Подписка на новости

Опрос

Нужны ли комментарии к статьям? Комментировали бы вы?

Реклама

 

2009 №7

Моделирование цифровой обработки сигналов ЦОС в MATLAB. Часть 9. Моделирование цифровых преобразователей Гильберта и дифференциаторов программными средствами и средствами GUI FDATool MATLAB

Солонина Алла


В цикле «Моделирование цифровой обработки сигналов в MATLAB» предыдущие статьи [6–13] были посвящены моделированию цифровых фильтров (ЦФ), КИХ и БИХ, в том числе с фиксированной точкой (ФТ), программными средствами и средствами GUI (Graphic User Interface — графический интерфейс пользователя) MATLAB . Настоящая статья завершает тему моделирования цифровых фильтров и посвящена цифровым преобразователям Гильберта и дифференциаторам, которые в цифровой обработке сигналов ЦОС реализуются на основе КИХ-фильтров с линейной ФЧХ (ЛФЧХ). Рассматривается их синтез программными средствами и средствами GUI FDATool (Filter Design and Analysis Toolbox — средства проектирования и анализа фильтров) MATLAB.

Все статьи цикла:

Цифровой преобразователь Гильберта

Цифровым преобразователем Гильберта (ЦПГ) называют линейную дискретную систему, формирующую на выходе пару дискретных сигналов, сопряженных по Гильберту (фазы сигналов отличаются на π/2) в заданной рабочей полосе [5].

ЦПГ может быть реализован на базе КИХ-фильтров 3-го и 4-го типов (табл. 1 в [6]), ЛФЧХ которых обеспечивает сдвиг фазы на π/2. Предпочтение отдается КИХ-фильтру 3-го типа, так как он позволяет получить импульсную характеристику (ИХ) h(n), каждый второй отсчет которой равен нулю, тем самым сокращается число арифметических операций при вычислении реакции ЦПГ, что весьма важно при его реализации, например, на цифровом процессоре обработки сигналов (ЦПОС).

На базе КИХ-фильтра 3-го типа можно синтезировать только полосовой фильтр (ПФ), при этом специфика требований к АЧХ ЦПГ, по сравнению с требованиями к АЧХ ПФ, будет следующей:

  • АЧХ ЦПГ должна быть симметричной относительно середины ƒд/4 основной полосы частот [0; ƒд/2] [6] для получения ИХ h(n), каждый второй отсчет которой равен нулю. Поэтому требования к АЧХ ЦПГ задаются симметричными относительно ƒд/4.
  • Рабочая полоса ЦПГ не должна превосходить полосу пропускания ПФ.
  • Максимально допустимое отклонение в рабочей полосе δраб не должно быть меньше максимально допустимого отклонения Sj в ПП (как правило, с ним совпадает δраб = δ1).
  • Максимально допустимое отклонение δ2 в ПЗ нет необходимости задавать слишком жестко, так как эффективность ЦПГ оценивается в рабочей области.

Пример 1

Синтезировать ЦПГ на базе ПФ КИХ-фильтра 3-го типа методом чебышевской аппроксимации [6] с автоматическим подбором минимального порядка при следующих требованиях:

  • частота дискретизации ƒ = 1000 Гц;
  • левая граничная частота рабочей полосы
  • ƒраб_лев =400Гц;
  • правая граничная частота рабочей полосы
  • ƒраб_прав =400Гц;
  • максимально допустимое отклонение в рабочей полосе δраб = δ1= 0,05;
  • максимально допустимое отклонение в ПЗ1 и ПЗ2 δ2= 0,1.

Требования к АЧХ ПФ, на базе которого синтезируется ЦПГ, приведены в таблице.

