Подписка на новости

Опрос

Нужны ли комментарии к статьям? Комментировали бы вы?

Реклама

 

2009 №6

Моделирование цифровой обработки сигналов ЦОС в MATLAB. Часть 8. Моделирование цифровой фильтрации средствами программ GUI MATLAB: GUI SPTool

Солонина Алла


В предлагаемом цикле «Моделирование цифровой обработки сигналов в MATLAB» предыдущие статьи были посвящены моделированию цифровых фильтров (ЦФ), КИХ и БИХ, в том числе с фиксированной точкой (ФТ), программными средствами MATLAB.

Все статьи цикла:

Статьи данных номеров доступны в печатном и pdf-вариантах. Вы можете приобрести свежие номера журнала «Компоненты и технологии» в свободной продаже или заказать в редакции. Извините за доставленные неудобства.

На основе программных средств в MATLAB разработаны программы GUI (Graphic User Interface — графический интерфейс пользователя), представляющие собой средства, предназначенные для моделирования путем интерактивного общения без прямого доступа к программным средствам с графическим выводом результатов. В частности, для моделирования ЦФ разработаны две программы GUI — FDATool и SPTool. Проектирование ЦФ средствами FDATool было рассмотрено в [12].

Настоящая статья посвящена моделированию цифровой фильтрации средствами GUI SPTool.

Моделирование цифровой фильтрации средствами GUI SPTool

Программа GUI SPTool (Signal Processing Toolbox— средства обработки сигнала) разработана на основе пакета расширения Signal Processing Toolbox и предназначена для решения следующих задач, связанных с моделированием цифровой фильтрации:

  • синтез ЦФ;
  • анализ ЦФ;
  • импорт входного сигнала;
  • моделирование цифровой фильтрации;
  • анализ сигналов во временной области;
  • анализ сигналов в частотной области;
  • экспорт данных из GUI SPTool.

Следует, однако, иметь в виду, что возможности синтеза ЦФ в GUI SPTool существенно ограничены по сравнению с GUI FDATool, в том числе отсутствует возможность моделирования структур ЦФ с ФТ. В [12] описан экспорт в GUI SPTool фильтра, синтезированного в GUI FDATool и сохраненного в виде объекта dfilt. Экспортируемый фильтр, имя которого появляется в списке Filters, можно далее использовать для моделирования процесса цифровой фильтрации.

Тем не менее, в ряде случаев удобно оперативно синтезировать ЦФ непосредственно в GUI SPTool. Основные этапы синтеза ЦФ описаны в [12], а технология синтеза легко осваивается самостоятельно по аналогии с GUI FDATool. Подробно она описана в [5]. В примере 1 представлен оперативный синтез КИХ-фильтра в GUI SPTool для его последующего использования при моделировании цифровой фильтрации.



Рис. 1. Окно SPTool: startup.spt

Обращение к GUI SPTool происходит по команде sptool, после чего открывается окно SPTool: startup.spt (рис. 1) с тремя списками:

  • Signals («Сигналы»);
  • Filters («Фильтры»);
  • Spectra («Спектры»).

Синтез цифровых фильтров

Операции, связанные с цифровой фильтрацией, выполняются с использованием кнопок, расположенных под списком Filters:

  • View («Вид») — анализ ЦФ, имя которого выделено в списке Filters.
  • New («Новый фильтр») — синтез нового ЦФ.
  • Edit («Редактирование») — изменение требований к ЦФ, имя которого выделено в списке Filters, и его повторный синтез без изменения имени.
  • Apply («Применить») — моделирование процесса фильтрации сигнала, имя которого выделено в списке Signals, фильтром, имя которого выделено в списке Filters.

В списке Filters содержатся имена синтезированных ранее и сохраненных ЦФ; если они отсутствуют, активна только кнопка New.

Для синтеза нового ЦФ необходимо нажать кнопку New, после чего открывается окно Filter Designer («Синтез фильтра») (рис. 2).



Рис. 2. Окно Filter Designer

Пример 1

В примере 2 [6] был синтезирован программными средствами MATLAB оптимальный КИХ-фильтр ФНЧ по заданным требованиям к АЧХ (табл. 3 [6]) методом чебышевской аппроксимации. Требуется синтезировать тот же фильтр средствами GUI SPTool.

