Подписка на новости

Опрос

Нужны ли комментарии к статьям? Комментировали бы вы?

Реклама

 

2005 №8

Использование цифровых фильтров для моделирования деградации выходных параметров ТТЛ ИС в системе MatLab / Simulink

Строгонов Андрей


Моделирование процесса деградации параметров ТТЛ ИС с использованием цифровых фильтров

Применение цифровых фильтров для изучения процесса деградации параметров ТТЛ ИС есть результат подхода к исследуемым объектам как к «черному ящику». Метод «черного ящика» — кибернетический. Объект исследования представляется как некоторая кибернетическая система, и она может быть описана своим функциональным оператором. Такой подход преследует цель посредством построения некоторой модели установить изоморфизм не с внутренней структурой и ее функционированием, а с внешними проявлениями ее информативных параметров. Недостатком данного подхода к моделированию процесса деградации параметров ТТЛ ИС является то, что построенная модель не основана на физических представлениях.

Из теории цифровых фильтров известна их связь с линейными моделями временных рядов. Если модели временных рядов успешно используются для построения прогнозов деградации параметров ИС уже много лет, то представляет определенный интерес построить прогнозы с применением цифровых фильтров и посмотреть, насколько они полезны в данном случае.

Воспользуемся авторегрессионными моделями [1–6] и системой MatLab с пакетом моделирования динамических систем Simulink — библиотекой моделирования цифровых фильтров DSP Blockset [7] для моделирования процесса деградации параметров ТТЛ ИС. На практике AR-модель применяется в основном для построения цифровых фильтров, связанных с обработкой сигнала, и для идентификации динамических систем. Так как цифровые фильтры не строят прогнозы за пределы ряда деградации, в случае прекращения подачи сигнала на его вход, будем называть прогнозирование в пределах ряда — моделированием, зачастую отождествляя два термина «моделирование» и «прогнозирование».

В качестве базового описания линейной системы с аддитивными случайными возмущениями используется соотношение: y(t) = G(q)u(t) + H(q)e(t), где G(q), H(q) — передаточные функции системы, q — оператор сдвига, ut — входной и yt — выходной сигналы (временные ряды) в моменты времени t = 1,2,...N, e(t) — белый шум, воздействующий на систему. Произведение G(q)u(t) записывается в виде:

где k — задержка. На практике часто работают со свободной от шумов или детерминированной моделью: y(t) = G(q)u(t) [1].

ARX-модель (сочетание AR относится к авторегрессионной (AvtoRegressive) части A(q)y(t), X показывает наличие внешнего (eXternal) входа, на который поступает сигнал (ut) и записывается в виде [1]:

где B(q) и A(q) — полиномы: A(q) = 1 + a1q–1 + ... + anaq–na и B(q) = b1 + b1q–1 + ... + bnaq–na+1 , na и nb — порядки полиномов. Когда внешний вход системы отсутствует, получим AR-модель, то есть ut = 0, yt = UOL(t), nb = 0:

Предсказатель для ARX-модели:

где θ = [a1,...,ana, b1,...bnb]T вектор параметров, подлежащих отысканию, φ(t) = [–y(t – 1),..., –y(t –na),u(t – 1),...,u(t – nb)]T. Предсказатель представляет скалярное произведение известного вектора данных φ(t) и вектора параметров θ.

Для исследования процесса деградации выберем наихудшие значения параметра UOL (выходное напряжение низкого уровня) по результатам испытаний на долговечность в течение 150 тыс. ч выборки из 20 ТТЛ ИС типа 133ЛА8. Временной ряд замеров параметров ИС типа 133ЛА8 при испытаниях на долговечность в течение 150 тыс. ч имеет вид: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 35; 40; 45; 50; 60; 70; 80; 90; 100; 110; 120; 130; 140; 150 тыс. ч. Общее число замеров N = 45, средняя продолжительность между замерами 150 тыс. ч/45 составляет 3333 ч. Отказов за время испытаний (достигнута величина гарантийной наработки) зафиксировано не было. Временной ряд деградации параметра UOL имеет вид:

Предположим, что процесс деградации параметра UOL может быть описан моделью авторегрессии второго порядка (АР(2)-моделью или ARX-моделью с отсутствующим внешним входом системы и na = 2). Используя редактор рабочей области сессии (переменные в MatLab хранятся в особой области памяти, именуемой рабочей областью, то есть в виде бинарных файлов, с расширением (*.mat) или Mat-files), необходимо отредактировать любой из имеющихся в системе Mat-файлов. Сохраним файл с именем DATA_IN.mat. С помощью команды load загрузим его в рабочую область. Подав команды в командном окне y = iddata(in); m = arx(y,[2]) вычислим коэффициенты ARX-модели: A(q) = 1 – 0.526 q^–1 – 0.4625 q^–2 (рис. 1). Запишем полученное уравнение авторегрессии в виде: y(t) – 0.526y(t – 1) – 0.4625y(t – 2) = e(t), где yt — выходной сигнал в моменты времени t = 1,2,...N, e(t) — белый шум, воздействующий на систему. Параметры модели оцени ваются линейным МНК посредством метода QR-декомпрессии для решения системы линейных уравнений.

Рис. 1. Загрузка ряда деградации параметра UOL в рабочую область сессии

В работах [2, 3] показано, что коэффициенты, минимизирующие дисперсию ошибки предсказания, совпадают с коэффициентами AR-модели формирования сигнала. Поэтому для линейного предсказания воспользуемся вычисленными коэффициентами AR-модели.

На рис. 2 показано линейное предсказание сигнала КИХ-фильтром (фильтр с конечной импульсной характеристикой, или finite impulse response, FIR) в системе MatLab/Simulink. Предварительно необходимо загрузить ряд деградации параметра в рабочую область (рис. 1) и задать в блоке параметров КИХ-фильтра коэффициенты: 0.526 и 0.463. Показано два примера использования одного и того же КИХ-фильтра, но с различным способом построения. Первый способ — используется встроенная функция (прямая реализация фильтра, Direct Form FIR) из пакета DSP Blockset. Второй — с использованием набора элементарных функций: задержка на такт, умножитель, сумматор. Эллипсом на рис. 2 обозначен КИХ-фильтр из элементарного набора функций. В качестве коэффициентов КИХ-фильтра возьмем коэффициенты ARX-модели. В первом способе коэффициенты задаются внутри блока, во втором — реализуются на умножителях. На рис. 3а показаны исходный сигнал (ряд деградации параметра UOL), предсказанный сигнал КИХ-фильтром типа DF из библиотеки DSP BlockSet и ошибка предсказания сигнала. На рис. 3б представлен предсказанный сигнал КИХ-фильтром из элементарного набора функций. В обоих случаях, независимо от способа построения фильтров, предсказанный сигнал одинаков. Более подробно с описанием блоков библиотеки DSP BlockSet можно ознакомиться на математическом образовательном сайте www.exponenta.ru или с использованием справочной информации Signal Processing BlockSet for use with Simulink. User's Guide. Version 6.

Рис. 2. Линейное предсказание сигнала КИХ-фильтром в системе MatLab/Simulink
Рис. 3. Временные диаграммы работы КИХ-фильтра: а — исходный сигнал (ряд деградации параметра UOL), предсказанный сигнал КИХ-фильтром из DSP BlockSet, ошибка предсказания; б — предсказанный сигнал КИХ-фильтром из элементарного набора функций

Существует соотношение между параметрами АР-модели и автокорреляционной функцией. Это соотношение известно под названием уравнений Юла–Уокера:

где RXX(0),...,RXX(p) оценки автокорреляционной функции. Алгоритм Левинсона–Дербина обеспечивает эффективное решение выше приведенной системы уравнений. Алгоритм позволяет рекурсивно вычислять набор параметров {a11, σ1²}, {a21, a22 σ2²}, …, {ap1, ap2,...,app, σp²}, где p — порядок авторегрессии. Параметры {a21,a22,...,app} называют коэффициентами отражения и обозначают через {K1,K2,...,Kp}.

На практике решетчатые структуры фильтров используются в системах линейного предсказания. На рис. 4а показано применение алгоритма Левинсона–Дербина для оценки коэффициентов отражения решетчатого КИХ-фильтра. На рис. 4б показано прогнозирование КИХ-фильтром типа DF (прямая форма), коэффициенты которого предварительно вычислены с использованием ARX-модели.