Таблица. Требования к АЧХ ПФ при синтезе ЦПГ

Частоты (Гц) и их обозначения в MATLAB

Максимально допустимые отклонения АЧХ и их обозначение в MATLAB

Частота дискретизации

ƒд

Fs

1000 - - -
Граничная частота ПЗ1

ƒ-k

ƒk1

50 Максимально допустимое отклонение от нуля в ПЗ1

δ2

d2

0,1
Граничная частота ПП

ƒ-x

ƒt1

100 Максимально допустимое отклонение от единицы в ПП

δ1

d1

0,05
Граничная частота ПП

ƒx

ƒt2

400
Граничная частота ПЗ2

ƒk

ƒk2

450 Максимально допустимое отклонение от нуля в ПЗ2

δ2

d2

0,1

По требованиям к АЧХ будем синтезировать ЦПГ (ПФ) минимального порядка с помощью функции firgr [6] на базе КИХ-филь-тра 3-го типа ('hilbert') с параметром m, равным 'mineven' (аналогичный пример 5 в [6]):

>> Fs=1000;
>> fk1=50; ft1=100; ft2=400; fk2=450; f=[fk1 ft1 ft2 fk2];
>> m=[0 1 0];
>> d2=0.1; d1=0.05; ripple=[d2 d1 d2];
>> [R,f0,m0,weight]=firpmord(f,m,ripple,Fs);
>> f0'
ans =
0 0.1000 0.2000 0.8000 0.9000 1.0000
>> m0'
ans =
0 0 1 1 0 0
>> weight'
ans =
1 2 1
>> [b,err,opt]=firgr({'mineven',R},f0,m0,ripple,'hilbert');
>> opt.order
ans =
22

Выведенные значения ƒ0, m0 и weight будут использованы далее в примере 4.

Синтезирован оптимальный ПФ с ЛФЧХ порядка Ropt = 22 на базе КИХ-фильтра 3-го типа, который функционирует как ЦПГ в рабочей полосе.

Построим графики ИХ, АЧХ и ФЧХ ЦПГ с помощью внешней функции plot_fir [6] (рис. 1):

>> R=opt.order;
>> plot_fir(R,b,Fs)

Рис. 1. Характеристики ЦПГ: а) ИХ; б) АЧХ; в) ФЧХ

Каждый второй отсчет ИХ ЦПГ равен нулю. На рис. 2 представлена структура ЦПГ [5]. Рассмотрим работу ЦПГ при входном гармоническом сигнале:

х (n) = cos((2nƒ/ƒд)n),

где ƒ = 125 Гц. Выходной сигнал y(n) рассчитаем с помощью функции filter [11], для которой вектор коэффициентов b был рассчитан в примере 1 (рис. 3):

Рис. 2. Структура ЦПГ

Рис. 2. Структура ЦПГ

>> Fs=1000; f=125; n=0:63;
>> x=cos((2.*pi.*f./Fs).*n);
>> subplot(2,1,1), stem(n,x,'fill','MarkerSize',3),...
xlabel('n'), title('x(n)'), grid
>> a=[1];
>> y=filter(b,a,x);
>> subplot(2,1,2), stem(n,y,'fill','MarkerSize',3),...
xlabel('n'), title('y(n)'), grid

Рис. 3. Сигналы ЦПГ: а) входной; б) выходной

Рис. 3. Сигналы ЦПГ: а) входной; б) выходной

Согласно рис. 2, при N = 23 сопряженными по Гильберту должны быть сигналы x[n-(N-1)/2] = х(n-11) и y(n). Для формирования задержанного сигнала x(n-11) (далее обозначен как xx) создадим внешнюю функцию shift [5]:

function [y,k]=shift(x,n,m)
% Сдвиг последовательности
% n — дискретное время n=0,1,2...
% x — не задержанная последовательность x(n)
% m — задержка
% k — дискретное время k=n+m
% y — задержанная последовательность y(k)=x(n–m);
k=n+m;
y=x;

Графические результаты представлены на рис. 4:

>> [xx,k]=shift(x,n,11);
>> subplot(2,1,1), stem(k,xx,'fill','MarkerSize',3),...
xlabel('n'), title('x(n–11)'), grid
>> subplot(2,1,2), stem(n,y,'fill','MarkerSize',3),...
xlabel('n'), title('y(n)')

Рис. 4. Сигналы ЦПГ: а) входной задержанный; б) выходной

Рис. 4. Сигналы ЦПГ: а) входной задержанный; б) выходной

Наконец, для того чтобы убедиться в сопряжении по Гильберту сигналов х (n-11) и y(n), сравним их в установившемся режиме на одинаковом интервале, например, n = [27; 63] (рис. 5):

>> subplot(2,1,1), stem(k,xx,'fill','MarkerSize',3),...
xlabel('n'), title('x(n-11) n=[27;63]'), xlim([27,63]), grid
>> subplot(2,1,2), stem(n,y,'fill','MarkerSize',3),...
xlabel('n'), ylabel('y(n) n=[27;63]'), xlim([27,63]), grid

Как видим, фазы входного и выходного гармонических сигналов отличаются на π/2.