Основные этапы синтеза включают в себя:

  1. Выбор типа и метода синтеза ЦФ. В раскрывающемся списке Algorithm («Алгоритм») выбрать значение Equiripple FIR («Метод наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации»).
  2. Задание входных параметров. Флаг Minimum Order («Минимальный порядок») установлен, входные параметры отсутствуют [12].
  3. Задание требований к АЧХ (табл. 3 [6]):
    • Тип избирательности задается в группе Specifications («Требования») в раскрывающемся списке Type («Тип») — lowpass.
    • Частота дискретизации и граничные частоты ПП и ПЗ в герцах указываются соответственно в поле ввода Sampling Frequency («Частота дискретизации») — 8000 — и в группе Specifications в подгруппах:
      • Passband («Полоса пропускания») в поле ввода Fp — 1000;
      • Stopband («Полоса задерживания») в поле ввода Fs — 1500.
    • Максимально допустимые отклонения АЧХ (дБ) указываются в группе Specifications в подгруппах (значения Rp (дБ) и Rs (дБ) были вычислены в примере 1 в [6]):
    • Passband в поле ввода Rp — 0.4455;
    • Stopband в поле ввода Rs — 40.
  4. Синтез фильтра производится после нажатия кнопки Apply (при сброшенном флаге Auto Design), и по его завершении автоматически выдаются:
    • в поле Frequency Response («Частотная характеристика») — график АЧХ (дБ) (характеристика ослабления (6) в [6]);
    • в группе Measurements («Значения»):
      • Order — 26;
      • в подгруппе Passband действительное отклонение АЧХ (дБ) Actual Rp — 0.5697 и вес в ПП Weight — 1;
      • в подгруппе Stopband действительное отклонение АЧХ (дБ) Actual Rs — 37.82 и вес в ПЗ Weight — 2.564;
    • в раскрывающемся списке Filter — имя синтезированного фильтра filt2.

Сравнивая действительные значения АЧХ (дБ) Actual Rp и Actual Rs в группе Measurements с заданными пользователем значениями Rp и Rs в группе Specifications, убеждаемся, что требования к АЧХ (дБ) в ПП не выполняются.

Для изменения порядка КИХ-фильтра сбросим флаг Minimum Order, в поле ввода Order («Порядок») установим порядок 27 и зададим входные параметры по умолчанию:

  • в подгруппе Passband в поле ввода Weight — 1;
  • в подгруппе Stopband в поле ввода Weight — 5.

Веса определены по методике, изложенной в [6], а именно: вес, равный единице, присвоен ПП с наибольшим максимально допустимым отклонением 0,05, а вес в ПЗ рассчитан как отношение 0,05/0,01 = 5.

При повторном синтезе после нажатия кнопки Apply (она активизируется после щелчка левой кнопки мыши на поле графика) в группе Measurements автоматически выводятся выходные параметры в подгруппах Passband иStopband. Сравнивая значения АЧХ (дБ) Actual Rp и Actual Rs с заданными пользователем в группе Specifications, убеждаемся, что требования к АЧХ (дБ) вновь не выполняются.

Увеличивая порядок фильтра, не меняя входные параметры, несложно убедиться, что требования к АЧХ (дБ) будут выполняться при порядке фильтра R = 31.

Таким образом, синтезирован оптимальный ФНЧ с ЛФЧХ порядка Ropt = 31 на базе КИХ-фильтра 2-го типа. (Отметим, что порядок КИХ-фильтра ФНЧ, синтезированного средствами GUI FDATool в примере 1 [12], равен Rmin = 25).

Анализ цифровых фильтров

Для анализа характеристик ЦФ, синтезированного или импортированного в GUI SPTool, необходимо в списке Filters окна SPTool: startup.spt выделить имя ЦФ и нажать кнопку View. После этого происходит автоматическое обращение к GUI FVTool и открывается окно Figure…: Filter Visualization Tool (рис. 3). Список команд пункта меню Analysis данного окна ничем не отличается от пункта меню Analysis окна Filter Design & Analysis Tool GUI FDATool [12].



Рис. 3. Окно Figure…: Filter Visualization Tool

Импорт входного сигнала

Источником сигнала для GUI SPTool может являться:

  • рабочее пространство памяти Workspace, если сигнал создается непосредственно в командном окне MATLAB;
  • диск, если сигнал сохранен как mat-файл данных в папке work или папке пользователя.

Пример 2

Создать входной сигнал — 1024-точечную последовательность, представляющую собой смесь двух дискретных гармоник:

со следующими значениями частот:
  • частота дискретизации fд = 8000 Гц;
  • f1 = 500 Гц;
  • f2 = 2000 Гц; с нормальным белым шумом и сохранить его на диске.