Рис. 4. Обработка сигнала цифровыми фильтрами: а — применение алгоритма Левинсона–Дербина для оценки коэффициентов решетчатых фильтров; б — прогнозирование поведения сигнала с использованием КИХ-фильтра; в — предсказание ошибки решетчатым КИХ-фильтром со структурой скользящего среднего; г — восстановление сигнала решетчатым БИХ-фильтром с авторегрессионной структурой

Иногда в задачах прогнозирования требуется вычислять не прогнозные значения временного ряда, а ошибки прогнозирования. На рис. 4в показано предсказание ошибки решетчатым нерекурсивным КИХ-фильтром со структурой скользящего среднего (Moving Average). На входы фильтра подаются ряд деградации и коэффициенты отражения, на выходе имеем ошибку предсказания. Такие фильтры называют «обеляющими» или «обратными». На рис. 4г показано восстановление сигнала решетчатым рекурсивным БИХ-фильтром, со структурой АР-модели. На входы фильтра подаются ошибки предсказания и коэффициенты отражения. Выходом фильтра является восстановленный сигнал (выходной сигнал). Согласно АР-модели выходной сигнал формируется путем пропускания дискретного белого шума (в нашем случае ошибки предсказания «обеляющего» фильтра) через «чисто рекурсивный» или «чисто полюсный» фильтр.

Вывод результатов моделирования осуществляется в векторы-столбцы. Следует заметить, что коэффициенты КИХ-фильтров, вычисленные с использованием ARX-модели и рекурсивного алгоритма Левинсона–Дербина, несколько отличаются, что объясняется различными методами нахождения параметров авторегрессионной модели АР(2) формирования сигнала. На рис. 5 представлены параметры блоков, используемых на рис. 4.

Рис. 5. Параметры блоков, используемых на рис.4: а) — формирование буфера глубиной 45 отсчетов на канал (фрейм данных); б — блок параметров автокорреляционной функции, лаг равен 2; в) — блок параметров алгоритма Левинсона–Дербина, сконфигурирован на вычисление коэффициентов A и K и мощности ошибки предсказания P; г) — блок параметров КИХ-фильтра (чисто нулевая модель), структура фильтра — прямая форма, коэффициенты фильтра 0.526 и 0.463 (числитель функции передачи); д) — решетчатый нерекурсивный КИХ-фильтр со структурой скользящего среднего (Moving Average); е) — решетчатый рекурсивный БИХ-фильтр со структурой авторегрессии

Использование Калмановской фильтрации для моделирования процесса деградации параметров ТТЛ ИС

Для большинства реальных систем формирование моделей на основе физических соображений проще осуществлять в непрерывном, а не в дискретном времени. Калмановская фильтрация — метод предсказания поведения сигнала st по имеющимся наблюдениям yt, содержащим ошибку vt , так что yt = st + vt. Термин «фильтрация» указывает на стремление удалить шум vt из наблюдений так, чтобы получить наилучшую оценку сигнала st. Самым известным применением фильтра Калмана было использование его в исторической миссии «Аполлона-11» в качестве системы слежения за космическим кораблем и лунным модулем. Типичное применение — обработка данных метеорологических наблюдений.

В пространстве состояний связь между входными сигналами, шумами и выходными сигналами записывается в виде системы дифференциальных или разностных уравнений первого порядка посредством введения вспомогательного вектора состояний xt.

В основе метода Калмановской фильтрации лежит общая линейная модель (ОЛМ) с дискретным временем, описывающая состояние системы в фазовом пространстве. Для системы с входом u имеем: xt+1 = A(θ)xt + B(θ)ut + wt, где xt – (n×1) — вектор фазовых переменных состояния системы, wt – (n×1) — вектор шума системы (объекта).

С уравнением системы связано уравнение измерения: yt = C(θ)xt + vt, где yt – (m×1) — вектор измерений, C(θ) – (m×n) матрица измерений, vt – (n×1) — вектор ошибок измерений, A(θ), B(θ), C(θ) — параметры, описывающие систему (матрицы), θ — вектор параметров, wt, vt — интерпретируются как помехи, могут являться сигналами известной физической природы. Задача состоит в том, чтобы оценить фазовую переменную xt из зашумленных наблюдений y1,y2,...,yt .

Калмановская фильтрация используется для построения адаптивных фильтров. Адаптивные устройства обработки сигнала действуют по принципу замкнутого контура (обратной связи). Входной сигнал фильтруется или взвешивается в программируемом фильтре для получения выходного сигнала Yt , который затем сравнивается с полезным, стандартным или обучающим сигналом Yt для нахождения сигнала ошибки et. Затем этот сигнал ошибки используется для корректировки весовых параметров обрабатывающего устройства (обычно итеративным методом) с целью постепенной минимизации ошибки.