Рис. 5. Сигналы ЦПГ в установившемся режиме: а) входной задержанный; б) выходнойРис. 6. Характеристики ШЦД: а) ИЧ; б) АЧХ; в) ФЧХ

Рис. 5. Сигналы ЦПГ в установившемся режиме: а) входной задержанный; б) выходнойРис. 6. Характеристики ШЦД: а) ИЧ; б) АЧХ; в) ФЧХ

Рис. 6. Характеристики ШЦД: а) ИЧ; б) АЧХ; в) ФЧХ

Цифровой дифференциатор

Цифровым дифференциатором (ЦД) называют линейную дискретную систему, обеспечивающую вычисление отсчетов производной сигнала по отсчетам самого сигнала в рабочей полосе, совпадающей с основной полосой частот либо расположенной внутри нее.

Идеальный ЦД имеет в рабочей полосе частотную характеристику:

с ЛФЧХ, соответствующей КИХ-фильтрам 3-го и 4-го типов (табл. 1 в [6]). Идеальная АЧХ ЦД в рабочей полосе в шкале абсолютных частот имеет вид:

A(ƒ) = k (ƒ/(ƒд/2)), при k≥1.

Реальный ЦД синтезируется на основе КИХ-фильтров 3-го или 4-го типа по требованиям к АЧХ в рабочей полосе [ƒраб21; /ƒраб2], совпадающей с основной полосой [0; ƒд/2] либо расположенной внутри нее. В зависимости от расположения рабочей полосы в основной полосе [0; ƒд/2] различают следующие разновидности ЦД [5]:

  • широкополосные ЦД (ШЦД) — с рабочей полосой 0; ƒд/2;
  • низкочастотные ЦД (НЦД) — с рабочей полосой [0;ƒраб]
  • полосовые ЦД (ПЦД) — с рабочей полосой [ƒраб1; ƒраб2],
  • высокочастотные ЦД (ВЦД) — с рабочей полосой [ƒраб; ƒд/2],

Так как АЧХ КИХ-фильтров 3-го типа по определению равна нулю на границах основной полосы частот, ШЦД и ВЦД можно синтезировать только на базе КИХ-фильтра 4-го типа.

Максимально допустимое отклонение АЧХ от идеальной в рабочей полосе (δраб) задается достаточно жестко, а в нерабочей (δнераб) — более или менее формально, δнераб>>δраб.

ЦД синтезируются с помощью функций firpm или firgr [6] с одинаковыми форматами:

[b,error,opt]=firpm(R,f0,m0,weight,'differentiator',{lgrid})
[b,error,opt]=firgr(R,f0,m0,weight,'differentiator',{lgrid})

Здесь R — оценка порядка фильтра R (формула (2) в [6]), задаваемая произвольно, но с учетом типа КИХ-фильтра — 3-го или 4-го; ƒ0 — вектор нормированных частот ƒ=ƒ/(ƒд/2), в основной полосе частот [0; 1]; длина вектора ƒ0 — всегда четное число, включающее следующие частоты в порядке их следования слева направо:

  • левую границу основной полосы частот ƒ0 = 0;
  • граничные частоты рабочей полосы: отсутствуют — для ШЦД; одна—для НЦД и ВЦД; две — для ПЦД;
  • граничные частоты нерабочей полосы: отсутствуют — для ШЦД; одна — для НЦД иВЦД; две — для ПЦД;
  • правую границу основной полосы частот ƒ0 = 1;

m0 — вектор значений идеальной АЧХ ЦД на частотах вектора ƒ0; длины векторов ƒ0 и m0 совпадают. При задании значений вектора m0 необходимо помнить о следующем: m0 = 0 на частоте ƒ0 = 0; m0 = 0 на частоте ƒ0 = 1 для КИХ-фильтров 3-го типа. weight — вектор весов в рабочей и нерабочей полосах в порядке их следования слева направо. Длина вектора weight вдвое меньше длины вектора ƒ0 и равна: 1 — для ШЦД; 2 — для НЦД и ВЦД; 3 — для ПЦД. Веса рассчитываются по методике, рассмотренной в [6], на основе заданных максимально допустимых отклонений δраб и δнераб/. В рабочей полосе вес всегда равен 1, а в нерабочей δнерабраб >1.