Сформируем входной сигнал — вектор x— подставив в (1) значения частот:

Результирующий сигнал обозначим как вектор s и сохраним на диске:

>> N=1024;
>> n=0:(N-1);
>> x=sin(0.125*pi.*n)+0.5*sin(0.5*pi.*n);
>> noise=randn(1,length(x));
>> s=x+noise;
>> save s

Для импорта входного сигнала в GUI SPTool необходимо в окне SPTool: startup.spt в пункте меню File выбрать команду Import («Импорт»), после чего открывается окно Import to SPTool («Импорт в SPTool»), в котором в группе Source («Источник») следует выбрать переключатель From Workspace (Из рабочего пространства памяти Workspace) или From Disk («С диска»).



Рис. 4. Окно Import to SPTool при импорте From Workspace

Если сигнал импортируется From Workspace, то необходимо выполнить следующие действия (рис. 4):

  1. В группе Workspace Contents («Содержимое Workspace») курсором выделить имя переменной s (пример 2).
  2. Нажать кнопку « >», после чего имя переменной s будет отображено в поле ввода Data («Данные») — это указание рассматривать переменную s как числовой массив.
  3. В раскрывающемся списке Import As («Импортировать как») выбрать значение Signal («Сигнал»).
  4. В поле ввода Sampling Frequency («Частота дискретизации») указать частоту дискретизации в герцах — 8000.
  5. В поле ввода Name («Имя») указать имя входного сигнала — предлагаемое по умолчанию sig1.
  6. Нажать кнопку OK и убедиться, что сигнал sig1 отобразился в группе Signals окна SPTool: startup.spt.

Если сигнал импортируется с диска (From Disk), то необходимо в группе Source нажать активизированную кнопку Browse («Просмотреть»), после чего открывается окно Select File to Open («Выбрать файл для открытия»), в котором курсором выделить имя mat-файла (у нас — s) и нажать кнопку Открыть, после чего происходит автоматический возврат в окно Import to SPTool. Дальнейшие действия аналогичны описанным выше при импорте From Workspace.

Для удаления импортированных сигналов следует в окне SPTool: startup.spt в группе Signals курсором выделить имя удаляемого сигнала и в пункте меню Edit выбрать команду Clear.

Моделирование цифровой фильтрации

После синтеза ЦФ и импорта входного сигнала можно приступать к моделированию цифровой фильтрации. Для этого в окне SPTool: startup.spt необходимо выполнить следующие действия:

  1. В группе Signals выделить имя сигнала, например, sig1 (вектор s в примере 2).
  2. В группе Filters выделить имя фильтра, например, КИХ-фильтра ФНЧ filt2 (при- мер 1).
  3. Нажать кнопку Apply, после чего открывается окно Apply Filter («Применить к фильтру») (рис. 5) с именами входного сигнала sig1, фильтра filt2 и выходного сигнала sig3.
  4. Нажать кнопку OK и убедиться, что сигнал sig3 отобразился в группе Signals.



Рис. 5. Окно Apply Filter

Анализ сигналов во временной области

Для анализа сигналов во временной области следует в окне SPTool: startup.spt в группе Signals выделить имя сигнала (одно или несколько) и нажать кнопку View, после чего открывается окно Signal Browser («Просмотр сигнала»). На рис. 6, 7 представлены графики входного и выходного сигналов — sig1 и sig3 соответственно.



Рис. 6. Окно Signal Browser — входной сигнал sig1



Рис. 7. Окно Signal Browser — выходной сигнал sig3

В окне Signal Browser (рис. 6, 7) автоматически выводятся два графика дискретного сигнала (или нескольких сигналов), изображенные непрерывными линиями:

  • нижний Panner («Панорама») — общий вид (панорама) сигнала на заданном интервале;
  • верхний — общий вид сигнала на заданном интервале с активизированным набором средств для анализа сигнала, которые легко осваиваются самостоятельно.

На верхнем графике входной дискретный сигнал sig1 представлен на интервале времени [0;NT] = [0;N/Fs] с, где N — длина сигнала, а Fs — частота дискретизации fд. В нашем случае при N = 1024 и Fs = 8000 Гц (пример 2) имеем интервал [0;0,128] с.