Рассмотрим применение скалярного фильтра Калмана. Предположим, что процесс деградации параметра UOL описывается моделью АР(1). Устройство Калмановской оценки реализует процесс параметрического оценивания, основанный на авторегрессивной (АР) модели процесса генерации сигнала. АР-модель процесса первого порядка данного типа показана на рис. 6а, соответствующая модель измерений представлена на рис. 6б. Модель измерений (уравнение измерения) представляет усилительное звено и источник аддитивного белого шума vt:

Рис. 6. Калмановская фильтрация: а — рекуррентная модель генерации сигнала первого порядка; б — модель схемы измерения данных; в — обобщенная структурная схема рекурсивного устройства оценки первого порядка; г — блок-схема фильтра Калмана первого порядка

Модель генерации сигнала (уравнение системы) описывается АР(1)-моделью:

где wt–1 — обусловлен несовершенством представления Xt через Xt–1, константа a считается известной. Уравнение системы можно применять для прогноза Xt: Xt = aXt–1.

В общем виде наилучшая линейная несмещенная оценка Xt, формируется взвешиванием линейной комбинации двух имеющихся оценок:

где Lt и Kt — зависящие от времени весовые матрицы, которые выбираются так, чтобы оценка в каждый момент времени была несмещенной и имела максимальную дисперсию. В нашем случае рекурсивная формула оценки первого порядка имеет вид:

где коэффициенты bt, kt изменяющиеся во времени, отыскиваются линейным методом наименьших квадратов, путем дифференцирования среднеквадратичной ошибки E[XtXt]2 по bt и kt. Проведя преобразования получим:

Первый член atXt–1 предсказывает Xt , а второй член atXt–1 корректирует Xt на основании оценки ошибки с учетом Калмановского коэффициента kt. Структурная схема этого устройства оценки показана на рис. 6г. Обобщенная структурная схема рекурсивного устройства оценки первого порядка представлена на рис.6в. В общем виде задача прогнозирования сигнала Xt записывается так [1]:

где K(θ) определяется как:

P — матрица ковариации ошибки в оценке состояния

В справочной системе MatLab фильтр Калмана в матричной форме записывается в следующем виде:

где n — текущая итерация; u(n) — значение буферизованного входного сигнала In на шаге n; K(n) — матрица корреляций ошибки в оценке состояния; g(n) — вектор усиления Калмана на шаге n; w(n) — вектор оценок коэффициентов (отводов) КИХ-фильтра на шаге n; y(n) — профильтрованные выходные значения фильтра Калмана на шаге n; e(n) — ошибки на шаге n; d(n) — эталонные значения; QM — матрица корреляций шума измерений и QP — матрица корреляций шума объекта. Матрицы QM и QP формируются путем заполнения диагонали скалярными значениями дисперсии белого шума vt уравнения измерения и дисперсии белого шума wt процесса генерации сигнала. Общая идея построения фильтра Калмана показана на рис. 7а, также показан адаптивный фильтр в общем виде (б) и использование адаптивного фильтра для построения прогнозирующего фильтра (в). Кроме адаптивного алгоритма Калмана, в качестве адаптивных алгоритмов используются простейшие алгоритмы по критерию наименьшего среднеквадратичного отклонения (СКО) (Least Mean Square, LMS), нормализованные LMS (NLMS)-алгоритмы, рекурсивные алгоритмы по критерию наименьших квадратов (Recursive Least Squares, RLS) и быстрые RLS-алгоритмы [8]. Данные алгоритмы различаются качеством и вычислительной сложностью. Более высокое качество требует применения более сложных алгоритмов. Адаптивные фильтры также могут быть использованы для идентификации систем и для удаления шума из сигнала.

Рис. 7. Адаптивные фильтры: а — общая идея построения фильтра Калмана; б — адаптивный фильтр в общем виде; в — использование адаптивного фильтра для построения прогнозирующего фильтра

Из теории цифровых фильтров известно, что фильтр Калмана эффективен в случае, если полезный сигнал (в нашем случае ряд деградации параметра UOL)— медленно меняющаяся функция времени (синусоида), а помеха — некоррелированный шум. Рассмотрим применение фильтра Калмана для прогнозирования процесса деградации параметра UOL ИС типа 133ЛА8. На рис. 8 показан блок параметров фильтра Калмана. Назначения портов блока фильтра следующие: In — вход фильтра, скалярная величина, которая буферизуется в вектор u(n); Out — выход фильтра, скалярная величина y(n); Err – e(n), скалярная величина или оценки ошибок на каждой итерации; Taps – w(n), вектор оценок коэффициентов КИХ-фильтра, которые меняются на каждой итерации n. Задаются следующие параметры: порядок КИХ-фильтра — 2, дисперсия белого шума vt уравнения измерения — 0.03, дисперсия белого шума wt процесса генерации сигнала — 0.05, первоначальные значения коэффициентов КИХ-фильтра (вектор отводов фильтра) — 0, первоначальное значение корреляционной матрицы ошибок в оценке состояния — 0.01 (первоначальное значение ).