Примечания. В MATLAB граница нерабочей полосы обязательно задается и для ВЦД, и для ПЦД. Длина вектора ƒ0 будет равна: 2 — для ШЦД; 4 — для НЦД и ВЦД; 6 — для ПЦД. Параметры lgrid, error и opt для функции firpm были определены ранее в [6], но с одним существенным замечанием. Для ЦД модуль максимального отклонения реальной АЧХ от идеальной в рабочей полосе равен не значению параметра error, как для частотно-избирательных КИХ-фильтров, а значению параметра max(abs(opt.error)) (аналогично примеру 4 [6]).

Пример 2

Синтезировать ШЦД с частотой дискретизации ƒд = 8000 Гц при максимально допустимом отклонении АЧХ от идеальной в рабочей полосе δраб = 0,02 и k = 1.

ШЦД будем синтезировать на базе КИХ-фильтра 4-го типа:

>> f0=[0 1];
>> m0=[0 1];
>> weight=[1];
>> R=15;
>> [b,error,opt]=firpm(R,f0,m0,weight,'differentiator');

Проверим выполнение требований к АЧХ ШЦД в рабочей полосе:

>> max(abs(opt.error))
ans =
0.0136

Требования выполняются. Последовательно уменьшая нечетный порядок фильтра, получим ШЦД минимального порядка Rmin =11. Построим графики импульсной характеристики, АЧХ и ФЧХ ШЦД с помощью внешней функции plot_fir [6] (рис. 6):

>> Fs=8000;
>> plot_fir(R,b,Fs)

Рис. 7. Характеристики НЦД: а) ИХ; б) АЧХ; в) ФЧХ

Пример 3

Синтезировать НЦД с частотой дискретизации ƒд = 8000 Гц при границе рабочей полосы ƒраб = 2000 Гц (ƒw), границе нерабочей частоты ƒнераб = 3000 Гц (fnw), максимально допустимом отклонении АЧХ от идеальной в рабочей полосе δраб = 0,02, в нерабочей — ƒнераб= 0,1 и k = 0,5.

НЦД можно синтезировать на базе КИХ-фильтров 3-го и 4-го типов. Будем его синтезировать на базе КИХ-фильтра 3-го типа:

>> Fs=8000;
>> fw=2000; fnw=3000; f0=[0 fw/(Fs/2) fnw/(Fs/2) 1]
f0 =
0 0.5000 0.7500 1.0000
>> m0=[0 0.25 0.375 0];
>> weight=[5 1];
>> R=12;
>> [b,error,opt]=firpm(R,f0,m0,weight,'differentiator');

Проверим выполнение требований к АЧХ НЦД в рабочей полосе:

>> max(abs(opt.error))
ans =
0.0276

Требования не выполняются. Последовательно увеличивая порядок фильтра, получим НЦД минимального порядка Rmin = 14. Построим графики ИХ, АЧХ и ФЧХ НЦД с помощью внешней функции plot_fir [6] (рис. 7):

>> plot_fir(R,b,Fs)

Синтез цифровых преобразователей Гильберта средствами GUI FDATool

Синтез ЦПГ средствами GUI FDATool предполагает обязательное знакомство с синтезом ЦПГ программными средствами MATLAB, рассмотренными выше.

Пример 4

В примере 1 был синтезирован ЦПГ программными средствами на базе КИХ-фильтра ПФ 3-го типа методом чебышевской аппроксимации при заданных требованиях к ЦПГ, на основе которых были сформулированы требования к АЧХ КИХ-фильтра ПФ (таблица). Синтезировать тот же ЦПГ средствами GUI FDATool.