Анализ сигналов в частотной области

Для анализа сигналов в частотной области необходимо:

  1. В окне SPTool: startup.spt в группе Signals выделить имя сигнала.
  2. В группе Spectra нажать кнопку Create («Создать»), после чего открывается окно Spectrum Viewer («Просмотр спектра»). В этом окне в группе Signal отображается имя анализируемого сигнала, его длина и частота дискретизации в герцах. В группе Parameters в раскрывающемся списке Method содержатся методы спектрального анализа сигнала [5].
  3. Нажать кнопку Apply, после чего в окне Spectrum Viewer будет выведен график спектральной плотности мощности (PSD) в основной полосе частот [0; fд/2].

В группе Signals последовательно выделим имена входного и выходного сигналов — sig1 и sig3 соответственно. Для каждого из них выберем метод спектрального анализа FFT (БПФ), входным параметром которого является задаваемое число точек сигнала — 1024. Графики PSD, соответственно, входного и выходного сигналов sig1 и sig3 представлены на рис. 8, 9, где маркеры Marker 1 и Marker 2 подведены к частотам сигнала 500 и 2000 Гц (пример 2), а переменные y1 и y2 фиксируют соответствующие значения PSD (дБ/Гц). Вычисленным PSD автоматически присваи- ваются имена spect1, spect2 и т. д., у нас PSD входного сигнала имеет имя spect1, а выходного— spect2.



Рис. 8. Окно Spectrum Viewer — PSD spect1 входного сигнала sig1



Рис. 9. Окно Spectrum Viewer — PSD spect2 выходного сигнала sig3

В GUI SPTool при использовании метода FFT спектральная плотность мощности PSD (дБ/Гц) рассчитывается по формуле:

где Fs — частота дискретизации fд; N — размерность ДПФ; X(k) — N-точечное ДПФ N- точечной последовательности x(n) (см. вычисление ДПФ вMATLAB [5]); k — дискретная нормированная частота; P(k) — PSD (дБ/Гц).

Пример 3

Рассчитать вMATLAB значения спектральной плотности мощности P(k) (дБ/Гц) (3) входного сигнала s (пример 2) на частотах 500 и 2000 Гц и сравнить их с выведенным в окне Signal Browser (рис. 9).

С помощью ДПФ рассчитаем спектральную плотность мощности P(k) (дБ/Гц) (3) (вектор PDB) сигнала s:

>> load s;
>> Fs=8000;
>> N=1024;
>> S=fft(s);
>> MODS=(abs(S));
>> P=(1/(N*Fs)).*(MODS.^2);
>> PDB=10.*log10(P);

Определим значения спектральной плотности мощности (вектора PDB) на частотах 500 и 2000 Гц. Для этого найдем соответствующие дискретные нормированные частоты k1 и k2 с помощью внешней функции fft_e1 (см. вычисление ДПФ в MATLAB [5]):

>> [max(P) min(P)]
ans = 0.0277 2.0302e-007
>> e1=0.05;
>> [MODm,m]=fft_e1(N,P,e1)
MODm = 0.0277 0.0090 0.0090 0.0277
m = 65 257 769 961

Сучетом того, что нижняя граница индексов вMATLAB равна единице, в основной полосе дискретных нормированных частот 0≤k≤511 имеем k1 = 64 и k2 = 256, а вMATLAB— k1= 65 и k2 = 257.

Выведем значения спектральной плотности мощности P(k1) и P(k2) (дБ/Гц):

>> [PDB(65) PDB(257)]
ans = –15.5827 –20.4808

Полученные значения практически совпадают с выведенными в окне Spectrum Viewer (рис. 8).

На рис. 9 представлена спектральная плотность spect2 выходного сигнала sig3 КИХ-фильтра ФНЧ filt2. В данном случае одна из спектральных составляющих входного сигнала sig1 с частотой 500 Гц оказалась в полосе пропускания ФНЧ, а другая, с частотой 2000 Гц — в полосе задерживания (пример 1).

Для удаления рассчитанных PSD следует в окне SPTool: startup.spt в группе Spectra курсором выделить имя удаляемого PSD и в пункте меню Edit выбрать команду Clear.

