, как было показано ранее, когда τi = 0, mi = 1 для ( i = 1,…k ), модуль спектральной плотности в 2k + 1 раз больше модуля спектральной плотности одиночного множителя. Скорость спада спектральных составляющих та же, что и для одиночного множителя. С другой стороны (альтернативный предельный случай), при Δ ti = Δ t и τi = τ, а также выборе величины τ = 2 π/(2 k + 1) ω суммарная спектральная плотность близка к нулю. При промежуточных значениях временного сдвига, масштабирующих коэффициентах и длительностях множителей, составляющих общую последовательность, спектральная плотность определяется как сумма спектральных составляющих отдельных множителей с учетом фазовых соотношений.

Введем безразмерный масштабирующий коэффициент μi :

μi= Δ t1ti + 1, при i = 0, 1, 2, 3, ….

В случае если μi>1, имеет место сжатие множителя длительностью Δ ti по отношению к множителю длительностью Δ t1. Если же μi<1, то имеет место растяжение множителя, то есть изменение его временного масштаба.

С учетом сделанных замечаний запишем выражение для спектра совокупной последовательности множителей Дирихле:

или с учетом формулы Эйлера [5]:

Преобразуем произведение тригонометрических функций в сумму и учтем также, что из определения μi следует μ0 = 1, (так как μ0 = Δ t1t1) и что m0 = 1, τ0 = 0 для центрального множителя последовательности. Тогда последнее выражение представим в виде:

В полученном выражении и далее в тексте описания, где будут использоваться отрицательные индексы, примем по определению следующее: aiai. Затем умножим и разделим каждый член суммы на нормирующий множитель:

В итоге получим:

Выражение (2) представляет собой отрезок тригонометрического ряда. Более того, после приведения его к виду, отвечающему соотношению (3), в котором в качестве базисных функций выступают функции вида:

получим отрезок обобщенного ряда Фурье [6].

Система базисных функций (4) ортогональна на частотном интервале (−∞ , ∞ ) и может быть приведена к ортонормированной системе при соответствующем выборе коэффициентов βi. Ограниченность последовательности S ( t ) во времени и конечность энергии позволяют представить его в виде обобщенного ряда Фурье в системе базисных функций вида (4). Если при этом спектр совокупной последовательности множителей ограничен (в нашем случае полосой частот формируемого прямоугольного сигнала), то, используя только конечное число членов разложения, можно аппроксимировать совокупный спектр заданного, например, в виде некоторой функции или ограничений. Вид функции и требования к ней или те или иные ограничения могут быть заданы исходя из общей технической задачи формирования последовательности множителей с заданными свойствами. Безусловно, замена ряда конечной суммой позволяет построить лишь приближенное описание аппроксимируемого условия или функции, то есть описания с некоторой погрешностью.

Отметим, что каждый член суммы (3) в системе базисных функций вида (4) ассоциирован с конкретным множителем Дирихле, представленным в общей последовательности множителей. Поэтому соответствующим выбором варьируемых параметров суммы, таких как mi, τi, Δ ti и n, можно сформировать отрезок ряда, обеспечивающий заданную точность приближения к формируемой спектральной характеристике совокупной последовательности множителей.

Если в качестве нормы базисных функций вида (4) выбрать [6]:

то S ( ω ) может быть представлена конечным числом членов ряда следующим образом:
S ( ω ) = Soc ( ω, T )+ Sош ( ω ).
Soc ( ω, T ) — спектральная характеристика совокупной последовательности множителей S ( t ) длительностью T. Кроме того, под Sош ( ω ) понимаем составляющую спектральной функции, которая определяет ошибку аппроксимации.

В силу ортогональности базисных функций спектры Soc ( ω, T ) и Sош ( ω ) не перекрываются и их энергии, то есть квадраты норм, складываются:

За абсолютную меру ошибки аппроксимации можно принять, например, расстояние, равное норме сигнала ошибки, то есть если Ws( ω ) — энергетический спектр сигнала S ( t ), то по теореме Релея [6]:

Формирование произвольной совокупной спектральной характеристики последовательности множителей сходимости описанным способом может быть реализовано на основе двух подходов [7].

  • Первый из них фактически описан выше и сводится, по сути, к решению задачи аппроксимации заданной спектральной характеристики с нормой ошибки, определяемой точностью приближения [8]. Далее осуществляется пересчет полученных расчетных параметров базисных функций отрезка ряда в амплитудно-временные соотношения.
  • Второй подход состоит в формулировании классической оптимизационной задачи с ограничениями в следующей постановке: необходимо найти оптимальные соотношения между величинами mi, τi, Δ ti и для ∀ i ∈ 1, n — такие, чтобы обеспечивалось формирование заданной спектральной характеристики в частотной области [9].

Критерии оптимизации при этом могут быть различными. Например, допустимая ошибка приближения к заданной спектральной характеристике. Или же минимум энергии спектральных составляющих, лежащих за пределами некоторой верхней частоты спектра, которая, в свою очередь, равна верхней частоте полосы, занимаемой формируемым сигналом прямоугольного типа.

Выводы

  1. Проведен сопоставительный анализ некоторых типов множителей сходимости и оценка их характеристик как во временной, так и в частотной области. Рассмотрено влияние характеристик множителей сходимости на действенность подавления эффекта Гиббса и совокупные характеристики синтезируемого сигнала. Сформулированы общие требования к формируемым множителям сходимости, на основе которых предложен и описан метод их построения. Описанный метод формирования множителей сходимости на основе конечных последовательностей множителей Дирихле в теоретическом плане позволяет строить множители сходимости с заданными характеристиками.
  2. Сформулированы критерии оптимизации параметров множителей сходимости на основе конечной последовательности множителей Дирихле при различных требованиях. Представленный материал проиллюстрирован некоторыми виртуальными приборами, созданными на основе пакета LabVIEW.

*Оптимальные множители сходимости, обеспечивающие подавление эффекта Гиббса. Часть 2

Литература

  1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.
  2. Тревис Дж. LabVIEW для всех / Пер. с англ. Н. А. Клушин. М.: ДМК, Пресс; ПриборКомплект, 2005.
  3. Сердюков Ю. П. Оптимизация свойств ядер методом суммирования рядов Фурье // Технологии приборостроения. 2005. №С-УДД.1Э3(15).
  4. Математические основы теории автоматического регулирования / Под ред. Б. К. Чемоданова. Т. 2. М.: Высшая школа, 1977.
  5. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 1973.
  6. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, 1983.
  7. Сердюков Ю. П. Оптимальные дискретно-решетчатые окна данных // Технологии приборостроения. 2005. №С-УДД.1Э3(15).
  8. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. М.: Мир, 1974.
  9. Афанасьев В. М., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989.

Скачать статью в формате PDF  Скачать статью Компоненты и технологии PDF

 


Другие статьи по данной теме:

Сообщить об ошибке