Основные этапы синтеза ЦПГ включают в себя (рис. 8):

Рис. 8. АЧХ цифрового преобразователя Гильберта

Рис. 8. АЧХ цифрового преобразователя Гильберта

 

  1. Выбор типа ЦФ. В группе Design Method — переключатель FIR.
  2. Выбор метода синтеза. В группе Design Method в раскрывающемся списке FIR — Equiripple.
  3. В раскрывающемся списке специальных фильтров (без имени) выбор Hilbert Transformer («Преобразователь Гильберта»).
  4. Задание входных параметров [12] ЦПГ. Входные параметры ЦПГ рассчитываются программными средствами MATLAB с помощью функции firpmord по требованиям к АЧХ ПФ (КИХ-фильтру 3-го типа), на основе которого синтезируется ЦПГ. В данном случае требования к АЧХ ЦФ заданы в таблице, а входные параметры ЦПГ рассчитаны с помощью функции firpmord в примере 1. В GUI FDATool эти входные параметры задаются следующим образом:
  • В группе Frequency and Magnitude Specifications:
    • в раскрывающемся списке Frequency Units — Normalized (0 to 1) (по умолчанию);
    • в поле ввода Freq. vector («Вектор частот») — [0 0.1 0.2 0.8 0.9 1];
    • в поле ввода Mag. vector («Вектор АЧХ») — [0 0 1 1 00];
    • в поле ввода Weight vector («Вектор весов») — [1 2 1].

Примечание. Векторы Freq. vector, Mag. vector и Weight vector тождественны соответственно векторам ƒ0, m0 и weightв функции firpmord и рассчитаны с ее помощью.

  • В группе Filter Order в списке ввода Specify order — порядок фильтра 18.

Примечание. Порядок фильтра тождественен параметру R в функции firpmord и рассчитан с ее помощью.

  • В группе Options в поле ввода Density Factor — 20. Примечание. Параметр Density Factor тождественен параметру Igrid в функциях firpm и firgr [6].

5. Синтез ЦПГ производится после нажатия кнопки Design Filter. По завершении синтеза автоматически выдаются:

  • В группе Magnitude Response (dB) — график АЧХ (дБ) — характеристика ослабления (5) в [6].
  • В группе Current Filter Information:
    • Structure — Direct-Form FIR;
    • Order — 18;
    • Stable — Yes;
    • Source — Designed.
  • Используя соответствующие команды в пункте меню Analysis, легко убедиться, что у синтезированного ЦПГ:
  • АЧХ симметрична относительно частоты ƒд/4 (нормализованной частоты 0,5).
  • импульсная характеристика антисимметрична — это КИХ-фильтр 3-го типа — и каждый ее второй отсчет равен нулю. Отметим, что синтезированный ЦПГ порядка R = 18 не является оптимальным, в чем легко убедиться, проверив выполнение требований к АЧХ в ПП и ПЗ. Оптимальный ЦПГ будет синтезирован при Rmin = 22 (рис 8.)

Синтез цифровых дифференциаторов средствами GUI FDATool

Синтез ЦД средствами GUI FDATool предполагает обязательное знакомство с синтезом ЦД программными средствами MATLAB, рассмотренными выше.

Рис. 9. АЧХ низкочастотного цифрового дифференциатора

Рис. 9. АЧХ низкочастотного цифрового дифференциатора

Пример 5

В примере 3 был синтезирован низкочастотный цифровой дифференциатор (НЦД) программными средствами на базе КИХ-фильтра 3-го типа методом чебышевской аппроксимации. Синтезировать тот же НЦД средствами GUI FDATool.

Основные этапы синтеза НЦД включают в себя (рис. 9):

  1. Выбор типа ЦФ. В группе Design Method — переключатель FIR.
  2. Выбор метода синтеза. В группе Design Method в раскрывающемся списке FIR — Equiripple.
  3. В раскрывающемся списке специальных фильтров (без имени) выбор Differentiator («Дифференциатор»).
  4. Задание входных параметров [12] ЦД. Входные параметры НЦД тождественны входным параметрам функций firpm (или firgr), и они задаются в GUI FDATool следующим образом:
  • В группе Frequency and Magnitude Specifications:
    • в раскрывающемся списке Frequency Units — Normalized (0 to 1) (по умолчанию);
    • в поле ввода Freq. vector («Вектор частот») — [0 0.5 0.75 1];
    • в поле ввода Mag. vector («Вектор АЧХ») — [0 0.25 0.5 0];
    • в поле ввода Weight vector («Вектор весов») — [5 1].