Рис. 8. Блок параметров фильтра Калмана

На рис. 9 показано прогнозирование процесса деградации параметра UOL с использованием Калмановского адаптивного фильтра. Также показаны временные диаграммы работы фильтра Калмана, динамически обновляемые частотная характеристика фильтра и коэффициенты КИХ-фильтра второго порядка (импульсная характеристика).

Рис. 9. Прогнозирование с использованием Калмановского адаптивного фильтра в MatLab/Simulink: а — блок-схема метода; б — временные диаграммы; динамически обновляемые частотная характеристика фильтра (в) и коэффициенты КИХ-фильтра второго порядка (импульсная характеристика) (г)

Поскольку заранее известно, что процесс деградации параметра UOL описывается АР(2)-моделью, то в Калмановском фильтре используется КИХ-фильтр второго порядка. Значения дисперсий шумов заданы без физического истолкования. Следует заметить, что погрешность измерений параметров ИС типа 133ЛА8 при испытаниях на долговечность согласно ТУ на ИС данной серии была не хуже 3% для параметра UOL. На рис. 10 показано сравнение результатов моделирования процесса деградации с применением адаптивного фильтра Калмана и КИХ-фильтра второго порядка. В первом случае (рис. 10а) для моделирования процесса деградации используется библиотека DSP Blockset/Adaptive Filters, во втором (рис. 10б) — функция adaptkalman. Судя по поведению прогнозных значений и по ошибкам работы фильтра Калмана, его работу можно признать удовлетворительной, однако прогнозные значения фильтра пересекают верхнюю границу параметрического отказа 0,4 В. Налицо явное усиление сигнала фильтром Калмана. Сравнивая результаты, видим, что КИХ-фильтр лучше моделирует процесс деградации. Отчасти это может быть объяснено тем, что ковариационная матрица шумов процесса генерации сигнала заранее неизвестна и число отсчетов явно недостаточно. По мере того как фильтр Калмана обучается прогнозированию, выходной сигнал y приближается к входному сигналу x, и в районе 40–45 отсчетов прогнозы начинают совпадать, а сигнал ошибки e начинает уменьшаться. Пример использования функции adaptkalman показан ниже.

Рис. 10. Сравнение результатов моделирования процесса деградации с использованием адаптивного фильтра Калмана и КИХ-фильтра второго порядка, построенных: а — с использованием библиотеки DSP Blockset/Adaptive Filters; б — с использованием функции adaptkalman и ARX-модели второго порядка (АР(2))

Выводы

Использование цифровых фильтров для моделирования процесса деградации параметров ТТЛ ИС эффективно только в случае, если происходит непосредственное наблюдение за процессом деградации и сам процесс адекватно описывается авторегрессионными моделями. Цифровые фильтры, несмотря на их связь с линейными моделями временных рядов, не могут строить прогнозы за пределы временного ряда, поэтому они не могут быть использованы для прогнозирования с упреждением, а только для моделирования.

Работа выполнена по программе гранта РФФИ 05-08-01225-а.

Литература

  1. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер. с англ. / Под ред. Я. З. Цыпкина. М.: Наука, 1991. 432 с.
  2. Кей С. М., Марпл С. Л. Современные методы спектрального анализа: Обзор. ТИИЭР, 1981, т. 69, № 11, с. 5–43.
  3. Цифровая обработка сигналов / А.Б. Сергиенко. СПб.: Питер, 2003. 608 с.
  4. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974. 406 с.
  5. Справочник по прикладной статистике. В 2-х т. Т. 2: Пер. с англ. / Под ред. Э. Лойда, У. Ледермана, С. А. Айвазяна, Ю. Н. Тюрина. М.: Финансы и статистика, 1990. 526 с.
  6. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1989. 440 с.
  7. Дьяконов В. П., Абраменкова И. В., Круглов В. В. MatLab 5.3.1 с пакетами расширений. Под ред. проф. В. П. Дьяконова. М.: Нолидж, 2001. 880 с.
  8. Filter Design Toolbox. For use with MatLab.

Скачать статью в формате PDF  Скачать статью Компоненты и технологии PDF

 


Сообщить об ошибке