Экспорт данных из GUI SPTool



Рис. 10. Окно Export from SPTool

Если результаты моделирования в GUI SPTool предполагается в дальнейшем использовать в MATLAB, необходимо осуществить их экспорт. Для этого в окне SPTool: startup.spt в пункте меню File следует выбрать команду Export («Экспорт»), после чего открывается окно Export from SPTool («Экспорт из SPTool») (рис. 10), в котором необходимо:

  1. В группе Export List («Список имен экспортируемых данных») выделить имя (или имена) экспортируемых данных, например, выделим имена: выходного сигнала sig3, синтезированного КИХ-фильтра ФНЧ filt2 и спектральной плотности мощности PSD выходного сигнала spect2.
  2. С помощью соответствующих кнопок указать, куда экспортируются данные (Export to Disk или Export to Workspace). При экспорте данных в Workspace они автоматически сохраняются с теми же именами, как в GUI SPTool. Экспорт данных на диск осуществляется последовательно, при этом каждый раз в автоматически открывающемся окне Export to Disk («Экспорт на диск») следует указать имя mat-файла (без расширения), которое может совпадать или не совпадать с именами в GUI SPTool, после чего нажать кнопку Save («Сохранить»), и данные сохранятся в папке work или в предварительно открытой папке пользователя. Загрузка mat-файлов с диска вWorkspace производится, как обычно, по команде load.

Для использования в приведенных далее примерах экспортируем сигнал sig3, фильтр filt2 и PSD spect2 вWorkspace с теми же именами.

Сохраняемые данные представляются в виде массивов записей struct array [5].

Пример 4

Определить содержимое файла sig3, экспортируемого из GUI SPTool в Workspace:

>> load sig3
>> sig3
sig3 =
data:
Fs:
type:
lineinfo:
SPTIdentifier:
label:
[1024x1 double]
8000
'vector'
[1x1 struct]
[1x1 struct]
'sig3'

Поле data хранит значения выходного сигнала и может быть использовано, например, для построения его графика (рис. 11а):

>> s=sig3.data;
>> n=0:1023;
>> subplot(2,1,1), stem(n,s,'fill','MarkerSize',3),...
grid, xlabel('n'), title('sig3')
</td>



Рис. 11. а) Выходной сигнал sig3; б) PSD

Поле label хранит имя сигнала в GUI SPTool, а поля lineinfo и SPTIdentifier — вспомогательную информацию.

Пример 5

Определить содержимое файла filt2, экспортируемого из GUI SPTool на диск:

>> load filt2
>> filt2
filt2 =
  tf: [1x1 struct]
ss: []
zpk: []
sos: []
imp: []
step: []
t: []
H: []
G: []
 
f:
specs:
Fs:
type:
lineinfo:
SPTIdentifier:
label:
[]
[1x1 struct]
8000
design'
[]
[1x1 struct]
filt2'

Поле tf хранит коэффициенты передаточной функции КИХ-фильтра ФНЧ и, в свою очередь, содержит поля num и den, хранящие коэффициенты числителя и знаменателя передаточной функции КИХ-фильтра — рациональной функции:

>> filt2.tf
ans =
  num: [1x32 double]
den: 1

В массиве записей filt2 зарезервирован ряд пустых полей [] с фиксированными именами для хранения других представлений передаточной функции, а также импульсной характеристики, переходной характеристики и др. После необходимых расчетов этим полям могут быть присвоены соответствующие значения. Например, по коэффициентам передаточной функции вычислим импульсную характеристику КИХ-фильтра с помощью функции imp и сохраним ее значения в поле impz:

>> N=32;
>> filt2.imp=impz(filt2.tf.num,filt2.tf.den,N);

Поле label хранит имя фильтра в GUI SPTool, а поля lineinfo и SPTIdentifier — вспомогательную информацию.

Пример 6

Определить содержимое файла spect2, экспортируемого из GUI SPTool в Workspace:

>> spect2
spect2 =
P:
f:
confid:
specs:
signal:
signalLabel:
Fs:
type:
lineinfo:
SPTIdentifier:
label:
[1536x1 double]
[1536x1 double]
[1x1 struct]
[1x1 struct]
[1024 1 0]
sig3'
8000
auto'
[1x1 struct]
[1x1 struct]
'spect2'

Поле f хранит массив значений частот, соответствующих PSD в виде:

а массив P — сами значения (k) (4).