Примечание. Векторы Freq. vector, Mag. vector и Weight vector тождественны соответственно векторам ƒ0, m0 и weight, рассчитанным с помощью функции firpm (пример 3);

  • В группе Filter Order в списке ввода Specify order — порядок фильтра 12. Примечание. Порядок фильтра тождественен параметру R (пример 3);
  • В группе Options в поле ввода Density Factor — 20.

Примечание. Параметр Density Factor тождественен параметру Igrid в функциях firpm и firgr [6]. 5. Синтез НЦД производится после нажатия кнопки Design Filter. По завершении синтеза автоматически выдаются:

  • В группе Magnitude Response (dB) — график АЧХ (дБ) — характеристика ослабления (5) в [6].
  • В группе Current Filter Information:
    • Structure — Direct-Form FIR;
    • Order — 12;
    • Stable — Yes;
    • Source — Designed.

Отметим, что синтезированный НЦД порядка R = 14 не является оптимальным, в чем легко убедиться, проверив выполнение требований к АЧХ. Оптимальный НЦД будет синтезирован при Rmin = 14 (рис. 9).

Литература

  1. Ingle V., Proakis J. Digital Signal Processing Using MATLAB. Second Edition. Thomson.
  2. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Техносфера, 2006.
  3. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов, 2-е изд. СПб.: ПИТЕР, 2006.
  4. Солонина А. И., Улахович Д. А., Арбузов С. М., Соловьева Е. Б. Основы цифровой обработки сигналов. 2-е изд. СПб.: БХВ-Петербург, 2005.
  5. Солонина А. И., Арбузов С. М. Цифровая обработка сигналов. Моделирование в MATLAB. СПб.: БХВ-Петербург, 2008.
  6. Солонина А. Моделирование цифровой обработки сигналов в MATLAB. Часть 1. Синтез оптимальных (по Чебышеву) КИХ-фильтров программными средствами MATLAB // Компоненты и технологии. 2008. № 11.
  7. Солонина А. Моделирование цифровой обработки сигналов в MATLAB. Часть 2. Синтез оптимальных БИХ-фильтров программными средствами MATLAB // Компоненты и технологии. 2008. № 12.
  8. Солонина А. Моделирование цифровой обработки сигналов в MATLAB. Часть 3. Описание структур КИХ- и БИХ-фильтров в MATLAB // Компоненты и технологии. 2009. № 1.
  9. Солонина А. Моделирование цифровой обработки сигналов в MATLAB. Часть 4. Моделирование структур цифровых фильтров с фиксированной точкой программными средствами MATLAB: анализ характеристик КИХ-фильт-ров // Компоненты и технологии. 2009. № 2.
  10. Солонина А. Моделирование цифровой обработки сигналов в MATLAB. Часть 5. Моделирование структур цифровых фильтров с фиксированной точкой программными средствами MATLAB: анализ характеристик БИХ-фильт-ров // Компоненты и технологии. 2009. № 3.
  11. .Солонина А. Моделирование цифровой обработки сигналов в MATLAB. Часть 6. Моделирование структур цифровых фильтров с фиксированной точкой программными средствами MATLAB: квантование воздействия и вычисление реакции // Компоненты и технологии. 2009. № 4.
  12. Солонина А. Моделирование цифровой обработки сигналов в MATLAB. Часть 7. Моделирование цифровых фильтров средствами программ GUI MATLAB: GUI FDATool // Компоненты и технологии. 2009. № 5.
  13. Солонина А. Моделирование цифровой обработки сигналов в MATLAB. Часть 8. Моделирование цифровой фильтрации средствами программ GUI MATLAB: GUI SPTool // Компоненты и технологии. 2009. № 6.

Скачать статью в формате PDF  Скачать статью Компоненты и технологии PDF

 


Другие статьи по данной теме:

Сообщить об ошибке