Сравнивая соотношения (3) и (4), получаем взаимосвязь между (k) (4) и P(k) (3):

Как видим, поле f содержит 1536, а не 1024 точки, как ожидалось. Определим частотный диапазон, в котором выведена PSD (4), для чего выведем первую и последнюю частоты поля f (обозначим fbeg и ffin), а также интервал между соседними значениями частот поля f (обозначим delta_f):

>> fbeg=spect2.f(1)
fbeg = –4000
>> ffin=spect2.f(1536)
ffin = 7.9922e+003
>> delta_f=spect2.f(2)-spect2.f(1)
delta_f = 7.8125

Интервал между соседними значениями частот (delta_f) равен: Δf = fд/N = 8000/1024 = 7,8125 Гц, а диапазон частот: [fд/2; fд–Δf] = = [–4000; 7992,2] Гц.

Построим график (4) в шкале дискретных нормированных частот k, используя 1024 значения, соответствующих частотному диапазону: [0; fд–Δf] = [0; 7992,2] Гц, где частоте 0 Гц соответствует дискретная нормированная частота K = ((fд/2)/Δf )+1 (рис. 11б):

>> K=4000/delta_f+1
K = 513
>> spect2.f(513)
ans = 0
>> k=K:(K+1023);
>> kk=0:1023;
>> subplot(2,1,2), stem(kk,spect2.P(k),'fill','MarkerSize',3),...
grid, xlabel('k'), title('PSD')

Выведем значение (K+64):

>> spect2.P(K+64)
ans = 0.0281

Это значение совпадает с P(k) (дБ/Гц) (3) на той же частоте (значение PSD на рис. 9, отмеченное маркером Marker 1) с учетом взаимосвязи (5):

>> 10.^(–1.5515852)
ans = 0.0281

Поле label хранит имя PSD в GUI SPTool, поле signal — информацию о длине выходного сигнала sig3 (первый элемент вектора), а поля confid, specs, lineinfo и SPTIdentifier— вспомогательную информацию.

Выход из GUI SPTool

При выходе из программы GUI SPTool автоматически появляется запрос, требуется ли сохранять данные (сигналы, фильтры, спектральные плотности мощности). В случае положительного ответа нажимается кнопка Save («Сохранить»), данные сохраняются в файле startup.spt в папке work или папке пользователя и могут быть использованы при следующих сеансах работы в GUI SPTool.

Литература

  1. Ingle V., Proakis J. Digital Signal Processing Using MATLAB. Second Edition. Thomson.
  2. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Техносфера, 2006.
  3. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов, 2-е изд. СПб.: ПИТЕР, 2006.
  4. Солонина А. И., Улахович Д. А., Арбузов С. М., Соловьева Е. Б. Основы цифровой обработки сигналов. 2-е изд. СПб.: БХВ-Петербург, 2005.
  5. Солонина А. И., Арбузов С. М. Цифровая обработка сигналов. Моделирование в MATLAB. СПб.: БХВ-Петербург, 2008.
  6. Солонина А. Моделирование цифровой обработки сигналов в MATLAB. Часть 1. Синтез оптимальных (по Чебышеву) КИХ-фильтров программными средствами MATLAB // Компоненты и технологии. 2008. № 11.
  7. Солонина А. Моделирование цифровой обработки сигналов в MATLAB. Часть 2. Синтез оптимальных БИХ-фильтров программными средствами MATLAB // Компоненты и технологии. 2008. № 12.
  8. Солонина А. Моделирование цифровой обработки сигналов в MATLAB. Часть 3. Описание структур КИХ- и БИХ-фильтров в MATLAB // Компоненты и технологии. 2009. № 1.
  9. Солонина А. Моделирование цифровой обработки сигналов вMATLAB. Часть 4. Моделирование структур цифровых фильтров с фиксированной точкой программными средствами MATLAB: анализ характеристик КИХ-фильтров // Компоненты и технологии. 2009. № 2.
  10. Солонина А. Моделирование цифровой обработки сигналов вMATLAB. Часть 5. Моделирование структур цифровых фильтров с фиксированной точкой программными средствами MATLAB: анализ характеристик БИХ-фильтров // Компоненты и технологии. 2009. № 3.
  11. Солонина А. Моделирование цифровой обработки сигналов вMATLAB. Часть 6. Моделирование структур цифровых фильтров с фиксированной точкой программными средствами MATLAB: квантование воздействия и вычисление реакции // Компоненты и технологии. 2009. № 4.
  12. Солонина А. Моделирование цифровой обработки сигналов в MATLAB. Часть 7. Моделирование цифровых фильтров средствами программ GUI MATLAB: GUI TDATool // Компоненты и технологии. 2009. № 5.

Скачать статью в формате PDF  Скачать статью Компоненты и технологии PDF

 


Другие статьи по данной теме:

Сообщить об ошибке